Vectores para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Acciones sobre vectores

Tema 3. Vectores. Sistemas de ecuaciones lineales.

Vectores

Objetivo El estudio del tema consiste en generalizar el concepto de vector, con el que los estudiantes conocen el currículo escolar y ampliar sus horizontes sistemáticos.

Vectores en el avión y en el espacio.

Vector- Este segmento dirigido. Punto A– comienzo del vector, punto EN– final del vector (Fig. 3.1.1). Puedes usar la notación. .

Longitud (módulo) vector es un número igual a la longitud del vector. El módulo vectorial se indica con el símbolo o . Si el módulo de un vector es , el vector se llama cero; la dirección del vector cero es arbitraria.

Los dos vectores se llaman colineal, si son paralelos a una línea (o se encuentran en una línea), en este caso se escriben . El vector nulo es colineal con cualquier vector.

Dos vectores igual, es decir, si se cumplen tres condiciones: ; y y están igualmente dirigidos.

Producto de un vector ā al número (escalar) λ Se llama vector que satisface las siguientes condiciones: , los vectores y son codireccionales si y están dirigidos en direcciones opuestas si . Si , el vector se llama opuesto vector .

Por tanto, la condición es suficiente para la colinealidad del vector y ;

Suma de vectores. La suma de dos vectores. y se llama vector, Comenzar que coincide con el comienzo del vector y el final, con el final del vector, siempre que el comienzo del vector coincida con el final del vector. (regla del triángulo)(ver Figura 3.1.2).

Como es un vector, entonces para obtener suma de dos vectores, puedes usar la regla paralelogramo: suma dos vectores es el vector diagonal de un paralelogramo construido sobre los vectores y , que se extiende desde el origen común de ambos vectores-sumandos.

La suma de varios los vectores se encuentran según la regla polígono: para encontrar la suma de varios vectores , es necesario combinar secuencialmente el comienzo del siguiente término vectorial con el final del anterior; entonces el vector dibujado desde el principio del primer vector hasta el final del último se llama suma de todos estos vectores (Fig. 3.1.3).

Por diferencia dos vectores se llama suma. Si el vector es , entonces, por analogía con la suma de dos vectores, este vector es la diagonal de un paralelepípedo construido sobre tres vectores como lados (figura 3.1.4).

Considere un vector en un plano. Movámonos al origen del sistema de coordenadas. xoy.

Obtenemos un vector. Las coordenadas vectoriales son las coordenadas de un punto. METRO(X;en). Introduzcamos vectores en los ejes de coordenadas. i Y j– longitud de la unidad (Fig. 3.1.5).

Obviamente, cualquiera o. Si se considera un vector en un espacio tridimensional, donde el punto METRO caracterizado por tres coordenadas, es decir METRO(x,y,z) , entonces el vector se puede representar como:

X i y j z k , (3.1.1)

Dónde yo, j, k– vectores unitarios que se encuentran en los ejes de coordenadas. Dejar , . Encontremos la suma y diferencia de estos vectores:

La suma de vectores y la multiplicación de un vector por un escalar están sujetas a las siguientes propiedades:

La prueba se desprende de (3.1.2).

Definición. Producto escalar vectores y el número se llama igual al producto de los módulos de estos vectores y el coseno del ángulo φ entre ellos, eso es. (3.1.3)

De (3.1.3) se siguen las propiedades del producto escalar:

4) si, entonces.

Usando las propiedades del producto escalar, puedes encontrar el producto escalar de dos vectores en forma de coordenadas. Si, entonces; si es la condición de perpendicularidad de los vectores.

Si los vectores son colineales, es decir, entonces esta es la condición para la colinealidad de los vectores.

Concepto norte -vector dimensional. Espacio vectorial. combinación lineal y dependencia lineal vectores.

El concepto de vector se puede generalizar.

Definición. norte-vector dimensional llamada colección ordenada norte números reales escritos en la forma X=(x 1, x 2,…, x n), xyo– componentes vectoriales X.

