hogar / Nissan/ Los pantalones pitagóricos son iguales por todos lados, riendo. Teorema de Pitágoras: historia, prueba, ejemplos de aplicación práctica.

Los pantalones pitagóricos son iguales por todos lados, riendo. Teorema de Pitágoras: historia, prueba, ejemplos de aplicación práctica.

» del profesor emérito de Matemáticas de la Universidad de Warwick, el famoso divulgador científico Ian Stewart, dedicado al papel de los números en la historia de la humanidad y la relevancia de su estudio en nuestro tiempo.

hipotenusa pitagórica

Los triángulos pitagóricos tienen ángulos rectos y lados enteros. El más simple de ellos tiene un lado más largo de longitud 5, los otros, 3 y 4. En total, hay 5 poliedros regulares. Una ecuación de quinto grado no se puede resolver utilizando raíces de quinto grado ni ninguna otra raíz. Las redes en un plano y en un espacio tridimensional no tienen simetría rotacional de cinco lóbulos, por lo que tales simetrías están ausentes en los cristales. Sin embargo, se pueden encontrar en redes de cuatro dimensiones y en estructuras interesantes conocidas como cuasicristales.

Hipotenusa de la terna pitagórica más pequeña

El teorema de Pitágoras establece que el lado más largo de un triángulo rectángulo (la famosa hipotenusa) está relacionado con los otros dos lados de este triángulo de una manera muy sencilla y hermosa: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de la otros dos lados.

Tradicionalmente llamamos a este teorema con el nombre de Pitágoras, pero en realidad su historia es bastante vaga. Las tablillas de arcilla sugieren que los antiguos babilonios conocían el teorema de Pitágoras mucho antes que el propio Pitágoras; La fama del descubridor le llegó gracias al culto matemático de los pitagóricos, cuyos partidarios creían que el Universo se basaba en leyes numéricas. Los autores antiguos atribuyeron una variedad de teoremas matemáticos a los pitagóricos y, por lo tanto, a Pitágoras, pero en realidad no tenemos idea de en qué tipo de matemáticas estaba involucrado el propio Pitágoras. Ni siquiera sabemos si los pitagóricos pudieron demostrar el teorema de Pitágoras o si simplemente creían que era cierto. O, lo más probable, tenían pruebas convincentes de su veracidad, que sin embargo no serían suficientes para lo que hoy consideramos pruebas.

Pruebas de Pitágoras

La primera prueba conocida del teorema de Pitágoras se encuentra en los Elementos de Euclides. Se trata de una prueba bastante compleja basada en un dibujo que los escolares victorianos reconocerían inmediatamente como “pantalones pitagóricos”; El dibujo realmente se parece a unos calzoncillos secándose en un tendedero. Hay literalmente cientos de otras pruebas, la mayoría de las cuales hacen la afirmación más obvia.

// Arroz. 33. pantalones pitagóricos

Una de las pruebas más simples es una especie de acertijo matemático. Toma cualquier triángulo rectángulo, haz cuatro copias y júntalas dentro del cuadrado. En una disposición vemos un cuadrado sobre la hipotenusa; con el otro, cuadrados en los otros dos lados del triángulo. Está claro que las áreas en ambos casos son iguales.

// Arroz. 34. Izquierda: cuadrado sobre la hipotenusa (más cuatro triángulos). Derecha: suma de los cuadrados de los otros dos lados (más los mismos cuatro triángulos). Ahora elimina los triángulos.

La disección de Perigal es otra prueba del enigma.

// Arroz. 35. Disección de Perigal

También hay una demostración del teorema ordenando cuadrados en un plano. Quizás así fue como los pitagóricos o sus desconocidos predecesores descubrieron este teorema. Si observas cómo el cuadrado sesgado se superpone a otros dos cuadrados, podrás ver cómo cortar un cuadrado grande en pedazos y luego juntarlos en dos cuadrados más pequeños. También puedes ver triángulos rectángulos, cuyos lados dan las dimensiones de los tres cuadrados involucrados.

// Arroz. 36. Prueba por pavimentación

Hay pruebas interesantes que utilizan triángulos semejantes en trigonometría. Se conocen al menos cincuenta pruebas diferentes.

Triples pitagóricos

En teoría de números, el teorema de Pitágoras se convirtió en la fuente de una idea fructífera: encontrar soluciones enteras a ecuaciones algebraicas. Una terna pitagórica es un conjunto de números enteros a, b y c tales que

Geométricamente, tal triple define un triángulo rectángulo con lados enteros.

La hipotenusa más pequeña de una terna pitagórica es 5.

Los otros dos lados de este triángulo son 3 y 4. Aquí

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

La siguiente hipotenusa más grande es 10 porque

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Sin embargo, este es esencialmente el mismo triángulo con lados dobles. La siguiente hipotenusa más grande y verdaderamente diferente es 13, para lo cual

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euclides sabía que había un número infinito de variaciones diferentes de los trillizos pitagóricos y dio lo que podría llamarse una fórmula para encontrarlas todas. Posteriormente, Diofanto de Alejandría propuso una receta sencilla, básicamente idéntica a la euclidiana.

Toma dos números naturales cualesquiera y calcula:

su doble producto;

la diferencia de sus cuadrados;

la suma de sus cuadrados.

Los tres números resultantes serán los lados del triángulo pitagórico.

