Lección sobre el tema: "La posición relativa de dos círculos en un plano". La posición relativa de dos círculos Tema la posición relativa de dos círculos

Sea un círculo y un punto que no coincida con su centro C (Fig. 205). Son posibles tres casos: el punto se encuentra dentro del círculo (Fig. 205, a), en el círculo (Fig. 205, b), fuera del círculo (Fig. 205, c). Dibujemos una línea recta que cortará el círculo en los puntos K y L (en el caso b) el punto coincidirá con uno de los cuales será el más cercano al punto en comparación con todos los demás puntos del círculo), y el otro será el más distante.

Así, por ejemplo, en la Fig. 205, y el punto K del círculo es el más cercano a . De hecho, para cualquier otro punto del círculo, la línea discontinua es más larga que el segmento SAG: pero también, por lo tanto, por el contrario, para el punto L encontramos (nuevamente la línea discontinua es más larga que el segmento de recta). Dejamos al lector el análisis de los dos casos restantes. Tenga en cuenta que la distancia mayor es igual al menor if o if.

Pasemos al análisis de posibles casos de disposición de dos círculos (Fig. 206).

a) Los centros de los círculos coinciden (Fig. 206, a). Estos círculos se llaman concéntricos. Si los radios de estos círculos no son iguales, entonces uno de ellos está dentro del otro. Si los radios son iguales, coinciden.

b) Sean ahora diferentes los centros de los círculos. Conectémoslos con una línea recta, se llama línea de centros de un par de círculos dado. La posición relativa de los círculos dependerá únicamente de la relación entre el valor del segmento d que conecta sus centros y los valores de los radios de los círculos R, r. Todos los posibles casos significativamente diferentes se presentan en la Fig. 206 (contando).

1. La distancia entre centros es menor que la diferencia de radios:

(Fig. 206, b), el círculo pequeño se encuentra dentro del grande. Esto también incluye el caso de a) coincidencia de centros (d = 0).

2. La distancia entre centros es igual a la diferencia de radios:

(Figura 206, s). El círculo pequeño se encuentra dentro del grande, pero tiene un punto común con él en la línea de centros (dicen que hay una tangencia interna).

3. La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de radios, pero menor que su suma:

(Figura 206, d). Cada círculo se encuentra en parte dentro y en parte fuera del otro.

Los círculos tienen dos puntos de intersección K y L, ubicados simétricamente con respecto a la línea de centros. Un segmento es una cuerda común de dos círculos que se cruzan. Es perpendicular a la línea de centros.

4. La distancia entre centros es igual a la suma de los radios:

(Figura 206, d). Cada uno de los círculos está fuera del otro, pero tienen un punto común en la línea de centros (tangencia externa).

5. La distancia entre centros es mayor que la suma de los radios: (Fig. 206, f). Cada círculo se encuentra completamente fuera del otro. Los círculos no tienen puntos en común.

La clasificación anterior se deriva completamente de lo que se ha discutido. arriba la cuestión de la distancia mayor y menor de un punto a un círculo. Sólo necesitas considerar dos puntos en uno de los círculos: el más cercano y el más alejado del centro del segundo círculo. Por ejemplo, veamos el caso Por condición. Pero el punto del círculo pequeño que está más alejado de O se encuentra a una distancia del centro O. Por lo tanto, todo el círculo pequeño se encuentra dentro del círculo grande. Otros casos se consideran de la misma manera.

En particular, si los radios de los círculos son iguales, entonces sólo son posibles los tres últimos casos: intersección, tangencia externa, ubicación externa.

Clase 7G, Z

Tema de la lección: "La posición relativa de dos círculos"
Objetivo: conocer posibles casos de posición relativa de dos círculos; Aplicar conocimientos a la hora de resolver problemas.

Objetivos: Educativos: facilitar la creación y consolidación en los estudiantes de una representación visual de posibles casos de disposición de dos círculos. Los estudiantes podrán:

Establecer una conexión entre las posiciones relativas de los círculos, sus radios y la distancia entre sus centros;

Analizar un diseño geométrico y modificarlo mentalmente,

Desarrollar la imaginación planimétrica.

Los estudiantes podrán aplicar los conocimientos teóricos a la resolución de problemas.

Tipo de lección: lección que introduce y consolida nuevos conocimientos del material.

