Másodfokú egyenletek a trigonometrikus függvényhez képest. Másodfokú trigonometrikus egyenletek megoldása

Problémájára részletes megoldást rendelhet!!!

A trigonometrikus függvény (`sin x, cos x, tan x` vagy `ctg x`) előjele alatt ismeretlent tartalmazó egyenlőséget trigonometrikus egyenletnek nevezzük, és ezek képleteit vizsgáljuk meg a továbbiakban.

A legegyszerűbb egyenletek a `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, ahol `x` a keresendő szög, `a` tetszőleges szám. Írjuk fel mindegyikhez a gyökképleteket.

1. `sin x=a` egyenlet.

Az `|a|>1` esetén nincs megoldás.

Amikor `|a| A \leq 1` végtelen számú megoldást tartalmaz.

Gyökképlet: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. "cos x=a" egyenlet

Az `|a|>1` - mint a szinusz esetében - nincs megoldása valós számok között.

Amikor `|a| A \leq 1` végtelen számú megoldást tartalmaz.

Gyökképlet: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Szinusz és koszinusz speciális esetei grafikonokban.

3. "tg x=a" egyenlet

Végtelen számú megoldása van az "a" bármely értékére.

Gyökérképlet: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` egyenlet

Ezenkívül végtelen számú megoldása van az "a" bármely értékére.

Gyökérképlet: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

A trigonometrikus egyenletek gyökereinek képletei a táblázatban

A szinuszhoz:
A koszinuszhoz:
Tangenshez és kotangenshez:
Képletek inverz trigonometrikus függvényeket tartalmazó egyenletek megoldására:

Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei

Bármely trigonometrikus egyenlet megoldása két lépésből áll:

• a legegyszerűbbre való átalakítás segítségével;
• oldja meg a fent leírt gyökképletek és táblázatok segítségével kapott legegyszerűbb egyenletet.

Nézzük meg a fő megoldási módszereket példák segítségével.

Algebrai módszer.

Ez a módszer magában foglalja egy változó lecserélését és egyenlőségbe való behelyettesítését.

Példa. Oldja meg az egyenletet: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

cserélje ki: `cos(x+\frac \pi 6)=y, majd `2y^2-3y+1=0`,

megtaláljuk a gyökereket: `y_1=1, y_2=1/2`, amiből két eset következik:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Válasz: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizáció.

Példa. Oldja meg az egyenletet: `sin x+cos x=1`.

Megoldás. Mozgassuk az egyenlőség összes tagját balra: `sin x+cos x-1=0`. Használatával a bal oldalt transzformáljuk és faktorizáljuk:

"sin x — 2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0",

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. „cos x/2-sin x/2=0”, „tg x/2=1”, „x/2=arctg 1+ \pi n”, „x/2=\pi/4+ \pi n” , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Válasz: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukálás homogén egyenletre

Először is le kell redukálnia ezt a trigonometrikus egyenletet a két alak egyikére:

`a sin x+b cos x=0` (elsőfokú homogén egyenlet) vagy `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (másodfokú homogén egyenlet).

Ezután ossza el mindkét részt `cos x \ne 0` -val - az első esetben, és "cos^2 x \ne 0" - a második esetben. Egyenleteket kapunk a `tg x`-re: `a tg x+b=0` és `a tg^2 x + b tg x +c =0`, amelyeket ismert módszerekkel kell megoldani.

Példa. Oldja meg az egyenletet: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Megoldás. Írjuk a jobb oldalt a következőképpen: `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ez egy homogén másodfokú trigonometrikus egyenlet, bal és jobb oldalát elosztjuk `cos^2 x \ne 0`-val, így kapjuk:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Vezessük be a `tg x=t` helyettesítőt, ami `t^2 + t - 2=0`-t eredményez. Ennek az egyenletnek a gyöke: `t_1=-2` és `t_2=1`. Akkor:

1. „tg x=-2”, „x_1=arctg (-2)+\pi n”, „n \in Z”
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Válasz. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Áttérés félszögre

Példa. Oldja meg az egyenletet: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Megoldás. Alkalmazzuk a kettős szögképleteket, aminek eredménye: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

"4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0".

A fent leírt algebrai módszert alkalmazva a következőket kapjuk:

1. „tg x/2=2”, „x_1=2 arctg 2+2\pi n”, „n \in Z”,
2. „tg x/2=3/4”, „x_2=arctg 3/4+2\pi n”, „n \in Z”.

Válasz. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Segédszög bevezetése

Az "a sin x + b cos x =c" trigonometrikus egyenletben, ahol a,b,c együtthatók, x pedig egy változó, mindkét oldalt ossza el "sqrt (a^2+b^2)"-vel:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".

A bal oldali együtthatók szinusz és koszinusz tulajdonságaival rendelkeznek, vagyis négyzeteinek összege 1, moduljaik pedig nem nagyobbak 1-nél. Jelöljük őket a következőképpen: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, akkor:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Nézzük meg közelebbről a következő példát:

Példa. Oldja meg az egyenletet: `3 sin x+4 cos x=2`.