Tomemos, por ejemplo, los números 2 y 1. Calculemos:

producto doble: 2 × 2 × 1 = 4;

diferencia de cuadrados: 22 - 12 = 3;

suma de cuadrados: 22 + 12 = 5,

y obtuvimos el famoso triángulo 3-4-5. Si tomamos los números 3 y 2, obtenemos:

producto doble: 2 × 3 × 2 = 12;

diferencia de cuadrados: 32 - 22 = 5;

suma de cuadrados: 32 + 22 = 13,

y obtenemos el siguiente triángulo más famoso 5 - 12 - 13. Intentemos tomar los números 42 y 23 y obtener:

producto doble: 2 × 42 × 23 = 1932;

diferencia de cuadrados: 422 - 232 = 1235;

suma de cuadrados: 422 + 232 = 2293,

Nadie ha oído hablar jamás del triángulo 1235-1932-2293.

Pero estos números también funcionan:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Hay otra característica de la regla diofántica que ya se ha insinuado: dados tres números, podemos tomar otro número arbitrario y multiplicarlos todos por él. Por lo tanto, un triángulo de 3–4–5 se puede convertir en un triángulo de 6–8–10 multiplicando todos los lados por 2, o en un triángulo de 15–20–25 multiplicando todo por 5.

Si pasamos al lenguaje del álgebra, la regla adopta la siguiente forma: sean u, v y k números naturales. Entonces un triángulo rectángulo con lados

2kuv y k (u2 - v2) tiene hipotenusa

Hay otras formas de presentar la idea principal, pero todas se reducen a la descrita anteriormente. Este método te permite obtener todas las ternas pitagóricas.

Poliedros regulares

Hay exactamente cinco poliedros regulares. Un poliedro regular (o poliedro) es una figura tridimensional con un número finito de caras planas. Las caras se encuentran entre sí en líneas llamadas aristas; las aristas se encuentran en puntos llamados vértices.

La culminación de los Principia de Euclidiano es la prueba de que sólo puede haber cinco poliedros regulares, es decir, poliedros en los que cada cara es un polígono regular (lados iguales, ángulos iguales), todas las caras son idénticas y todos los vértices están rodeados por un igual. número de caras equiespaciadas. Aquí hay cinco poliedros regulares:

tetraedro de cuatro caras triangulares, cuatro vértices y seis aristas;

cubo, o hexaedro, con 6 caras cuadradas, 8 vértices y 12 aristas;

octaedro con 8 caras triangulares, 6 vértices y 12 aristas;

dodecaedro con 12 caras pentagonales, 20 vértices y 30 aristas;

Un icosaedro con 20 caras triangulares, 12 vértices y 30 aristas.

// Arroz. 37. Cinco poliedros regulares

Los poliedros regulares también se pueden encontrar en la naturaleza. En 1904, Ernst Haeckel publicó dibujos de organismos diminutos conocidos como radiolarios; muchos de ellos tienen la forma de esos mismos cinco poliedros regulares. Quizás, sin embargo, corrigió ligeramente la naturaleza y los dibujos no reflejan completamente la forma de seres vivos específicos. Las tres primeras estructuras también se observan en cristales. No encontrará dodecaedros e icosaedros en cristales, aunque a veces se encuentran allí dodecaedros e icosaedros irregulares. Los verdaderos dodecaedros pueden presentarse como cuasicristales, que son similares a los cristales en todos los sentidos excepto en que sus átomos no forman una red periódica.

// Arroz. 38. Dibujos de Haeckel: radiolarios en forma de poliedros regulares

// Arroz. 39. Desarrollos de poliedros regulares.

Puede resultar interesante hacer modelos de poliedros regulares a partir de papel recortando primero un conjunto de caras interconectadas; a esto se le llama desarrollar un poliedro; el desarrollo se dobla a lo largo de los bordes y se pegan los bordes correspondientes. Es útil agregar una almohadilla adhesiva adicional a una de las nervaduras de cada par, como se muestra en la Fig. 39. Si no existe tal plataforma, puedes usar cinta adhesiva.

Ecuación de quinto grado

No existe una fórmula algebraica para resolver ecuaciones de quinto grado.

EN vista general La ecuación de quinto grado se ve así:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

El problema es encontrar una fórmula para las soluciones de dicha ecuación (puede tener hasta cinco soluciones). La experiencia con ecuaciones cuadráticas y cúbicas, así como con ecuaciones de cuarto grado, sugiere que dicha fórmula también debería existir para las ecuaciones de quinto grado y, en teoría, deberían aparecer en ella raíces de quinto, tercer y segundo grado. Una vez más, podemos asumir con seguridad que dicha fórmula, si existe, será muy, muy compleja.

Esta suposición finalmente resultó ser errónea. De hecho, no existe tal fórmula; al menos no existe una fórmula compuesta por los coeficientes a, b, c, d, e y f, obtenidos mediante suma, resta, multiplicación y división, y sacando raíces. Entonces hay algo muy especial en el número 5. Las razones de este comportamiento inusual de los cinco son muy profundas y tomó mucho tiempo comprenderlas.

La primera señal de problemas fue que por mucho que los matemáticos intentaran encontrar esa fórmula, por muy inteligentes que fueran, invariablemente fracasaban. Durante algún tiempo, todo el mundo creyó que la razón residía en la increíble complejidad de la fórmula. Se creía que nadie podía entender esta álgebra correctamente. Sin embargo, con el tiempo, algunos matemáticos empezaron a dudar de que tal fórmula existiera y en 1823 Niels Hendrik Abel pudo demostrar lo contrario. No existe tal fórmula. Poco después, Évariste Galois encontró una manera de determinar si una ecuación de un grado u otro (quinto, sexto, séptimo, cualquier tipo) se podía resolver usando este tipo de fórmula.