Equipo: presentación para la lección; compás, regla, lápiz y libro de texto para cada alumno.

Tutorial: . “Geometría 7º grado”, Almaty “Atamura” 2012

Durante las clases.

Organizar el tiempo. Revisando la tarea.

3. Actualización de conocimientos básicos.

Repita las definiciones de círculo, circunferencia, radio, diámetro, cuerda, distancia de un punto a una línea recta.

1) 1) ¿Qué casos de ubicación de una recta y un círculo conoces?

2) ¿Qué recta se llama tangente?

3) ¿Qué recta se llama secante?

4) ¿Teorema sobre el diámetro perpendicular a la cuerda?

5) ¿Cómo es la tangente en relación al radio del círculo?

6) Complete la tabla (en tarjetas).

Los estudiantes, bajo la dirección del profesor, resuelven y analizan problemas.

1) La línea a es tangente a un círculo con centro O. El punto A está dado en la línea a. El ángulo entre la tangente y el segmento OA es 300. Encuentre la longitud del segmento OA si el radio es de 2,5 m.

2) Determine la posición relativa de la línea y el círculo si:

1. R=16cm, d=12cm 2. R=5cm, d=4,2cm 3. R=7,2dm, d=3,7dm 4. R=8 cm, d=1,2dm 5. R=5 cm, d= 50mm

a) una línea recta y un círculo no tienen puntos comunes;

b) la recta es tangente al círculo;

c) una línea recta corta un círculo.

d es la distancia desde el centro del círculo a la línea recta, R es el radio del círculo.

3) ¿Qué se puede decir sobre la posición relativa de la línea y el círculo si el diámetro del círculo es de 10,3 cm y la distancia desde el centro del círculo a la línea es de 4,15 cm; 2 dm; 103 milímetros; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.

4) Dado un círculo con centro O y punto A. ¿Dónde se ubica el punto A si el radio del círculo es de 7 cm y la longitud del segmento OA es: a) 4 cm; b) 10 cm; c) 70 milímetros.

4. Junto con los estudiantes, averigüe el tema de la lección y formule los objetivos de la lección.

5. Introducción de nuevo material.

Trabajo práctico en grupos.

Construye 3 círculos. Para cada círculo, construye otro círculo, de modo que 1) 2 círculos no se crucen, 2) 2 círculos se toquen, 3) dos círculos se crucen. Encuentra el radio de cada círculo y la distancia entre los centros de los círculos, compara los resultados. ¿Qué se puede concluir?
2) Resumir y anotar en un cuaderno los casos de posición relativa de dos círculos.

La posición relativa de dos círculos en un plano.

Los círculos no tienen puntos comunes (no se cruzan). (R1 y R2 son los radios de los círculos)

Si R1 + R2< d,

d – Distancia entre los centros de los círculos.

c) Los círculos tienen dos puntos en común. (intersecarse).

Si R1 + R2 > d,

Pregunta. ¿Pueden dos círculos tener tres puntos comunes?

6. Consolidación del material estudiado.

Encuentra un error en el dato o afirmación y corrígelo, justificando tu opinión:
A) Dos círculos se tocan. Sus radios son iguales a R = 8 cm y r = 2 cm, la distancia entre los centros es d = 6.
B) Dos círculos tienen al menos dos puntos en común.
B) R = 4, r = 3, d = 5. Los círculos no tienen puntos comunes.
D) R = 8, r = 6, d = 4. El círculo más pequeño se encuentra dentro del más grande.
D) No se pueden colocar dos círculos de manera que uno esté dentro del otro.

7. Resumen de la lección. ¿Qué aprendiste en la lección? ¿Qué patrón se estableció?

¿Cómo se pueden colocar dos círculos? ¿En qué caso los círculos tienen un punto común? ¿Cómo se llama el punto común de dos círculos? ¿Qué toques conoces? ¿Cuándo se cruzan los círculos? ¿Qué círculos se llaman concéntricos?