Megoldás. Az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk `sqrt (3^2+4^2)-vel, így kapjuk:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

"3/5 sin x+4/5 cos x=2/5".

Jelöljük `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Mivel a `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, akkor a `\varphi=arcsin 4/5`-t vesszük segédszögnek. Ezután az egyenlőségünket a következő formában írjuk fel:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

A szinusz szögösszegének képletét alkalmazva egyenlőségünket a következő formában írjuk fel:

"sin (x+\varphi)=2/5",

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Válasz. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Törtracionális trigonometrikus egyenletek

Ezek olyan tört egyenlőségek, amelyek számlálói és nevezői trigonometrikus függvényeket tartalmaznak.

Példa. Oldja meg az egyenletet. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.

Megoldás. Szorozd meg és oszd el az egyenlőség jobb oldalát "(1+cos x)"-vel. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Figyelembe véve, hogy a nevező nem lehet egyenlő nullával, a következőt kapjuk: `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Tegyük egyenlővé a tört számlálóját nullával: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Ezután `sin x=0` vagy `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Tekintettel arra, hogy ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, a megoldások: `x=2\pi n, n \in Z` és `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Válasz. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

A trigonometriát, és különösen a trigonometrikus egyenleteket a geometria, a fizika és a mérnöki tudomány szinte minden területén használják. A tanulás a 10. osztályban kezdődik, az egységes államvizsgához mindig vannak feladatok, ezért próbálja meg emlékezni a trigonometrikus egyenletek összes képletére - ezek biztosan hasznosak lesznek az Ön számára!

Azonban még csak memorizálni sem kell őket, a lényeg az, hogy megértsük a lényeget és le tudjuk vezetni. Nem olyan nehéz, mint amilyennek látszik. Győződjön meg Ön is a videó megtekintésével.

Óra témája: „Trigonometrikus egyenletek megoldása új változó bevezetésével”

Az óra típusa: lecke az új anyagok tanulásáról

Az óra céljai: Nevelési: ismereteket és készségeket megszilárdítani a legegyszerűbb problémák megoldásában

trigonometrikus egyenletek, tanítsa meg a trigonometrikus egyenletek megoldását

új változó bevezetésével.

Fejlődési: trigonometrikus egyenletek megoldási képességének fejlesztése, fejlesztése

az egyenlet típusának és megoldásának gyors és helyes meghatározásának képessége.

Nevelési: a munka kultúráját és az egymás iránti tiszteletet megteremteni.

Óraterv: 1. Idő szervezése.

2. Házi feladat ellenőrzése.

3. Az ismeretek frissítése.

4. Új anyagok tanulása.

5. Új anyag összevonása.

6. Testnevelés perc.

7. A tudás elsődleges ellenőrzése.

8. Összegzés.

9. Visszaverődés.

10. Házi feladat.

Az órák alatt.

1. Szervezési mozzanat .

2. Házi feladat ellenőrzése. 18 No. 13(c)

3. Az ismeretek frissítése. Oldja meg az egyenletet:

sin x = 0

kötözősalátax = 1

kötözősalátax = 2

tg x =

Val veltgx = 0

1. x 2 + 3x =0

   x 2 – 9 = 0

   3x 2 + 29 = 0

   x 2 +5x +6 = 0

   x 4 +2x 2 – 3 = 0

Mi a neve a bal oldali oszlopba írt egyenleteknek? a jobb oldali oszlopban?

Milyen módszerekkel oldották meg a bal oldali oszlopban található egyenleteket?

bűn 2 x - 6 bűn x + 5 =0

Mit gondolsz, mi lesz a mai óra témája?

Kinyitottuk a füzeteinket és felírtuk a számot, az órai munkát, az óra témáját: „Trigonometrikus egyenletek megoldása új változó bevezetésével."

Mi a célunk a leckével?Tanuljon meg trigonometrikus egyenleteket megoldani a változócsere módszerrel.

4. Új anyag tanulmányozása.

Ez a lecke a trigonometrikus egyenletek megoldásának leggyakoribb módszereit tárgyalja.

Trigonometrikus egyenletek másodfokú egyenletekre redukálva .

Ez az osztály tartalmazhat olyan egyenleteket, amelyek egy függvényt (szinusz vagy koszinusz, érintő vagy kotangens) vagy ugyanannak az argumentumnak két függvényét tartalmazzák, de ezek egyike a másodikra ​​redukálódik alapvető trigonometrikus azonosságok használatával.Abűn 2 x + bsinx + c =0, a.

Például hacOsx páros hatványokkal lép be az egyenletbe, majd 1-re cseréljükbűn 2 x, Habűn 2 x, akkor kicseréljük 1-rekötözősaláta 2 x.

5. Új anyag konszolidációja.

Példa.

Oldja meg az egyenletet:bűn 2 x - 6 bűnx + 5 =0, 2 bűn 2 x - 3kötözősalátax -3 = 0.

6. Testnevelési perc.

Szemfáradtság enyhítésére szolgáló feladat: ne a kezét mozgassa, hanem csak a szemét A táblázat 1-től 20-ig számokat tartalmaz, de négy szám hiányzik. Az Ön feladata: nevezze el ezeket a számokat.