Concepto norte -El vector dimensional se usa ampliamente en economía. Por ejemplo, un determinado conjunto de bienes puede caracterizarse mediante un vector y los precios correspondientes, mediante un vector.

Dos norte Los vectores -dimensionales son iguales si y sólo si sus componentes correspondientes son iguales: , .

Por analogía con los vectores geométricos, se introducen los siguientes: la suma de vectores con componentes , ; diferencia de vectores con componentes , , con las mismas propiedades.

Producto escalar norte-vectores dimensionales:

Si X - un conjunto de bienes, y Y - corresponde a los precios unitarios de cada producto, luego el costo de todos los bienes:

Definición. El conjunto de vectores con componentes reales, en el que se definen las operaciones de suma (resta) y multiplicación de un vector por un escalar que satisfacen las propiedades anteriores, se denomina espacio vectorial.

Definición. El vector se llama combinación lineal de vectores espacio vectorial si

, (3.1.4)

¿Dónde están los números reales?

Definición. Los vectores se llaman linealmente dependientes si hay números que no son simultáneamente iguales a cero de modo que la combinación lineal sea .

EN de lo contrario los vectores () se llaman independiente linealmente.

Si los vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos puede expresarse linealmente en términos de los demás. Mostrémoslo. Sean los vectores () linealmente dependientes, es decir, n), por lo tanto

Habiendo resuelto el sistema utilizando cualquier método (por ejemplo, el método de Cramer), obtenemos su solución: , , . La expansión del vector con respecto a la base tiene la forma .

Todas las definiciones y teoremas relacionados con los vectores en el plano también son válidos para el espacio. Recordemos las definiciones básicas.

Para determinar el vector necesitamos

Definición

segmento dirigido llamado par ordenado de puntos en el espacio. Los segmentos dirigidos se llaman igual, si tienen igual longitud y dirección.

Definición

Vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos iguales entre sí.

Los vectores generalmente se indican con letras latinas minúsculas con una flecha en la parte superior: $\vec(a)$, $\vec(b)$, $\vec(c)$. Los segmentos dirigidos se denotan indicando el principio y el final, también con una flecha en la parte superior: $\vec(AB)$.

Un vector es un conjunto formado por un número infinito de elementos. Un segmento dirigido a menudo se denomina "vector". Si $\vec(AB) \in \vec(a)$, entonces se dice que el segmento dirigido $\vec(AB)$ representa el vector $\vec(a)$. En este caso, en el dibujo se dibuja un segmento dirigido y lo llaman "vector". Por ejemplo, cuando decimos “trazamos el vector $\vec(r)$ desde el punto $O$”, queremos decir que estamos construyendo un segmento dirigido $\vec(OR)$ que representa el vector $\vec(r )$.

Definición

Los vectores se llaman igual, si los segmentos dirigidos que los representan son iguales.

Puedes realizar operaciones de suma y resta de vectores, así como multiplicar un vector dado por un número real.

La regla del triángulo se conoce por planimetría: $\vec(a)+\vec(b) = \vec(c)$,

regla del paralelogramo: $\vec(a)+\vec(b) = \vec(c)$

y la regla de la suma de vectores rotos para el plano, que también son ciertas en el espacio.

La regla para la suma de vectores de polilíneas

Si $A_1, \, A_2, \, \dots, \, A_n$ son puntos arbitrarios en el espacio, entonces

$ \vec(A_1A_2) + \dots + \vec(A_(n-1)A_n) = \vec(A_1A_n). $

Además, en el espacio es cierto.

regla del paralelepípedo

Si $\vec(OA) \in \vec(a)$, $\vec(OB) \in \vec(b)$, $\vec(OC) \in \vec(c)$, entonces, basándose en segmentos dirigidos del paralelepípedo $OAEBCFDG$, se puede encontrar un segmento dirigido $\vec(OD)$ que representa el vector $\vec(d)$, que es la suma de los vectores $\vec(a), \, \ vec(b), \, \vec(c).$

El artículo discutirá qué es un vector, qué es en sentido geométrico e introduciremos los siguientes conceptos.