Ministerio de Educación y Ciencia de la Federación de Rusia

Institución educativa presupuestaria municipal

ciudad de Novosibirsk "Gimnasio nº 4"

Sección: matemáticas

INVESTIGACIÓN

sobre este tema:

PROPIEDADES DE DOS CÍRCULOS EN TOQUE

Estudiantes de décimo grado:

Khaziakhmetov Radik Ildarovich

Zubarev Evgeniy Vladimirovich

Supervisor:

L.L. Barínova

profesor de matematicas

Categoría de calificación más alta

§ 1.Introducción…………..………………………….……………………………………………………3

§ 1.1 La posición relativa de dos círculos…………………………...………………...………3

§ 2 Propiedades y sus pruebas…………………………………………………………..…………………….....….…4

§ 2.1 Propiedad 1………………...……………………………………..……………………...….…4

§ 2.2 Propiedad 2……………………………………………………..……………………...…………5

§ 2.3 Propiedad 3……………………………………………………..……………………...………6

§ 2.4 Propiedad 4……………………………………………………..……………………...………6

§ 2.5 Propiedad 5……………………………………..……………………………………...………8

§ 2.6 Propiedad 6……………………………………………………..…………………………...…………9

§ 3 Tareas……………………………………………………..……………………...……...…………..…11

Referencias…………………………………………………………………………………….………….13

§ 1. Introducción

Muchos problemas que involucran dos circunferencias tangentes se pueden resolver de manera más breve y sencilla conociendo algunas de las propiedades que se presentarán a continuación.

La posición relativa de dos círculos.

Para empezar, estipulemos la posible posición relativa de los dos círculos. Puede haber 4 casos diferentes.

1. Los círculos no pueden cruzarse.

2. Intersección.

3. Toque en un punto del exterior.

4.Toque en un punto del interior.

§ 2. Propiedades y sus pruebas.

Pasemos directamente a la prueba de las propiedades.

§ 2.1 Propiedad 1

Los segmentos entre los puntos de intersección de las tangentes con las circunferencias son iguales entre sí e iguales a dos radios medios geométricos de las circunferencias dadas.

Prueba 1. O 1 A 1 y O 2 B 1 – radios dibujados hasta los puntos de contacto.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1, О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1. (según el punto 1)

1. ▲O 1 O 2 D – rectangular, porque О 2 D ┴ О 2 В 1
2. О 1 О 2 = R + r, О 2 D = R – r

1. Según el teorema de Pitágoras A 1 B 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (probado de manera similar)

1) Dibujemos los radios en los puntos de intersección de las tangentes con las circunferencias.

2) Estos radios serán perpendiculares a las tangentes y paralelos entre sí.

3) Bajemos una perpendicular desde el centro del círculo más pequeño hasta el radio del círculo más grande.

4) La hipotenusa del triángulo rectángulo resultante es igual a la suma de los radios de los círculos. La pierna es igual a su diferencia.

5) Utilizando el teorema de Pitágoras obtenemos la relación requerida.

§ 2.2 Propiedad 2

Los puntos de intersección de una recta que corta el punto tangente de las circunferencias y que no se encuentra en ninguna de ellas con las tangentes dividen por la mitad los segmentos de las tangentes externas, limitados por los puntos de tangencia, en partes, cada una de las cuales es igual a la media geométrica de los radios de estos círculos.

Prueba 1.EM= MA 1 (como segmentos tangentes)

2.MC = MV 1 (como segmentos tangentes)

3.A 1 M = MV 1 = √Rr, A 2 N = NB 2 = √Rr (según los puntos 1 y 2 )

Declaraciones utilizadas en la prueba. Los segmentos tangentes trazados desde un punto a una determinada circunferencia son iguales. Usamos esta propiedad para ambos círculos dados.

§ 2.3 Propiedad 3

La longitud del segmento de la tangente interna encerrada entre las tangentes externas es igual a la longitud del segmento de la tangente externa entre los puntos de contacto y es igual a dos radios medios geométricos de los círculos dados.

Prueba Esta conclusión se deriva de la propiedad anterior.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Propiedad 4

El triángulo formado por los centros de círculos tangentes y el punto medio del segmento tangente entre los radios trazados a los puntos de contacto es rectangular. La proporción de sus catetos es igual al cociente de las raíces de los radios de estos círculos.

Prueba 1.MO 1 es la bisectriz del ángulo A 1 MS, MO 2 es la bisectriz del ángulo B 1 MS, porque El centro de una circunferencia inscrita en un ángulo se encuentra en la bisectriz de dicho ángulo.

2.Según el punto 1 РО 1 MS + РСМО 2 = 0,5(РА1МС + РСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.РО 1 MO 2 – directo. MC es la altura del triángulo O 1 MO 2, porque la tangente MN es perpendicular a los radios trazados en los puntos de contacto → los triángulos O 1 MC y MO 2 C son similares.