7. Elsődleges vezérlés

Párokban dolgozni: oldja meg az egyenletet:

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2.5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Megbeszéljük az egyenletek megoldásait, megoldjuk, majd a táblával ellenőrizzük a megoldásokat.

1. 3 tg 2 x +2 tgx-1= 0

Haddtgx = t.

3 t 2 + 2 t – 1 = 0

D = 16

t 1 = , t 2 = -1.

tgx= vagytgx = -1

x = arctg + Z x = - + Z

2. 5 bűn 2 x + 6cos x - 6 = 0

5( 1 - Val vel os 2 x ) + 6cos x - 6 = 0

5 kötözősaláta 2 x - 6cos x +1 = 0

Haddcos x =t.

5 t 2 - 6 t + 1 = 0

D = 16

t 1 = , t 2 = 1.

Térjünk vissza az eredeti változóhoz:

kötözősalátax= vagykötözősalátax = 1

x = arccos + Z x = Z

8. Konszolidáció.

Oldja meg az egyenleteket:

1. 2 Val veltg 2 x+3Val veltg x + 3 = 5;

2.2sin 2 -bűnx + 2 = 3.

1. Oldja meg az egyenletet! 2 kötözősaláta 2 x - 3 kötözősaláta (x) - 3 = 0. Jelölje meg a [ - ; szegmenshez tartozó gyököket; ].

2. 3tg x-2Val velbarna x = 5

Mindegyik opció megoldja az egyenleteket, és ellenőrzi a válaszokat a táblán. A srácok értékelik magukat ezért a munkáért. Az oldatokat tartalmazó leveleket leadják. A következő órán kihirdetem ennek a munkának az osztályzatait.

8. Összegzés .

Ne feledje: Mi az óra témája? Mi a célunk a mai órán? Elértük a célunkat?

9. Reflexió.

„A mai órán rájöttem...”;

„Magamat dicsérném...”;

„Különösen tetszett...”;

„Ma sikerült...”;

"Sikerült...";

"Bonyolult volt…";

"Rájöttem, hogy...";

"Most már tudok…";

"Éreztem...";

"Tanultam…";

"Meglepődtem..."

10. Házi feladat.

1) 18. §, 6. sz. c) pont, 8. b) pont, 9. cikk a) pont, 21. cikk a) pont.

2) 18. §, 7. b) pont, 9. d) pont. 1. vagy 2. számú feladat.

1. Oldja meg a + 4 egyenletet!tgx- 6 = 0. Jelölje meg a [ szegmenshez tartozó gyökereket; ].

2. = 0.

Párokban dolgozni

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 bűn 2 x + 6 kötözősaláta x -6 = 0.

Párokban dolgozni

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2.5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Párokban dolgozni

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 bűn 2 x + 6 kötözősaláta x -6 = 0.

Párokban dolgozni

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 bűn 2 x + 6 kötözősaláta x -6 = 0.

Párokban dolgozni

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2.5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Házi feladat:

1. Oldja meg a + 4 egyenletet!tgx

[ ; ].

2. Oldja meg az egyenletet!

Házi feladat:

1. Oldja meg a + 4 egyenletet!tgx- 6 = 0. Jelölje meg a szegmenshez tartozó gyököket!

[ ; ].

2. Oldja meg az egyenletet!

Házi feladat:

1. Oldja meg a + 4 egyenletet!tgx- 6 = 0. Jelölje meg a szegmenshez tartozó gyököket!

[ ; ].

2. Oldja meg az egyenletet!

Házi feladat:

1. Oldja meg a + 4 egyenletet!tgx- 6 = 0. Jelölje meg a szegmenshez tartozó gyököket!

[ ; ].

2. Oldja meg az egyenletet!

Házi feladat:

1. Oldja meg a + 4 egyenletet!tgx- 6 = 0. Jelölje meg a szegmenshez tartozó gyököket!

[ ; ].

2. Oldja meg az egyenletet!

Házi feladat:

1. Oldja meg a + 4 egyenletet!tgx- 6 = 0. Jelölje meg a szegmenshez tartozó gyököket!

[ ; ].

2. Oldja meg az egyenletet!

Házi feladat:

1. Oldja meg a + 4 egyenletet!tgx- 6 = 0. Jelölje meg a szegmenshez tartozó gyököket!

[ ; ].

2. Oldja meg az egyenletet!

Házi feladat:

1. Oldja meg a + 4 egyenletet!tgx- 6 = 0. Jelölje meg a szegmenshez tartozó gyököket!

[ ; ].

2. Oldja meg az egyenletet!

Házi feladat:

1. Oldja meg a + 4 egyenletet!tgx- 6 = 0. Jelölje meg a szegmenshez tartozó gyököket!

[ ; ].

2. Oldja meg az egyenletet!

Házi feladat:

1. Oldja meg a + 4 egyenletet!tgx- 6 = 0. Jelölje meg a szegmenshez tartozó gyököket!

[ ; ].