La conclusión de todo esto es sencilla: el número 5 es especial. tu puedes decidir ecuaciones algebraicas(Con ayuda raíces enésimas grados para diferentes significados n) para los grados 1, 2, 3 y 4, pero no para el 5º grado. Aquí es donde termina el patrón obvio.

A nadie sorprende que las ecuaciones de grados mayores que 5 se comporten aún peor; en particular, se les asocia la misma dificultad: no existen fórmulas generales para resolverlos. Esto no significa que las ecuaciones no tengan soluciones; Esto tampoco significa que sea imposible encontrar valores numéricos muy precisos para estas soluciones. Se trata de las limitaciones de las herramientas de álgebra tradicionales. Esto recuerda la imposibilidad de trisectar un ángulo usando una regla y un compás. La respuesta existe, pero los métodos enumerados son insuficientes y no nos permiten determinar cuál es.

Limitación cristalográfica

Los cristales en dos y tres dimensiones no tienen simetría rotacional de 5 rayos.

Los átomos en un cristal forman una red, es decir, una estructura que se repite periódicamente en varias direcciones independientes. Por ejemplo, el patrón del papel tapiz se repite a lo largo del rollo; además, suele repetirse en dirección horizontal, a veces con un desplazamiento de un papel pintado a otro. Básicamente, el papel tapiz es un cristal bidimensional.

Hay 17 variedades de patrones de papel tapiz en un avión (consulte el Capítulo 17). Se diferencian en los tipos de simetría, es decir, en las formas de mover rígidamente el patrón para que quede exactamente sobre sí mismo en su posición original. Los tipos de simetría incluyen, en particular, varias opciones simetría rotacional, donde el patrón debe girarse en un ángulo determinado alrededor de un punto determinado: el centro de simetría.

El orden de simetría rotacional es cuántas veces se puede girar un cuerpo para círculo completo para que todos los detalles del dibujo vuelvan a sus posiciones originales. Por ejemplo, una rotación de 90° es una simetría de rotación de cuarto orden*. La lista de posibles tipos de simetría rotacional en una red cristalina vuelve a indicar lo inusual del número 5: no está ahí. Hay opciones con simetría de rotación de segundo, tercer, cuarto y sexto orden, pero ninguno de los diseños de papel tapiz tiene simetría de rotación de quinto orden. La simetría de rotación de orden mayor que 6 tampoco existe en los cristales, pero la primera violación de la secuencia todavía ocurre en el número 5.

Lo mismo ocurre con los sistemas cristalográficos en el espacio tridimensional. Aquí la red se repite en tres direcciones independientes. Hay 219 tipos diferentes de simetría, o 230 si contamos la imagen especular de un diseño como una variante separada, a pesar de que en este caso no existe simetría especular. Nuevamente, se observan simetrías rotacionales de órdenes 2, 3, 4 y 6, pero no de 5. Este hecho se denomina confinamiento cristalográfico.

En el espacio de cuatro dimensiones, existen redes con simetría de quinto orden; En general, para redes de dimensiones suficientemente grandes, es posible cualquier orden predeterminado de simetría rotacional.

// Arroz. 40. Red cristalina de la sal de mesa. Las bolas oscuras representan átomos de sodio, las bolas claras representan átomos de cloro.

Cuasicristales

Aunque la simetría rotacional de quinto orden no es posible en redes 2D o 3D, puede existir en estructuras ligeramente menos regulares conocidas como cuasicristales. Utilizando los bocetos de Kepler, Roger Penrose descubrió sistemas planos con un tipo más general de simetría quíntuple. Se les llama cuasicristales.

Los cuasicristales existen en la naturaleza. En 1984, Daniel Shechtman descubrió que una aleación de aluminio y manganeso podía formar cuasicristales; Al principio los cristalógrafos acogieron su informe con cierto escepticismo, pero el descubrimiento se confirmó más tarde y en 2011 Shechtman recibió el Premio Nobel de Química. En 2009, un equipo de científicos dirigido por Luca Bindi descubrió cuasicristales en un mineral de las tierras altas rusas de Koryak: un compuesto de aluminio, cobre y hierro. Hoy este mineral se llama icosaedrita. Midiendo el contenido de diferentes isótopos de oxígeno en el mineral mediante un espectrómetro de masas, los científicos demostraron que este mineral no se originó en la Tierra. Se formó hace unos 4.500 millones de años, en una época en la que sistema solar estaba apenas en su infancia y pasó la mayor parte de su tiempo en el cinturón de asteroides, orbitando alrededor del Sol, hasta que alguna perturbación cambió su órbita y finalmente lo trajo a la Tierra.

// Arroz. 41. Izquierda: una de las dos redes cuasicristalinas con simetría quíntuple exacta. Derecha: modelo atómico de un cuasicristal icosaédrico de aluminio-paladio-manganeso

Todo el mundo conoce el teorema de Pitágoras desde la escuela. Un destacado matemático demostró una gran hipótesis, que actualmente utilizan muchas personas. La regla es la siguiente: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Durante muchas décadas, ningún matemático ha podido desafiar esta regla. Después de todo, Pitágoras tardó mucho en lograr su objetivo, por lo que, como resultado, los dibujos tendrían lugar en la vida cotidiana.