4.O 1 M / MO 2 = O 1 C / MC = r / √Rr = √r / R (similar)

Declaraciones utilizadas en la prueba. 1) El centro de un círculo inscrito en un ángulo se encuentra en la bisectriz de este ángulo. Los catetos de un triángulo son las bisectrices de los ángulos.

2) Utilizando el hecho de que los ángulos formados de esta forma son iguales, encontramos que el ángulo que buscamos es un ángulo recto. Concluimos que este triángulo es efectivamente rectángulo.

3) Probamos la semejanza de los triángulos en los que la altura (ya que la tangente es perpendicular a los radios trazados a los puntos de tangencia) divide el triángulo rectángulo, y por semejanza obtenemos la relación requerida.

§ 2.5 Propiedad 5

El triángulo formado por el punto de contacto de las circunferencias entre sí y los puntos de intersección de las circunferencias con la tangente es rectangular. La proporción de sus catetos es igual al cociente de las raíces de los radios de estos círculos.

Prueba

1. ▲A 1 MC y ▲SMV 1 son isósceles → ÐMA 1 C = ÐMSA 1 = α, ÐMV 1 C = ÐMSV 1 = β.

1. 2α + 2β + RA 1 MC + RSMV 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (RA 1 MC + RSMV 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Pero RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 – directo → RA 1 CO 2 = RS 1 O 2 = p/2 – β = α

1. ▲A 1 MC y ▲CO 2 B 1 son similares → A 1 C / SV 1 = MC / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Declaraciones utilizadas en la prueba. 1) Anotamos la suma de los ángulos de los triángulos aprovechando que son isósceles. Los isósceles de los triángulos se demuestran utilizando la propiedad de igualdad de segmentos tangentes.

2) Habiendo escrito la suma de los ángulos de esta forma, encontramos que el triángulo en cuestión tiene un ángulo recto, por lo tanto es rectangular. La primera parte de la declaración ha sido probada.

3) Usando la semejanza de triángulos (para fundamentarla usamos el signo de semejanza en dos ángulos) encontramos la proporción de los catetos de un triángulo rectángulo.

§ 2.6 Propiedad 6

El cuadrilátero formado por los puntos de intersección de las circunferencias con la tangente es un trapezoide en el que se puede inscribir una circunferencia.

Prueba 1.▲A 1 RA 2 y ▲B 1 PB 2 son isósceles porque A 1 P = RA 2 y B 1 P = PB 2 como segmentos tangentes → ▲A 1 RA 2 y ▲B 1 PB 2 – similares.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, porque los ángulos correspondientes formados en la intersección de la secante A 1 B 1 son iguales.

1. MN – línea media según la propiedad 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → en el trapezoide A 2 A 1 B 1 B 2 la suma de las bases es igual a la suma de los lados, y esta es una condición necesaria y suficiente para la existencia de un círculo inscrito.

Declaraciones utilizadas en la prueba. 1) Usemos nuevamente la propiedad de los segmentos tangentes. Con su ayuda demostraremos los isósceles de triángulos formados por el punto de intersección de tangentes y puntos de tangencia.

2) De esto se deduce que estos triángulos son semejantes y sus bases son paralelas. Sobre esta base concluimos que este cuadrilátero es un trapezoide.

3) Usando la propiedad (2) que demostramos anteriormente, encontramos la línea media del trapezoide. Es igual a dos radios medios geométricos de los círculos. En el trapecio resultante, la suma de las bases es igual a la suma de los lados, y esta es una condición necesaria y suficiente para la existencia de un círculo inscrito.

§ 3. Problemas

Veamos un ejemplo práctico de cómo se puede simplificar la solución de un problema utilizando las propiedades descritas anteriormente.

Problema 1

En el triángulo ABC, el lado AC = 15 cm está inscrito en el triángulo. El segundo círculo toca al primero y a los lados AB y BC. En el lado AB se selecciona el punto F y en el lado BC se selecciona el punto M de modo que el segmento FM sea tangente común a las circunferencias. Encuentre la razón entre las áreas del triángulo BFM y el cuadrilátero AFMC, si FM mide 4 cm y el punto M está ubicado dos veces más lejos del centro de un círculo que del centro del otro.