Primero, demos una definición:

Definición 1

Vector es un segmento recto dirigido.

Según la definición, un vector en geometría es un segmento en un plano o en el espacio que tiene una dirección, y esta dirección está dada por el principio y el final.

En matemáticas, las letras latinas minúsculas se suelen utilizar para indicar un vector, pero siempre se coloca una pequeña flecha encima del vector, por ejemplo un →. Si se conocen los puntos límite de un vector: su comienzo y su final, por ejemplo A y B, entonces el vector se denota como A B →.

Definición 2

Bajo vector cero 0 → entenderemos cualquier punto de un plano o espacio.

De la definición resulta obvio que el vector cero puede tener cualquier dirección en el plano y en el espacio.

Longitud del vector

Definición 3

Bajo longitud del vector Se entiende por A B → un número mayor o igual a 0 e igual a la longitud del segmento AB.

La longitud del vector A B → generalmente se denota como A B → .

Los conceptos de módulo vectorial y longitud del vector son equivalentes, porque su designación coincide con el signo del módulo. Por lo tanto, la longitud de un vector también se llama módulo. Sin embargo, es más correcto utilizar el término "longitud del vector". Obviamente, la longitud del vector cero toma el valor cero.

Colinealidad de vectores

Definición 4

Dos vectores que se encuentran en la misma recta o en rectas paralelas se llaman colineal .

Definición 5

Dos vectores que no se encuentran en la misma recta ni en rectas paralelas se llaman no colineal .

Cabe recordar que el vector Cero siempre es colineal con cualquier otro vector, ya que puede tomar cualquier dirección.

Los vectores colineales, a su vez, también se pueden dividir en dos clases: codireccionales y de dirección opuesta.

Definición 6

Vectores codireccionales Se llaman dos vectores colineales a → y b →, cuyas direcciones coinciden, dichos vectores se denotan como a → b →.

Definición 7

Vectores opuestos Se llaman dos vectores colineales a → y b →, cuyas direcciones no coinciden, es decir son opuestos, dichos vectores se denotan de la siguiente manera: a → ↓ b → .

El vector cero se considera codireccional con respecto a cualquier otro vector.

Definición 8

Igual se denominan vectores codireccionales cuyas longitudes son iguales.

Definición 9

Opuesto Se llaman vectores opuestos a aquellos cuyas longitudes son iguales.

Los conceptos introducidos anteriormente nos permiten considerar vectores sin referencia a puntos específicos. En otras palabras, puedes reemplazar un vector con un vector igual trazado desde cualquier punto.

Sean dados dos vectores arbitrarios en el plano o en el espacio a → y b →. Tracemos los vectores O A → = a → y O B → = b → desde algún punto O del plano o espacio. Los rayos OA y OB forman un ángulo ∠ A O B = φ.

Definición 9

El ángulo φ = ∠ A O B se llama ángulo entre vectores a → = O A → y b → = O B → .

Obviamente, el ángulo entre vectores codireccionales es igual a cero grados (o cero radianes), ya que los vectores codireccionales se encuentran en líneas iguales o paralelas y tienen la misma dirección, y el ángulo entre vectores con direcciones opuestas es igual a 180 grados (o π radianes ), ya que los vectores con direcciones opuestas se encuentran en rectas iguales o paralelas, pero tienen direcciones opuestas.

Definición 10

Perpendicular Se llaman dos vectores cuyo ángulo es de 90 grados (o π 2 radianes).

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter

Hay dos formas de resolver problemas en estereometría.

El primero, el clásico, requiere un excelente conocimiento de los axiomas y teoremas de la estereometría, la lógica, la capacidad de construir un dibujo y reducir un problema volumétrico a uno planimétrico. Lo bueno de este método es que desarrolla el cerebro y la imaginación espacial.

Otro método es utilizar vectores y coordenadas. Se trata de fórmulas, algoritmos y reglas simples. Es muy conveniente, especialmente cuando queda poco tiempo antes del examen, pero quieres solucionar el problema.