Un pequeño verso de este teorema, que se inventó poco después de la demostración, prueba directamente las propiedades de la hipótesis: "Los pantalones de Pitágoras son iguales en todas direcciones". Esta línea de dos líneas está grabada en la memoria de muchas personas; hasta el día de hoy, el poema se recuerda al hacer cálculos.
Este teorema se llamó “Pantalones de Pitágoras” debido a que al dibujarlo en el medio se obtenía un triángulo rectángulo, con cuadrados a cada lado. En apariencia, este dibujo se parecía a unos pantalones, de ahí el nombre de la hipótesis.
Pitágoras estaba orgulloso del teorema desarrollado, porque esta hipótesis se diferencia de otras similares en la máxima cantidad de evidencia. Importante: la ecuación fue incluida en el Libro Guinness de los Récords gracias a 370 pruebas verdaderas.
La hipótesis fue probada por un gran número de matemáticos y profesores de diferentes paises de muchas maneras. El matemático inglés Jones pronto anunció la hipótesis y la demostró mediante una ecuación diferencial.
Actualmente nadie conoce la demostración del teorema del propio Pitágoras.. Hoy en día nadie conoce los hechos sobre las demostraciones de un matemático. Se cree que la prueba de los dibujos de Euclides es la prueba de Pitágoras. Sin embargo, algunos científicos discuten esta afirmación: muchos creen que Euclides demostró el teorema de forma independiente, sin la ayuda del creador de la hipótesis.
Los científicos actuales han descubierto que el gran matemático no fue el primero en descubrir esta hipótesis.. La ecuación se conocía mucho antes de que Pitágoras la descubriera. Este matemático sólo pudo reunir la hipótesis.
Pitágoras no le dio a la ecuación el nombre de “Teorema de Pitágoras”.. Este nombre se quedó después de la "dos líneas ruidosas". El matemático sólo quería que el mundo entero conociera y utilizara sus esfuerzos y descubrimientos.
Moritz Cantor, el gran matemático, encontró y vio notas con dibujos en papiros antiguos. Poco después, Cantor se dio cuenta de que los egipcios conocían este teorema ya en el año 2300 a.C. Sólo entonces nadie se aprovechó de ello ni intentó demostrarlo.
Los científicos actuales creen que la hipótesis se conocía allá por el siglo VIII a.C.. Los científicos indios de esa época descubrieron un cálculo aproximado de la hipotenusa de un triángulo dotado de ángulos rectos. Es cierto que en ese momento nadie podía probar la ecuación con seguridad mediante cálculos aproximados.
El gran matemático Bartel van der Waerden, tras demostrar la hipótesis, llegó a una conclusión importante.: “Se considera que el mérito del matemático griego no es el descubrimiento de la dirección y la geometría, sino sólo su justificación. Pitágoras tenía en sus manos fórmulas de cálculo basadas en suposiciones, cálculos inexactos e ideas vagas. Sin embargo, un científico destacado logró convertirla en una ciencia exacta”.
El célebre poeta dijo que el día del descubrimiento de su dibujo erigió un glorioso sacrificio para los toros.. Fue tras el descubrimiento de la hipótesis cuando comenzaron a correr rumores de que el sacrificio de cien toros “fue a vagar por las páginas de libros y publicaciones”. Hasta el día de hoy, los ingeniosos bromean diciendo que desde entonces todos los toros tienen miedo del nuevo descubrimiento.
Prueba de que no fue Pitágoras a quien se le ocurrió el poema sobre los pantalones para probar los dibujos que propuso: Durante la vida del gran matemático todavía no existían los pantalones. Fueron inventados varias décadas después.
Pekka, Leibniz y varios otros científicos intentaron demostrar el teorema previamente conocido, pero nadie lo logró.
El nombre de los dibujos "teorema de Pitágoras" significa "persuasión mediante el habla".. Así se traduce la palabra Pitágoras, que el matemático tomó como seudónimo.
Reflexiones de Pitágoras sobre su propio gobierno: el secreto de todo en la tierra está en los números. Después de todo, el matemático, basándose en su propia hipótesis, estudió las propiedades de los números, identificó la paridad y la imparidad y creó proporciones.

Esperamos que os haya gustado la selección de imágenes. Datos interesantes sobre el teorema de Pitágoras: aprende algo nuevo sobre el famoso teorema (15 fotos) en línea buena calidad. ¡Por favor deja tu opinión en los comentarios! Cada opinión es importante para nosotros.

Los pantalones pitagóricos son iguales por todos lados.
Para demostrarlo, es necesario filmarlo y mostrarlo.

Este poema es conocido por todos desde la secundaria, desde que estudiamos el famoso teorema de Pitágoras en la clase de geometría: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Para demostrar su teorema, Pitágoras dibujó en la arena una figura de cuadrados a los lados de un triángulo. La suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa, A cuadrado más B cuadrado es igual a C cuadrado. Era el año 500 a.C. Hoy en día, el teorema de Pitágoras se enseña en la escuela secundaria. En el Libro Guinness de los Récords, el teorema de Pitágoras es el teorema con el número máximo de demostraciones. De hecho, en 1940 se publicó un libro que contenía trescientas setenta pruebas del teorema de Pitágoras. Uno de ellos fue propuesto por el presidente estadounidense James Abram Garfield. Sólo una demostración del teorema nos resulta desconocida: la demostración del propio Pitágoras. Durante mucho tiempo se creyó que la prueba de Euclides era la prueba de Pitágoras, pero ahora los matemáticos piensan que esta prueba pertenece al propio Euclides.

La prueba clásica de Euclides tiene como objetivo establecer la igualdad de áreas entre rectángulos formados al diseccionar un cuadrado encima de la hipotenusa con una altura de ángulo recto con cuadrados sobre las piernas.