Dado: FM-tangente total AC=15cm FM=4cm O 2 M=2О 1 M

Buscar S BFM /S AFMC

Solución:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0.5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P y ▲BO 2 Q son similares → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0.25;BP = 4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM =r*P FBM =1*(16/3)=16/3; CA+BQ=15+4/3+4=61/3

5)S ABC =R*P ABC =4*(61/3)=244/3 → S BFM /S AFMC =(16/3):(244/3)=4/61

Problema 2

Dos circunferencias tangentes con su punto común D y una tangente común FK que pasa por este punto están inscritas en un triángulo isósceles ABC. Encuentre la distancia entre los centros de estos círculos si la base del triángulo AC = 9 cm y el segmento del lado del triángulo encerrado entre los puntos de tangencia de los círculos es de 4 cm.

Dado: ABC – triángulo isósceles; FK – tangente común de círculos inscritos. CA = 9 cm; NE = 4 cm

Solución:

Sean las rectas AB y CD que se cruzan en el punto O. Entonces OA = OD, OB = OC, entonces CD = = AB = 2√Rr

Los puntos O 1 y O 2 se encuentran en la bisectriz del ángulo AOD. La bisectriz de un triángulo isósceles AOD es su altitud, por lo que AD ┴ O 1 O 2 y BC ┴ O 1 O 2, lo que significa

AD ║ BC y ABCD – trapezoide isósceles.

El segmento MN es su línea media, por lo que AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Por tanto, en este trapezoide se puede inscribir un círculo.

Sea AP la altura del trapezoide, los triángulos rectángulos ARB y O 1 FO 2 son semejantes, por lo tanto AP/O 1 F = AB/O 1 O 2 .

A partir de aquí encontramos que

Bibliografía

• Suplemento del diario “Primero de Septiembre” “Matemáticas” No. 43, 2003
• Examen del Estado Unificado 2010. Matemáticas. Tarea C4. Gordin R.K.

Dejemos que los círculos estén definidos por un vector desde el origen hasta el centro y el radio de este círculo.

Considere los círculos A y B con radios Ra y Rb y vectores de radio (vector al centro) a y b. Además, Oa y Ob son sus centros. Sin pérdida de generalidad, asumiremos que Ra > Rb.

Entonces se cumplen las siguientes condiciones:

Objetivo 1: Mansiones de nobles importantes

Puntos de intersección de dos círculos.

Supongamos que A y B se cortan en dos puntos. Encontremos estos puntos de intersección.

Para hacer esto, un vector desde a hasta un punto P, que se encuentra en el círculo A y se encuentra en OaOb. Para hacer esto, necesitas tomar el vector b - a, que será el vector entre los dos centros, normalizarlo (reemplazarlo con un vector unitario codireccional) y multiplicarlo por Ra. Denotamos el vector resultante como p. Esta configuración se puede ver en la Fig. 6

Arroz. 6. Vectores a, b, p y dónde viven.

Denotemos i1 e i2 como vectores desde a hasta los puntos de intersección I1 e I2 de dos círculos. Resulta obvio que i1 e i2 se obtienen por rotación a partir de p. Porque conocemos todos los lados de los triángulos OaI1Ob y OaI2Ob (Radio y distancia entre centros), podemos obtener este ángulo fi, girando el vector p en una dirección dará I1, y en la otra I2.

Según el teorema del coseno, es igual a:

Si gira p por fi, obtiene i1 o i2, dependiendo de en qué dirección gire. A continuación, se debe sumar el vector i1 o i2 a a para obtener el punto de intersección

Este método funcionará incluso si el centro de un círculo se encuentra dentro del otro. Pero allí el vector p definitivamente tendrá que especificarse en la dirección de a a b, que es lo que hicimos. Si construyes p basándose en otro círculo, no saldrá nada de ello.

Bueno, en conclusión, hay que mencionar un hecho: si los círculos se tocan, entonces es fácil verificar que P es el punto de contacto (esto es cierto tanto para el contacto interno como para el externo).
Aquí puede ver la visualización (debe hacer clic para iniciarla).

Problema 2: puntos de intersección

Este método funciona, pero en lugar del ángulo de rotación, puedes calcular su coseno y, a través de él, el seno, y luego usarlos al girar el vector. Esto simplificará significativamente los cálculos al eliminar el código de las funciones trigonométricas.