Si lo dominas, comprenderás los vectores en el espacio. Muchos conceptos le resultarán familiares.

Sistema de coordenadas en el espacio.

Elijamos el origen de coordenadas. Dibujemos tres ejes X, Y y Z mutuamente perpendiculares. Establezcamos una escala conveniente.

resultó sistema coordinado en el espacio tridimensional. Ahora cada uno de sus puntos se caracteriza por tres números: coordenadas en X, Y y Z. Por ejemplo, la notación M(−1; 3; 2) significa que la coordenada del punto M en X (abscisa) es igual a −1 , la coordenada en Y (ordenada) es igual a 3 y la coordenada Z (aplicada) es 2.

Los vectores en el espacio se definen de la misma manera que en un plano. Son segmentos dirigidos que tienen un principio y un final. Sólo en el espacio un vector está especificado por tres coordenadas. x,y Y z:

¿Cómo encontrar las coordenadas de un vector? Como en un plano, restamos la coordenada inicial de la coordenada final.

La longitud de un vector en el espacio es la distancia entre los puntos A y B. Se encuentra como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las coordenadas del vector.

Sea el punto M el punto medio del segmento AB. Sus coordenadas se encuentran mediante la fórmula:

Para sumar vectores, utilizamos la ya familiar regla del triángulo y la regla del paralelogramo.

La suma de vectores, su diferencia, el producto de un vector por un número y el producto escalar de vectores se determinan de la misma forma que en el plano. Solo que no hay dos coordenadas, sino tres. Tomemos los vectores y .

Suma de vectores:

Diferencia de vectores:

Producto de un vector y un número:

Producto escalar de vectores:

Coseno del ángulo entre vectores:

La última fórmula es conveniente para encontrar el ángulo entre líneas rectas en el espacio. Especialmente si estas líneas rectas se cruzan. Recordemos que así se llama a las rectas que no son paralelas ni se cortan. Se encuentran en planos paralelos.

1. En el cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 los puntos E y K son los puntos medios de las aristas A 1 B 1 y B 1 C 1, respectivamente. Encuentra el coseno del ángulo entre las líneas AE y BK.

Si consigues un cubo, entonces tienes suerte. Encaja perfectamente en el sistema de coordenadas rectangular. Construimos un dibujo:

No se da la longitud de la arista del cubo. Sea lo que sea, el ángulo entre AE y BK no depende de ello. Por lo tanto, tomemos un cubo unitario, cuyas aristas sean todas iguales a 1.

Se cruzan las rectas AE y BK. Encontremos el ángulo entre los vectores y . Para ello necesitamos sus coordenadas.

Anotamos las coordenadas de los vectores:

y encuentre el coseno del ángulo entre los vectores y:

2. En una pirámide cuadrangular regular SABCD, cuyas aristas son iguales a 1, los puntos E, K son los puntos medios de las aristas SB y SC, respectivamente. Encuentra el coseno del ángulo entre las líneas AE y BK.

Lo mejor es elegir el origen en el centro de la base de la pirámide y hacer que los ejes X e Y sean paralelos a los lados de la base.

Las coordenadas de los puntos A, B y C son fáciles de encontrar:

Del triángulo rectángulo AOS encontramos

Coordenadas de la cima de la pirámide:

El punto E es el punto medio de SB y K es el punto medio de SC. Usemos la fórmula para las coordenadas del medio del segmento y encontremos las coordenadas de los puntos E y K.

Encontremos las coordenadas de los vectores y

y el ángulo entre ellos:

Veamos ahora cómo encajar un sistema de coordenadas en un prisma triangular:

3. En un prisma triangular regular ABCA 1 B 1 C 1, cuyas aristas son iguales a 1, el punto D es el centro de la arista A 1 B 1. Encuentra el coseno del ángulo entre las rectas AD y BC 1

Sea el punto A el origen. Tomemos el eje X paralelo al lado BC y el eje Y perpendicular a él. En otras palabras, el segmento AH estará en el eje Y, que es la altura del triángulo ABC. Dibujemos la base inferior del prisma por separado.