2. Oldja meg az egyenletet!

Sok megoldásánál matematikai problémák, különösen azok, amelyek a 10. évfolyam előtt fordulnak elő, egyértelműen meghatározott a célhoz vezető cselekvések sorrendje. Ilyen problémák közé tartoznak például a lineáris és másodfokú egyenletek, a lineáris és másodfokú egyenlőtlenségek, a törtegyenletek és a másodfokúvá redukáló egyenletek. Az egyes említett problémák sikeres megoldásának elve a következő: meg kell határoznia, hogy milyen típusú problémát old meg, emlékezzen a szükséges műveletsorokra, amelyek a kívánt eredményhez vezetnek, pl. válaszoljon, és kövesse ezeket a lépéseket.

Nyilvánvaló, hogy egy adott probléma megoldásának sikere vagy kudarca elsősorban attól függ, hogy a megoldandó egyenlet típusát mennyire helyesen határozzák meg, milyen helyesen reprodukálják a megoldás összes szakaszának sorrendjét. Természetesen ebben az esetben azonos átalakítások és számítások elvégzéséhez szükséges készségekre van szükség.

Más a helyzet vele trigonometrikus egyenletek. Egyáltalán nem nehéz megállapítani, hogy az egyenlet trigonometrikus. Nehézségek merülnek fel a helyes válaszhoz vezető műveletek sorrendjének meghatározásakor.

Néha nehéz meghatározni a típusát egy egyenlet megjelenése alapján. Az egyenlet típusának ismerete nélkül pedig szinte lehetetlen kiválasztani a megfelelőt több tucat trigonometrikus képlet közül.

A trigonometrikus egyenlet megoldásához meg kell próbálnia:

1. állítsa az egyenletben szereplő összes függvényt „azonos szögekbe”;
2. hozza az egyenletet „azonos függvényekre”;
3. faktorozza az egyenlet bal oldalát stb.

Mérlegeljük trigonometrikus egyenletek megoldásának alapvető módszerei.

I. Redukció a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletekre

Megoldási diagram

1. lépés. Fejezzen ki egy trigonometrikus függvényt ismert komponensekkel.

2. lépés. Keresse meg a függvény argumentumát a képletekkel:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

3. lépés Keresse meg az ismeretlen változót.

Példa.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Megoldás.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Válasz: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Változó csere

Megoldási diagram

1. lépés. Csökkentse az egyenletet algebrai formára az egyik trigonometrikus függvényre vonatkozóan.

2. lépés. Jelölje a kapott függvényt a t változóval (ha szükséges, vezessen be korlátozásokat t-re).

3. lépésÍrja fel és oldja meg a kapott algebrai egyenletet!

4. lépés. Végezzen fordított cserét.

5. lépés. Oldja meg a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet!

Példa.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Megoldás.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Legyen sin (x/2) = t, ahol |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 vagy e = -3/2, nem teljesíti a |t| feltételt ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Válasz: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Egyenletsorrend-csökkentési módszer

Megoldási diagram

1. lépés. Cserélje le ezt az egyenletet egy lineárisra, a fokcsökkentés képletével:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

2. lépés. Oldja meg a kapott egyenletet az I. és II. módszerrel!

Példa.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Megoldás.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Válasz: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogén egyenletek

Megoldási diagram

1. lépés. Csökkentse ezt az egyenletet a formára

a) a sin x + b cos x = 0 (elsőfokú homogén egyenlet)

vagy a kilátáshoz

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (másodfokú homogén egyenlet).

2. lépés. Oszd el az egyenlet mindkét oldalát

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

és kapjuk meg a tan x egyenletet:

a) a cser x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

3. lépés Oldja meg az egyenletet ismert módszerekkel!

Példa.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Megoldás.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Legyen akkor tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 vagy t = -4, ami azt jelenti

tg x = 1 vagy tg x = -4.

Az első egyenletből x = π/4 + πn, n Є Z; a második egyenletből x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.

Válasz: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Egyenlet transzformációjának módszere trigonometrikus képletekkel

Megoldási diagram

1. lépés. Az összes lehetséges trigonometrikus képlet felhasználásával redukálja le ezt az egyenletet az I., II., III., IV. módszerrel megoldott egyenletre.

2. lépés. Oldja meg a kapott egyenletet ismert módszerekkel!

Példa.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Megoldás.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 vagy 2cos x + 1 = 0;

Az első egyenletből 2x = π/2 + πn, n Є Z; a második egyenletből cos x = -1/2.

Van x = π/4 + πn/2, n Є Z; a második egyenletből x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ennek eredményeként x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Válasz: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

A trigonometrikus egyenletek megoldásának képessége és készsége nagyon Fontos, hogy fejlesztésük jelentős erőfeszítést igényel, mind a tanuló, mind a tanár részéről.

A trigonometrikus egyenletek megoldásához számos sztereometriai, fizika stb. probléma kapcsolódik. Az ilyen feladatok megoldásának folyamata számos olyan tudást és készséget testesít meg, amelyet a trigonometria elemeinek tanulmányozása során sajátítanak el.