Tema de la lección: " La posición relativa de dos círculos en un plano”.

Objetivo :

Educativo - Dominar nuevos conocimientos sobre la posición relativa de dos círculos, prepararse para la prueba.

De desarrollo - desarrollo de habilidades computacionales, desarrollo del pensamiento lógico-estructural; desarrollar habilidades para encontrar soluciones racionales y lograr resultados finales; desarrollo de la actividad cognitiva y el pensamiento creativo..

Educativo – formación de responsabilidad y coherencia en los estudiantes; desarrollo de cualidades cognitivas y estéticas; formación de la cultura de la información de los estudiantes.

Correccional - Desarrollar el pensamiento espacial, la memoria y la motricidad manual.

Tipo de lección: aprendizaje de nuevo material educativo, consolidación.

Tipo de lección: lección mixta.

Método de enseñanza: verbal, visual, práctico.

Forma de estudio: colectivo.

Medios de educación: junta

DURANTE LAS CLASES:

1. Etapa organizativa

- saludos;

- comprobar la preparación para la lección;

2. Actualización de conocimientos básicos.
¿Qué temas cubrimos en lecciones anteriores?

¿Forma general de la ecuación de un círculo?

Realizar oralmente:

Encuesta relámpago

3. Introducción de nuevo material.

¿Qué cifra crees que consideraremos hoy...? ¿Y si son dos?

Como se pueden ubicar???

Los niños muestran con sus manos (vecinos) cómo se pueden organizar los círculos ( minuto de educación física)

Bueno, ¿qué crees que deberíamos considerar hoy? Hoy deberíamos considerar la posición relativa de dos círculos. Y descubre cuál es la distancia entre los centros dependiendo de la ubicación.

Tema de la lección:« La posición relativa de dos círculos. Resolución de problemas.»

1. Círculos concéntricos

2. Círculos separados

3.Toque externo

4. Círculos que se cruzan

5. Toque interno

Así que concluyamos

4.Formación de habilidades y destrezas.

Encuentra un error en el dato o afirmación y corrígelo, justificando tu opinión:

A) Dos círculos se tocan. Sus radios son iguales a R = 8 cm y r = 2 cm, la distancia entre los centros es d = 6.
B) Dos círculos tienen al menos dos puntos en común.

B) R = 4, r = 3, d = 5. Los círculos no tienen puntos comunes.

D) R = 8, r = 6, d = 4. El círculo más pequeño se encuentra dentro del más grande.

D) No se pueden colocar dos círculos de manera que uno esté dentro del otro.

5. Consolidación de habilidades y capacidades.

Los círculos se tocan externamente. El radio del círculo más pequeño es de 3 cm. El radio del círculo más grande es de 5 cm.

Solución: 3+5=8(cm)

Los círculos se tocan internamente. El radio del círculo más pequeño es de 3 cm. El radio del círculo más grande es de 5 cm.

Solución: 5-3=2(cm)

Los círculos se tocan internamente. La distancia entre los centros de los círculos es de 2,5 cm. ¿Cuáles son los radios de los círculos?

respuesta: (5,5 cm y 3 cm), (6,5 cm y 4 cm), etc.

COMPROBAR LA COMPRENSIÓN

1) ¿Cómo se pueden colocar dos círculos?

2) ¿En qué caso los círculos tienen un punto común?

3) ¿Cómo se llama el punto común de dos circunferencias?

4) ¿Qué toques conoces?

5) ¿Cuándo se cruzan los círculos?

6) ¿Qué círculos se llaman concéntricos?

Tareas adicionales sobre el tema: Vectores. método de coordenadas"(si queda tiempo)

1)E(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Encuentre:

a) coordenadas de los vectores EF,GH

b) la longitud del vector FG

c) coordenadas del punto O - la mitad de EF

coordenadas del punto W – punto medio de GH

d) ecuación de un círculo con diámetro FG

e) ecuación de la recta FH

6. Tarea

& 96 N° 1000. ¿Cuáles de estas ecuaciones son ecuaciones de un círculo? encontrar centro y radio

7. Resumiendo la lección(3 minutos)

(dar una evaluación cualitativa del trabajo de la clase y de los estudiantes individuales).

8. Etapa de reflexión(2 minutos.)

(iniciar la reflexión de los estudiantes sobre su estado emocional, sus actividades, interacción con el docente y compañeros mediante dibujos)