La construcción utilizada para la demostración es la siguiente: para un triángulo rectángulo ABC con ángulo recto C, cuadrados sobre los catetos ACED y BCFG y un cuadrado sobre la hipotenusa ABIK, construye la altura CH y su rayo de continuación s, dividiendo el cuadrado sobre el hipotenusa en dos rectángulos AHJK y BHJI. La prueba tiene como objetivo establecer la igualdad de las áreas del rectángulo AHJK con el cuadrado sobre el cateto AC; de manera similar se establece la igualdad de las áreas del segundo rectángulo, que constituye el cuadrado encima de la hipotenusa, y el rectángulo encima del otro cateto.

La igualdad de las áreas del rectángulo AHJK y ACED se establece mediante la congruencia de los triángulos ACK y ABD, cuyo área de cada uno de ellos es igual a la mitad del área de los rectángulos AHJK y ACED, respectivamente, debido a la siguiente propiedad: el área del triángulo es igual a la mitad del área del rectángulo si las figuras tienen un lado común, y la altura del triángulo es igual al lado común que es el otro lado del rectángulo. La congruencia de triángulos se deriva de la igualdad de dos lados (lados de cuadrados) y el ángulo entre ellos (compuesto por un ángulo recto y un ángulo en A.

Así, la prueba establece que el área del cuadrado sobre la hipotenusa, compuesta por los rectángulos AHJK y BHJI, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos.

El matemático alemán Carl Gauss propuso talar pantalones pitagóricos gigantes de los árboles de la taiga siberiana. Al mirar estos pantalones desde el espacio, los extraterrestres deben estar convencidos de que en nuestro planeta viven criaturas inteligentes.

Es curioso que el propio Pitágoras nunca usara pantalones; en aquellos días, los griegos simplemente no conocían esa prenda de vestuario.

Fuentes:

sandbox.fizmat.vspu.ru
es.wikipedia.org
kuchmastar.fandom.com

sitio web, al copiar material total o parcialmente, se requiere un enlace a la fuente.

Un pequeño verso de este teorema, que se inventó poco después de la demostración, prueba directamente las propiedades de la hipótesis: "Los pantalones de Pitágoras son iguales en todas direcciones". Esta línea de dos líneas está grabada en la memoria de muchas personas; hasta el día de hoy, el poema se recuerda al hacer cálculos.
Este teorema se llamó “Pantalones de Pitágoras” debido a que al dibujarlo en el medio se obtenía un triángulo rectángulo, con cuadrados a cada lado. En apariencia, este dibujo se parecía a unos pantalones, de ahí el nombre de la hipótesis.
Pitágoras estaba orgulloso del teorema desarrollado, porque esta hipótesis se diferencia de otras similares en la máxima cantidad de evidencia. Importante: la ecuación fue incluida en el Libro Guinness de los Récords gracias a 370 pruebas verdaderas.
La hipótesis fue probada de muchas maneras por una gran cantidad de matemáticos y profesores de diferentes países.. El matemático inglés Jones pronto anunció la hipótesis y la demostró mediante una ecuación diferencial.
Actualmente nadie conoce la demostración del teorema del propio Pitágoras.. Hoy en día nadie conoce los hechos sobre las demostraciones de un matemático. Se cree que la prueba de los dibujos de Euclides es la prueba de Pitágoras. Sin embargo, algunos científicos discuten esta afirmación: muchos creen que Euclides demostró el teorema de forma independiente, sin la ayuda del creador de la hipótesis.
Los científicos actuales han descubierto que el gran matemático no fue el primero en descubrir esta hipótesis.. La ecuación se conocía mucho antes de que Pitágoras la descubriera. Este matemático sólo pudo reunir la hipótesis.
Pitágoras no le dio a la ecuación el nombre de “Teorema de Pitágoras”.. Este nombre se quedó después de la "dos líneas ruidosas". El matemático sólo quería que el mundo entero conociera y utilizara sus esfuerzos y descubrimientos.
Moritz Cantor, el gran matemático, encontró y vio notas con dibujos en papiros antiguos. Poco después, Cantor se dio cuenta de que los egipcios conocían este teorema ya en el año 2300 a.C. Sólo entonces nadie se aprovechó de ello ni intentó demostrarlo.
Los científicos actuales creen que la hipótesis se conocía allá por el siglo VIII a.C.. Los científicos indios de esa época descubrieron un cálculo aproximado de la hipotenusa de un triángulo dotado de ángulos rectos. Es cierto que en ese momento nadie podía probar la ecuación con seguridad mediante cálculos aproximados.
El gran matemático Bartel van der Waerden, tras demostrar la hipótesis, llegó a una conclusión importante.: “Se considera que el mérito del matemático griego no es el descubrimiento de la dirección y la geometría, sino sólo su justificación. Pitágoras tenía en sus manos fórmulas de cálculo basadas en suposiciones, cálculos inexactos e ideas vagas. Sin embargo, un científico destacado logró convertirla en una ciencia exacta”.
El célebre poeta dijo que el día del descubrimiento de su dibujo erigió un glorioso sacrificio para los toros.. Fue tras el descubrimiento de la hipótesis cuando comenzaron a correr rumores de que el sacrificio de cien toros “fue a vagar por las páginas de libros y publicaciones”. Hasta el día de hoy, los ingeniosos bromean diciendo que desde entonces todos los toros tienen miedo del nuevo descubrimiento.
Prueba de que no fue Pitágoras a quien se le ocurrió el poema sobre los pantalones para probar los dibujos que propuso: Durante la vida del gran matemático todavía no existían los pantalones. Fueron inventados varias décadas después.
Pekka, Leibniz y varios otros científicos intentaron demostrar el teorema previamente conocido, pero nadie lo logró.
El nombre de los dibujos "teorema de Pitágoras" significa "persuasión mediante el habla".. Así se traduce la palabra Pitágoras, que el matemático tomó como seudónimo.
Reflexiones de Pitágoras sobre su propio gobierno: el secreto de todo en la tierra está en los números. Después de todo, el matemático, basándose en su propia hipótesis, estudió las propiedades de los números, identificó la paridad y la imparidad y creó proporciones.