A trigonometrikus egyenletek fontos helyet foglalnak el a matematika tanulási folyamatában és általában a személyes fejlődésben.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell megoldani a trigonometrikus egyenleteket?
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

MOSZKVA OKTATÁSI OSZTÁLY

ÁLLAMKÖLTSÉGVETÉSI SZAKEMBER

OKTATÁSI INTÉZMÉNY Moszkvában

"V.G. Fedorovról elnevezett 47-es Politechnikai Főiskola"

Lecke

a matematika tudományágban

"Trigonometrikus egyenletek másodfokúvá redukálva"

Tanár

Protasevich Olga Nikolaevna

SZAKMA: Hardver és szoftver mérnök

FEGYELEM: Matematika

JÓL : 1

SZEMESZTER : 2

CSOPORT :

Az óra témája:

"Trigonometrikus egyenletek másodfokú egyenletekre redukálva."

Az óra típusa: kombinált óra

Az óra formátuma: kollektív képzés a V.K. módszertana szerint. Djacsenko

(oktatás kiscsoportos rendszerekben)

Az óra céljai:

Nevelési – általános megközelítéseket mérlegelni, összefoglalni a másodfokúra redukálható trigonometrikus egyenletek típusairól és megoldási módszereiről szóló információkat; az alapegyenletek megoldása során az ismeretek alkalmazásának készségeinek és képességeinek fejlesztése, a megszerzett ismeretek szakmai tevékenységben való alkalmazása.

Fejlődési – elősegíti a fejlődéstlogikus gondolkodás a diákok körében, fejlessze az elemzés, érvelés, összehasonlítás, következtetések levonása, az anyag megértésének képességét;

Nevelési – a kognitív érdeklődés előmozdítása, a kommunikációs kultúra elemei, a tanulók ösztönzése a mentális tevékenység során felmerülő nehézségek leküzdésére, a munka- és oktatási csapatban való munkavégzés képességeinek fejlesztése.

Az óra célja:

Megismertetni a tanulókat a másodfokúvá redukálható trigonometrikus egyenletek főbb típusaival és megoldási módszereivel.

Támogatás (források):

Hardver: számítógép, multimédiás projektor.

Szoftver:MicrosoftExcel.

Alapfogalmak:

Másodfokú egyenlet; egyszerű trigonometrikus egyenletek; inverz trigonometrikus függvények; trigonometrikus egyenletek másodfokúvá redukálva.

Irodalom:

Bashmakov M.I. Matematika: tankönyv alap- és középfokú szakképzéshez – M.; "Akadémia", 2010. - 256 p.

Dyachenko V.K. - M.; „Közoktatás”, 2001. - 496 s.

Módszertani irodalom:

Bashmakov M.I. Matematika: könyv tanároknak. Módszertani kézikönyv - M.; « Akadémia", 2013 - 224 p.

Elektronikus források:

Az oldal anyagaitársadalmi és pedagógiai mozgalom a kollektív tanítási mód megteremtésére:www.kco-kras.ru.

A lecke lépései

Idő szervezése.

Házi feladat ellenőrzése.

Alapvető ismeretek frissítése.

Új anyagok tanulása.

A megszerzett ismeretek megszilárdítása, rendszerezése.

Visszaverődés. Összegzés. Házi feladat.

Az órák alatt

Idő szervezése.

A tanár az óra céljait tűzi ki a tanulóknak:

1) Mutassa be a másodfokúra redukálható trigonometrikus egyenletek főbb típusait;

2) Mutasson be szabványos módszereket másodfokúra redukálható trigonometrikus egyenletek megoldására.

3) Tanítsa meg a megszerzett ismeretek és készségek alkalmazását standard egyenletek megoldására;

4) Tanítsa meg a különböző formákban bemutatott információkkal való munkavégzést, a kölcsönös kontroll és önkontroll gyakorlását, a megszerzett ismeretek szakmai tevékenységben való alkalmazását.

II . Házi feladat ellenőrzése.

A tanár beiktat egy „Házi feladat” bemutatót, amely szerint a tanulók önállóan ellenőrzik a házi feladatukat, és szükség esetén módosítják, javítják a munkát.

A nehézségeket okozó egyenletek megoldásait a tanulók kérésére a tanár véleményezi, majd közli azoknak a tanulóknak a nevét, akik az óra végén átadják a füzetüket ellenőrzésre.

№ 1

Válasz:

№ 2

Válasz:

№ 3

Válasz:

№ 4

mert akkor az egyenletnek nincs gyöke

Válasz: nincs gyökere

№ 5

Válasz:

№ 6

Válasz:

III . Alapvető ismeretek frissítése.

A tanár tanulócsoportokat/párokat hoz létre, és javasolja a megadott űrlapok használatával az egyenletek és a válaszok közötti megfelelést: „Előtte van egy dia oktatási feladattal. Párosítsa az egyenleteket (a táblázat bal oldala) a válaszokkal (a táblázat jobb oldala). Írd le a füzetedbe a megfelelő állításpárok számát.”

A megadott feladatok duplikálva vannak a mellékelt prezentációban.

mérkőzés

p/p

Az egyenlet

p/p

Válasz

nincsenek gyökerei

A munka végén a tanár frontálisan meginterjúvolja a csoport képviselőit, majd a megfelelő megoldásokat tartalmazó bemutató oldalra kapcsol.