Anotamos las coordenadas de los puntos:

El punto D es el medio de A 1 B 1. Esto significa que usamos fórmulas para las coordenadas del medio.
segmento.

Encontremos las coordenadas de los vectores y , y luego el ángulo entre ellos:

Mira lo fácil que es encontrar el ángulo entre líneas rectas usando vectores y coordenadas. ¿Qué pasa si necesitas encontrar el ángulo entre planos o entre una línea recta y un plano? Para resolver tales problemas necesitamos la ecuación de un plano en el espacio.

Un plano en el espacio viene dado por la ecuación:

Aquí los números A, B y C son las coordenadas del vector perpendicular a este plano. Se llama normal al avión.

En lugar de x, y y z, puedes sustituir en la ecuación las coordenadas de cualquier punto que pertenezca a un plano determinado. El resultado es una igualdad correcta.

Se puede trazar un plano en el espacio a través de tres puntos cualesquiera que no se encuentren en la misma línea recta. Por tanto, para escribir la ecuación de un plano, tomamos las coordenadas de tres puntos que le pertenecen. Los sustituimos uno por uno en la ecuación del avión. Resolvemos el sistema resultante.

Mostremos cómo se hace.

Escribamos la ecuación del plano que pasa por los puntos M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) y K (4; 1; 2).

La ecuación del plano se ve así:

Sustituyamos sucesivamente las coordenadas de los puntos M, N y K.

Para el punto M:

Es decir, A + C + D = 0.

Para el punto N:

De manera similar para el punto K:

Obtuvimos un sistema de tres ecuaciones:

En él hay cuatro incógnitas: A, B, C y D. Por tanto, elegiremos una de ellas nosotros mismos y expresaremos las demás a través de ella. La regla es simple: en lugar de una de las variables, puede tomar cualquier número que no sea igual a cero.

Sea, por ejemplo, D = −2. Entonces:

Expresemos C y B a través de A y sustitúyelos en la tercera ecuación:

Resolviendo el sistema obtenemos:

La ecuación del plano MNK es:

Multipliquemos ambos lados de la ecuación por −3. Entonces los coeficientes se convertirán en números enteros:

El vector es la normal al plano MNK.

La ecuación de un plano que pasa por un punto dado tiene la forma:

Ángulo entre planos igual al ángulo entre las normales a estos planos:

¿No es una fórmula familiar? El producto escalar de las normales se dividió por el producto de sus longitudes.

Tenga en cuenta que cuando dos planos se cruzan, generalmente se forman cuatro ángulos.

Cogemos el más pequeño. Por lo tanto, la fórmula contiene el módulo del producto escalar, de modo que el coseno del ángulo no sea negativo.

4. En el cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 los puntos E y F son los puntos medios de las aristas A 1 B 1 y A 1 D 1 , respectivamente. Encuentra la tangente del ángulo entre los planos AEF y BDD 1.

Estamos construyendo un dibujo. Se puede ver que los planos AEF y BDD 1 se cruzan en algún lugar fuera del cubo. En la solución clásica, sería necesario construir una línea de intersección. Pero el método de coordenadas vectoriales simplifica enormemente todo. No nos devanemos los sesos sobre qué línea recta se cruzan los planos. Simplemente marquemos las coordenadas de los puntos que necesitamos y encontremos el ángulo entre las normales a los planos AEF y BDD 1.

Primero, la normal al avión BDD 1. Por supuesto, podemos sustituir las coordenadas de los puntos B, D y D 1 en la ecuación del plano y encontrar los coeficientes, que serán las coordenadas del vector normal. O podemos hacer algo más astuto: ver la normal requerida directamente en el dibujo. Después de todo, el plano BDD 1 es una sección diagonal del cubo. El vector es perpendicular a este plano.

Entonces ya tenemos el primer vector normal:

Escribamos la ecuación del avión AEF.