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El potencial de la creatividad se suele atribuir a las humanidades, dejando las ciencias naturales al análisis, al enfoque práctico y al lenguaje seco de fórmulas y números. Las matemáticas no pueden clasificarse como una materia de humanidades. Pero sin creatividad no se llegará muy lejos en la "reina de todas las ciencias"; la gente lo sabe desde hace mucho tiempo. Desde la época de Pitágoras, por ejemplo.

Desafortunadamente, los libros de texto escolares generalmente no explican que en matemáticas es importante no solo estudiar teoremas, axiomas y fórmulas. Es importante comprender y sentir sus principios fundamentales. Y al mismo tiempo, trate de liberar su mente de clichés y verdades elementales; sólo en tales condiciones nacen todos los grandes descubrimientos.

Tales descubrimientos incluyen lo que hoy conocemos como el teorema de Pitágoras. Con su ayuda, intentaremos demostrar que las matemáticas no sólo pueden, sino que deben ser apasionantes. Y que esta aventura es apta no sólo para nerds con gafas gruesas, sino para todos los que son fuertes de mente y de espíritu.

De la historia del problema.

Estrictamente hablando, aunque el teorema se llama “teorema de Pitágoras”, el propio Pitágoras no lo descubrió. El triángulo rectángulo y sus propiedades especiales se estudiaron mucho antes que él. Hay dos puntos de vista opuestos sobre este tema. Según una versión, Pitágoras fue el primero en encontrar una demostración completa del teorema. Según otro, la prueba no pertenece a la autoría de Pitágoras.

Hoy ya no se puede comprobar quién tiene razón y quién no. Lo que se sabe es que la prueba de Pitágoras, si alguna vez existió, no ha sobrevivido. Sin embargo, hay sugerencias de que la famosa prueba de los Elementos de Euclides puede pertenecer a Pitágoras, y Euclides sólo la registró.

También se sabe hoy que los problemas sobre un triángulo rectángulo se encuentran en fuentes egipcias de la época del faraón Amenemhat I, en tablillas de arcilla babilónicas del reinado del rey Hammurabi, en el antiguo tratado indio "Sulva Sutra" y en la antigua obra china " Zhou-bi suan jin”.

Como puedes ver, el teorema de Pitágoras ha ocupado la mente de los matemáticos desde la antigüedad. Esto lo confirman alrededor de 367 pruebas diferentes que existen en la actualidad. En esto ningún otro teorema puede competir con él. Entre los autores famosos de pruebas podemos recordar a Leonardo da Vinci y al vigésimo presidente de los Estados Unidos, James Garfield. Todo esto habla de la extrema importancia de este teorema para las matemáticas: la mayoría de los teoremas de la geometría se derivan de él o de alguna manera están relacionados con él.

Pruebas del teorema de Pitágoras

Los libros de texto escolares ofrecen principalmente demostraciones algebraicas. Pero la esencia del teorema está en la geometría, así que consideremos primero las demostraciones del famoso teorema que se basan en esta ciencia.

Evidencia 1

Para la prueba más simple del teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo, es necesario establecer condiciones ideales: deje que el triángulo no solo sea rectángulo, sino también isósceles. Hay motivos para creer que fue precisamente este tipo de triángulo el que consideraron inicialmente los antiguos matemáticos.

Declaración “un cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre sus catetos” se puede ilustrar con el siguiente dibujo:

Mira el triángulo rectángulo isósceles ABC: sobre la hipotenusa AC, puedes construir un cuadrado que consta de cuatro triángulos iguales al ABC original. Y en los lados AB y BC se construye un cuadrado, cada uno de los cuales contiene dos triángulos semejantes.

Por cierto, este dibujo formó la base de numerosos chistes y caricaturas dedicadas al teorema de Pitágoras. El más famoso es probablemente "Los pantalones pitagóricos son iguales en todas direcciones":

Evidencia 2

Este método combina álgebra y geometría y puede considerarse una variante de la antigua prueba india del matemático Bhaskari.

Construye un triángulo rectángulo con lados. a, b y c(Figura 1). Luego construye dos cuadrados con lados iguales a la suma de las longitudes de los dos catetos. (a+b). En cada uno de los cuadrados haz construcciones como en las Figuras 2 y 3.

En el primer cuadrado, construye cuatro triángulos similares a los de la Figura 1. El resultado son dos cuadrados: uno de lado a, el segundo de lado b.

En el segundo cuadrado, cuatro triángulos semejantes construidos forman un cuadrado con un lado igual a la hipotenusa. C.

La suma de las áreas de los cuadrados construidos en la Fig. 2 es igual al área del cuadrado que construimos con el lado c en la Fig. 3. Esto se puede comprobar fácilmente calculando el área de los cuadrados de la Fig. 2 según la fórmula. Y el área del cuadrado inscrito en la Figura 3. restando las áreas de cuatro triángulos rectángulos iguales inscritos en el cuadrado del área de un cuadrado grande con un lado (a+b).