Helyes válaszok

p/p

Az egyenlet

p/p

Válasz

nincsenek gyökerei

nincsenek gyökerei

11.

13.

10.

12.

IV . Új anyagok tanulása.

A tanár egy új anyag bemutatását is tartalmazza „Trigonometrikus egyenletek másodfokúvá redukálva. Egyenlettípusok és megoldási módszerek.”

Felkéri a tanulókat, hogy írják le a szükséges pontokat, és minden diához hozzászólnak, majd bekapcsolják a prezentációt.

Bemutatjuk a koncepciót:

A másodfokú egyenlet általános képe:

1 típusú trigonometrikus egyenletek, amelyek másodfokú egyenletekre redukálhatók – olyan egyenletek, amelyek az egyik trigonometrikus függvényhez képest algebraiak.

A tanár elmagyarázza a megoldásokat.

1. Közvetlen helyettesítés

Csere ,

És

nincsenek gyökerei

Válasz:

Az alakegyenletek hasonló megoldással rendelkeznek

Csere

Csere

2. Egyenletek, amelyek a trigonometrikus egységképlet segítségével történő átalakítást igényelnek

Csere , akkor az egyenlet alakot ölt

És

nincsenek gyökerei

Válasz:

Az alakegyenletek hasonló megoldással rendelkeznek:

pótoljuk , a trigonometrikus egységképlet segítségével

.

Egy olyan egyenletet kapunk, amely csak egy trigonometrikus függvényt tartalmaz :

Csere

3. Transzformációt igénylő egyenletek a kapcsolódási képlet segítségével tgx És Val vel tgx

A képletet alkalmazzuk:

Szorozzuk meg az egyenletet

Csere , akkor az egyenlet alakot ölt

És

Válasz:

2. típus trigonometrikus egyenletek másodfokú egyenletekre redukálva– homogén egyenletek, amelyekben minden tag azonos fokozatú.

Osszuk el az egyenletet

Csere , akkor az egyenlet alakot ölt

És

Válasz:

A tanár javasolja a bemutatott anyag összegzését, és kérdéseket tesz fel: „Hány típusra oszthatók a másodfokú egyenletekre redukálható trigonometrikus egyenletek? A nevük? Nevezze meg a trigonometrikus egyenletek megoldásának módjait, amelyek másodfokúra redukálhatók."

A tanár irányítja a tanulók cselekvéseit az ilyen típusú egyenletek megoldására szolgáló algoritmus elkészítésekor.

A másodfokú egyenletekre redukáló trigonometrikus egyenletek két fő típusra oszthatók:

tgx És Val vel tgx :

2. típus – homogén egyenletek, amelyekben minden tag azonos fokozatú:

A tanár kiigazított Megoldási algoritmus:

1. Határozza meg az egyenlet típusát! Ha szükséges, rendezze át az egyenletet úgy, hogy csak egy trigonometrikus függvényt tartalmazzon. Ehhez válassza ki a kívánt képletet: vagy vagy osztjuk fel

2. Csere kerül bevezetésre (pl, sinx = t , cosx = t , tgx = t ).

5. Írja le a választ.

Az elsajátított ismeretek megszilárdítása érdekében a tanár azt javasolja, hogy állapítsanak meg megfeleltetést az egyenletek és a lehetséges megoldási módszerek között: „Előtte van egy dia képzési feladattal.

1. Osztályozza az egyenleteket megoldási módszerek szerint az alábbi táblázat szerint!

(a táblázat nyomtatott változatai az asztalodon vannak).

2. Írja be a megoldási mód számát a megfelelő mezőbe.

Töltsd meg az asztalt."

A munka párban történik.

p/p

Az egyenlet

módszer

Mód:

1) Adjon meg egy új változót.

2) Adjon meg egy új változót

3) Adjon meg egy új változót.

4) Alakítsa át az egyenletet a képlet segítségével, és vezessen be egy új változót.

5) Alakítsa át az egyenletet a képlet segítségével, vezessen be egy új változót.

6) Oszd el az egyenlet minden tagját ezzel, vezess be egy új változót.

7) Alakítsa át az egyenletet a képlettel, szorozza meg az egyenlet tagjait, írjon be egy új változót.

A feladat ellenőrzése frontális beszélgetés formájában történik.

Tanár: „Előtte van egy dia az oktatási feladat helyes válaszaival. . Ellenőrizze a tanulási feladat helyes válaszainak ellenőrzésével. Dolgozz a hibákon a füzetedben."

A feladatlapokat az óra végén összegyűjtjük.

p/p

Az egyenlet

módszer

2

4

2

1

7

1

3

5

6

3

6

2

6

VI . A megszerzett ismeretek megszilárdítása, rendszerezése.

A tanár felkéri a tanulókat, hogy folytassák a csoportmunkát.

Tanár: „ Oldja meg az egyenleteket! Ellenőrizze az eredményt a szerkesztőben Microsoft Excel . A megoldás végén a csoport képviselője a táblához lép, és bemutatja a csoport által kitöltött egyenlet megoldását.” A tanár ellenőrzi a megoldást, értékeli a csoport munkáját, és ha szükséges, rámutat a hibákra.”