Tomamos la ecuación del plano y, a su vez, sustituimos en ella, en lugar de x, y y z, las coordenadas correspondientes de los puntos A, E y F.

Simplifiquemos el sistema:

Sea C = -1. Entonces A = B = 2.

Ecuación del plano AEF:

Normal al plano AEF:

Encontremos el ángulo entre los planos:

5. La base de un prisma cuadrangular recto BCDA 1 B 1 C 1 D 1 es un rectángulo ABCD, en el que AB = 5, AD = √33. Encuentre la tangente del ángulo entre el plano de la cara AA 1 D 1 D y el plano que pasa por el medio del borde CD perpendicular a la línea B 1 D, si la distancia entre las líneas A 1 C 1 y BD es √ 3.

Este problema muestra claramente cuánto más simple es el método vectorial que el clásico. Intente, para variar, construir las secciones necesarias y realizar todas las pruebas, como se hace en los “clásicos” :-)

Estamos construyendo un dibujo. Un prisma cuadrangular recto puede denominarse “paralelepípedo” de otra manera.

Notamos que tenemos el largo y el ancho del paralelepípedo, pero la altura no parece estar dada. ¿Cómo encontrarla?

"La distancia entre las líneas A 1 C 1 y BD es √3". Se cruzan las líneas A 1 C 1 y BD. Uno de ellos es la diagonal de la base superior, el otro es la diagonal de la base inferior. Recuerde que la distancia entre líneas que se cruzan es igual a la longitud de su perpendicular común. La perpendicular común a A 1 C 1 y BD es obviamente OO 1, donde O es el punto de intersección de las diagonales de la base inferior, O 1 es el punto de intersección de las diagonales de la superior. Y el segmento OO 1 es igual a la altura del paralelepípedo.

Entonces AA 1 = √3

El plano AA 1 D 1 D es la cara posterior del prisma en nuestro dibujo. Su normal es cualquier vector perpendicular a la cara posterior, por ejemplo, un vector o, más simple aún, un vector.

Queda “un plano que pasa por el centro del borde CD perpendicular a la recta B 1 D”. Pero disculpe, si el plano es perpendicular a la línea B 1 D, ¡entonces B 1 D es la normal a este plano! Se conocen las coordenadas de los puntos B 1 y D:

Coordenadas vectoriales también.

Definición

Cantidad escalar- una cantidad que puede caracterizarse por un número. Por ejemplo, longitud, área, masa, temperatura, etc.

Vector llamado segmento dirigido $\overline(A B)$; el punto $A$ es el comienzo, el punto $B$ es el final del vector (Fig. 1).

Un vector se indica con dos letras mayúsculas: su principio y su final: $\overline(A B)$ o con una letra minúscula: $\overline(a)$.

Definición

Si el principio y el final de un vector coinciden, entonces dicho vector se llama cero. Muy a menudo, el vector cero se denota como $\overline(0)$.

Los vectores se llaman colineal, si se encuentran en la misma línea o en líneas paralelas (Fig. 2).

Definición

Dos vectores colineales $\overline(a)$ y $\overline(b)$ se llaman codirigido, si sus direcciones coinciden: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (Fig. 3, a). Dos vectores colineales $\overline(a)$ y $\overline(b)$ se llaman dirigido de manera opuesta, si sus direcciones son opuestas: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (Fig. 3, b).

Definición

Los vectores se llaman coplanar, si son paralelos al mismo plano o se encuentran en el mismo plano (Fig. 4).

Dos vectores son siempre coplanares.

Definición

Longitud (módulo) El vector $\overline(A B)$ es la distancia entre su principio y su final: $|\overline(A B)|$

Teoría detallada sobre la longitud del vector en el enlace.

La longitud del vector cero es cero.

Definición

Un vector cuya longitud es igual a uno se llama vector unitario o ortom.

Los vectores se llaman igual, si se encuentran en una o líneas paralelas; sus direcciones coinciden y sus longitudes son iguales.