Anotando todo esto tenemos: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Abra los corchetes, realice todos los cálculos algebraicos necesarios y obtenga eso un 2 +b 2 = un 2 +b 2. En este caso, el área inscrita en la Fig. 3. El cuadrado también se puede calcular usando la fórmula tradicional. S=c2. Aquellos. a 2 +b 2 =c 2– has demostrado el teorema de Pitágoras.

Evidencia 3

La propia prueba india antigua fue descrita en el siglo XII en el tratado "La Corona del Conocimiento" ("Siddhanta Shiromani") y como argumento principal el autor utiliza un llamamiento dirigido a los talentos matemáticos y las habilidades de observación de estudiantes y seguidores: " ¡Mirar!"

Pero analizaremos esta prueba con más detalle:

Dentro del cuadrado, construye cuatro triángulos rectángulos como se indica en el dibujo. Denotamos el lado del cuadrado grande, también conocido como hipotenusa, Con. Llamemos a los catetos del triángulo. A Y b. Según el dibujo, el lado del cuadrado interior es (a-b).

Usa la fórmula para el área de un cuadrado. S=c2 para calcular el área del cuadrado exterior. Y al mismo tiempo calcula el mismo valor sumando el área del cuadrado interior y las áreas de los cuatro triángulos rectángulos: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Puedes usar ambas opciones para calcular el área de un cuadrado y asegurarte de que den mismo resultado. Y esto te da derecho a escribir eso. c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Como resultado de la solución, recibirás la fórmula del teorema de Pitágoras. c 2 =a 2 +b 2. El teorema está demostrado.

Prueba 4

Esta curiosa prueba china antigua fue llamada la “Silla de la Novia”, debido a la figura en forma de silla que resulta de todas las construcciones:

Utiliza el dibujo que ya hemos visto en la Fig. 3 en la segunda prueba. Y el cuadrado interior con lado c se construye de la misma manera que en la antigua prueba india dada anteriormente.

Si cortas mentalmente dos triángulos rectangulares verdes del dibujo de la Fig. 1, los mueves a lados opuestos del cuadrado con el lado c y unes las hipotenusas a las hipotenusas de los triángulos lilas, obtendrás una figura llamada "silla de la novia". (Figura 2). Para mayor claridad, puedes hacer lo mismo con cuadrados y triángulos de papel. Te asegurarás de que la “silla de la novia” esté formada por dos cuadrados: pequeños con un lado b y grande con un lado a.

Estas construcciones permitieron a los antiguos matemáticos chinos y a nosotros, siguiéndolos, llegar a la conclusión de que c 2 =a 2 +b 2.

Evidencia 5

Esta es otra forma de encontrar una solución al teorema de Pitágoras usando geometría. Se llama Método Garfield.

construir un triangulo rectángulo A B C. Necesitamos demostrar que antes de Cristo 2 = CA 2 + AB 2.

Para ello, continúa la pierna. C.A. y construir un segmento CD, que es igual al cateto AB. Bajar la perpendicular ANUNCIO segmento de línea DE. Segmentos DE Y C.A. son iguales. Conecta los puntos mi Y EN, y mi Y CON y obtén un dibujo como el de la siguiente imagen:

Para demostrar la torre, volvemos a recurrir al método que ya hemos probado: encontramos el área de la figura resultante de dos formas y equiparamos las expresiones entre sí.

Encuentra el área de un polígono UNA CAMA se puede hacer sumando las áreas de los tres triángulos que lo forman. Y uno de ellos, URE, no sólo es rectangular, sino también isósceles. Tampoco olvidemos que AB=CD, CA=ED Y BC=SE– esto nos permitirá simplificar la grabación y no sobrecargarla. Entonces, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

Al mismo tiempo, es obvio que UNA CAMA- Este es un trapezoide. Por tanto, calculamos su área mediante la fórmula: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Para nuestros cálculos, es más conveniente y claro representar el segmento. ANUNCIO como la suma de segmentos C.A. Y CD.

Anotemos ambas formas de calcular el área de una figura, poniendo un signo igual entre ellas: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Usamos la igualdad de segmentos que ya conocemos y descrita anteriormente para simplificar el lado derecho de la notación: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Ahora abramos los corchetes y transformemos la igualdad: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Habiendo completado todas las transformaciones, obtenemos exactamente lo que necesitamos: antes de Cristo 2 = CA 2 + AB 2. Hemos demostrado el teorema.

Por supuesto, esta lista de pruebas está lejos de ser completa. El teorema de Pitágoras también se puede demostrar mediante vectores, números complejos, ecuaciones diferenciales, estereometría, etc. E incluso los físicos: si, por ejemplo, se vierte líquido en volúmenes cuadrados y triangulares similares a los que se muestran en los dibujos. Al verter líquido, se puede demostrar la igualdad de áreas y, como resultado, el teorema mismo.

Algunas palabras sobre los trillizos pitagóricos

Este tema se estudia poco o nada en el currículo escolar. Mientras tanto, es muy interesante y de gran importancia en geometría. Las ternas pitagóricas se utilizan para resolver muchos problemas matemáticos. Comprenderlos puede resultarle útil en sus estudios superiores.

Entonces, ¿qué son los trillizos pitagóricos? Este es el nombre de los números naturales agrupados en grupos de tres, cuya suma de los cuadrados de dos de ellos es igual al tercer número al cuadrado.