Tanár:

1 ) Csoportosan vitassák meg a megoldásokat.

2) Írd le a megoldást és a kapott választ a füzetedbe!

3) Ellenőrizze az eredményt a szerkesztőben Microsoft Excel .

4) Értesítse tanárát, hogy készen áll.

5) Indokolja döntését más csoportok tagjainak a táblára írva.

6) Figyelmesen hallgassa meg társai beszédeit, ha szükséges, tegyen fel kérdéseket.

A feladatokat maradéktalanul teljesítő tanulócsoportokat felkérik más csoportok feladatainak elvégzésére. A sikeres csoportokat a végeredmény egy egységnyi növekedésével jutalmazzuk.

Első csoport:

A képletet alkalmazzuk:

És

nincsenek gyökerei

mert

Válasz:

Második csoport:

A képletet alkalmazzuk:

Behelyettesítés, akkor az egyenlet lesz

És

Válasz: ;

Harmadik csoport:

A képletet alkalmazzuk:

Szorozzuk meg az egyenletet

Behelyettesítés, akkor az egyenlet lesz

És

Válasz:

Negyedik csoport:

Osszuk el az egyenletet

Behelyettesítés, akkor az egyenlet lesz

És

Válasz:

Ötödik csoport:

Behelyettesítés, akkor az egyenlet lesz

És

Válasz:; .

VII . Visszaverődés. Összegzés. Házi feladat.

Tanár: Foglaljuk össze a munkádat, összefüggésbe hozva a tevékenységed eredményeit a céloddal.

Ismételjük fogalmak:

• „Azokat a trigonometrikus egyenleteket, amelyeket a transzformáció és a változó megváltoztatása másodfokú egyenletekre redukálunk, másodfokúvá redukálható trigonometrikus egyenleteknek nevezzük.

1. típus – algebrai egyenletek az egyik trigonometrikus függvényhez:

- közvetlen helyettesítés - csere vagy;

- olyan egyenletek, amelyek a trigonometrikus egységképlet segítségével konvertálódnak;

- a kapcsolódási képlet szerinti transzformációt igénylő egyenletek tgx és azzal tgx :

2. típus – homogén egyenletek, amelyekben minden tag azonos fokozatú: ossza el az egyenletet, majd cserélje le.

Megoldási algoritmus:

1. Határozza meg az egyenlet típusát! Ha szükséges, rendezze át az egyenletet úgy, hogy csak egy trigonometrikus függvényt tartalmazzon.

Ehhez válassza ki a kívánt képletet:

vagy vagy osztjuk fel

2. Csere kerül bevezetésre (például sinx = t , cosx = t , tgx = t ).

3. Oldja meg a másodfokú egyenletet!

4. Elvégezzük a fordított helyettesítést, és megoldjuk a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletet.

5. Írja le a választ.

A tanár értékeli a tanulók, tanulócsoportok munkáját, osztályzatokat hirdet.

Tanár: „Írja le a házi feladatát: Bashmakov M.I. Matematika: tankönyv alap- és középfokú szakemberek számára. oktatás – M.; „Akadémia”, 2010. o. 114-115. A 10-es számban oldja meg a 4,5,7,9 számú egyenleteket. 118. oldal. Ellenőrizze az eredményt a szerkesztőben Microsoft Excel ».

Vissza előre

Figyelem! A dia előnézetei csak tájékoztató jellegűek, és előfordulhat, hogy nem képviselik a prezentáció összes funkcióját. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Az óra céljai és célkitűzései.

• Nevelési:
  • ismételje meg: definíció és egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei; másodfokú egyenlet definíciója, diszkrimináns képlete és a másodfokú egyenlet gyökei
  • ismereteket formálni a másodfokúra redukálható trigonometrikus egyenletek sajátosságairól és megoldási módszereiről.
  • tudjon: a trigonometrikus egyenletek között másodfokúvá redukálható trigonometrikus egyenleteket azonosítani és megoldani.
• Fejlődési:
  • fejleszti a tanulók logikus gondolkodását, memóriáját, figyelmét, beszédét; képes érvelni és kiemelni a legfontosabb dolgot; az ismeretek önálló megszerzésének és gyakorlati alkalmazásának képessége, az önkontroll és a kölcsönös kontroll képességének fejlesztése.
• Nevelési:
  • az osztálytársak iránti tiszteletet, függetlenséget, felelősséget, esztétikai ízlést, ügyességet és a matematika iránti érdeklődést ápolják.

Felszerelés: multimédiás projektor, vetítővászon, önértékelő lap.

A kommunikáció szervezeti formái: frontális, csoportos, egyéni.

Az óra típusa:új ismeretek elsajátítása.

Oktatási technológiák: IKT, tervezés.

Tanterv.