Las ternas pitagóricas pueden ser:

primitivo (los tres números son primos relativos);
no primitivo (si cada número de un triple se multiplica por el mismo número, se obtiene un nuevo triple, que no es primitivo).

Incluso antes de nuestra era, los antiguos egipcios estaban fascinados por la manía por los números de los trillizos pitagóricos: en los problemas consideraban un triángulo rectángulo con lados de 3, 4 y 5 unidades. Por cierto, cualquier triángulo cuyos lados sean iguales a los números del triple pitagórico es rectangular por defecto.

Ejemplos de trillizos pitagóricos: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50), etc.

Aplicación práctica del teorema.

El teorema de Pitágoras se utiliza no sólo en matemáticas, sino también en arquitectura y construcción, astronomía e incluso literatura.

Primero, sobre la construcción: el teorema de Pitágoras se usa ampliamente en problemas de diversos niveles de complejidad. Por ejemplo, mire una ventana románica:

Denotaremos el ancho de la ventana como b, entonces el radio del semicírculo mayor se puede denotar como R y expresar a través de b: R=b/2. El radio de semicírculos más pequeños también se puede expresar mediante b:r=b/4. En este problema estamos interesados en el radio del círculo interior de la ventana (llamémoslo pag).

El teorema de Pitágoras sólo sirve para calcular R. Para hacer esto, usamos un triángulo rectángulo, que se indica con una línea de puntos en la figura. La hipotenusa de un triángulo consta de dos radios: b/4+p. Un cateto representa el radio b/4, otro b/2p. Utilizando el teorema de Pitágoras escribimos: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. A continuación, abrimos los corchetes y obtenemos b 2 /16+ pb/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-pb+p 2. Transformemos esta expresión en pb/2=b 2 /4-pb. Y luego dividimos todos los términos por b, te presentamos otros similares para conseguir 3/2*p=b/4. Y al final encontramos que p=b/6- que es lo que necesitábamos.

Usando el teorema, puedes calcular la longitud de las vigas de un techo a dos aguas. Determinar a qué altura se necesita una torre de telefonía celular para que la señal alcance una determinada asentamiento. E incluso instalar un árbol de Navidad de forma sostenible en la plaza del pueblo. Como puede ver, este teorema no solo se encuentra en las páginas de los libros de texto, sino que a menudo resulta útil en la vida real.

En literatura, el teorema de Pitágoras ha inspirado a escritores desde la antigüedad y continúa haciéndolo en nuestro tiempo. Por ejemplo, el escritor alemán del siglo XIX Adelbert von Chamisso se inspiró para escribir un soneto:

La luz de la verdad no se disipará pronto,
Pero, habiendo brillado, es poco probable que se disipe.
Y, como hace miles de años,
No causará dudas ni disputas.

El más sabio cuando toca tu mirada.
Luz de la verdad, gracias a los dioses;
Y cien toros, degollados, yacen.
Un regalo de regreso del afortunado Pitágoras.

Desde entonces los alcistas han estado rugiendo desesperadamente:
Para siempre alarmó a la tribu de los toros.
Evento mencionado aquí.

Les parece: el tiempo está por llegar,
Y serán sacrificados nuevamente
Algún gran teorema.

(traducción de Viktor Toporov)

Y en el siglo XX, el escritor soviético Evgeny Veltistov, en su libro "Las aventuras de la electrónica", dedicó un capítulo entero a las demostraciones del teorema de Pitágoras. Y otro medio capítulo más de la historia sobre el mundo bidimensional que podría existir si el teorema de Pitágoras se convirtiera en una ley fundamental e incluso en una religión para un solo mundo. Vivir allí sería mucho más fácil, pero también mucho más aburrido: allí, por ejemplo, nadie entiende el significado de las palabras "redondo" y "esponjoso".

Y en el libro "Las aventuras de la electrónica", el autor, por boca del profesor de matemáticas Taratar, dice: "Lo principal en matemáticas es el movimiento del pensamiento, las nuevas ideas". Es precisamente este vuelo creativo del pensamiento el que da origen al teorema de Pitágoras; no en vano tiene tantas y variadas demostraciones. Le ayuda a ir más allá de los límites de lo familiar y a mirar las cosas familiares de una manera nueva.

Conclusión

Este artículo fue creado para que pueda mirar más allá del plan de estudios escolar en matemáticas y aprender no solo las demostraciones del teorema de Pitágoras que se dan en los libros de texto "Geometría 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) y "Geometría 7". 11” (A.V. Pogorelov), pero también otras formas interesantes de demostrar el famoso teorema. Y vea también ejemplos de cómo se puede aplicar el teorema de Pitágoras en la vida cotidiana.

En primer lugar, esta información le permitirá obtener puntuaciones más altas en las lecciones de matemáticas; siempre se agradece mucho la información sobre el tema procedente de fuentes adicionales.

En segundo lugar, queríamos ayudarte a sentir lo interesantes que son las matemáticas. Confirma con ejemplos concretos que siempre hay lugar para la creatividad. Esperamos que el teorema de Pitágoras y este artículo lo inspiren a explorar de forma independiente y realizar descubrimientos interesantes en matemáticas y otras ciencias.

Cuéntenos en los comentarios si encontró interesante la evidencia presentada en el artículo. ¿Le resultó útil esta información en sus estudios? Escríbanos lo que piensa sobre el teorema de Pitágoras y este artículo; estaremos encantados de discutir todo esto con usted.