1. Szervezési momentum, tanulói munkamotiváció kialakítása.
2. A téma megfogalmazása, órai célok.
3. Az ismeretek frissítése, a tanulók felkészítése az új tananyag aktív és tudatos tanulására.
4. Az új ismeretek és cselekvési módszerek asszimilációjának szakasza.
5. Az aktív relaxáció és aktiválás szakasza.
6. A tanultak megértésének kezdeti tesztelésének szakasza.
7. Reflexió és értékelés szakasz. Összegezve a tanulságot.
8. Az a szakasz, amikor a tanulókat tájékoztatják a házi feladatról, és oktatják őket a feladat elvégzésére.

Előkészítő munka

Az osztály tanulóit előzetesen csoportokra kell osztani. A tanárnak joga van önállóan megválasztani a tanulók csoportokra osztásának elvét.
Az egyik lehetőség a csoportok, amelyekben különböző szintű matematikai felkészültséggel rendelkező tanulók szerepelnének: „alapszinttől” a „haladóig”.
Minden csoport először azt a feladatot kapja, hogy tanulmányozzon egy algoritmust a trigonometrikus egyenletek valamelyik típusának megoldására (a tanár által javasolt és egymástól függetlenül megtalált információforrásokat használjuk). Az egyes csoportok tagjai bemutatják munkájuk eredményét a „Trigonometrikus egyenletek” témakör egyik leckén. A javasolt anyag terjedelmétől és összetettségétől függően 1-2 csoportnak juthat ideje egy órán felszólalni, bemutatva munkájuk eredményét.
Bemutatunk egy leckét, amely a másodfokú egyenletekre redukáló trigonometrikus egyenletek megoldását tárgyalja.

A valóság házából könnyű betévedni a matematika erdejébe, de csak kevesen tudnak visszatérni.

H. Steinhaus

Minél inkább emberré válik az ember, annál kevésbé fog beleegyezni semmi másba, mint egy végtelen és elpusztíthatatlan mozgásba az új felé.

Pierre Chardin

AZ ÓRÁK ALATT

1. Szervezési momentum, tanulói munkamotiváció kialakulása ( 3 perc.)

Üdvözlet. Hiányzások rögzítése, a tanulók tanórára való felkészültségének ellenőrzése. Ezután minden tanuló kap egy pontozólapot. A tanár röviden megjegyzi az értékelő lap kitöltésének szabályait, és 1-3 sor kitöltését javasolja. 1. számú melléklet .
A tanulók figyelmének megszervezése: a tanár idézi Pierre Chardint a diákoknak, felajánlja, hogy magyarázza el, hogyan értették a szavak jelentését (2-3 embert meghallgathat), javasolja, hogy a szavak legyenek az óra mottójává, és megkérdezi, tudni, ki a szerzőjük. Rövid történelmi háttér (3. dia).

*Útmutató a Prezentáció használatához – 2. függelék .

2. A téma megfogalmazása, órai célok(2-3 perc).

A tanár kéri az előző óra témájának megfogalmazását (Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása). Kérdezd meg a tanulókat, szerintük milyen más típusú trigonometrikus egyenletek léteznek? (Igen. Ha vannak „legegyszerűbbek”, akkor vannak bonyolultabbak, különben nem kell bevezetni a „legegyszerűbb” kifejezést, ha ez az egyetlen trigonometrikus egyenlettípus). A fentiek alapján javasolja a mai óra témájának megfogalmazását (Bonyolult/egyéb/különféle trigonometrikus egyenletek megoldása).
A téma kiigazítása után felkéri a tanulókat, hogy írják le a füzetükbe: az óra dátumát, a „Szuper munka” kifejezést és a „Különféle típusú trigonometrikus egyenletek megoldása: másodfokú egyenletekre redukáló egyenletek” lecke témáját.
Minden diáknak van alma sablonja és jelzője az asztalán. Javasoljuk, hogy az „almára” írja fel az elkövetkező leckével kapcsolatos elvárásait, amelynek témája már megfogalmazódott. Ezt követően az összes alma sablont például ragasztószalaggal egy előre elkészített poszterre rögzítik egy fa képével. Kiderül, hogy ez az „Elvárások fája”.

Ahogy egyik-másik elvárás teljesül, a megfelelő alma érettnek tekinthető és a kosárba gyűjthető. Ennek az aktív tanulási módszernek a használata egyértelmű módja annak, hogy nyomon kövesse a tanulók előrehaladását az órán.

Egy másik lehetőség is lehetséges: A tanár homokórát tesz az osztályos tanulók elé, és megkéri őket, hogy válaszoljanak egy olyan kérdésre, hogy mit szeretnének tanulni egy órán, melynek témája már megfogalmazódott (1-2 lehetőség is elég).

3. Az ismeretek frissítése valamint a tanulók felkészítése az új tananyag aktív és tudatos tanulására (10 perc).

Tanár. Herbert Spencer azt mondta, hogy ha egy ember tudása rendezetlen állapotban van, akkor minél több van benne, annál rendezetlenebb lesz a gondolkodása. Kövessük ennek a híres brit filozófusnak a tanácsát (információk az általános személyes fejlődéshez – egy rövid történelmi háttér. (5. dia) Mielőtt új anyag tanulmányozására térnénk át, emlékezzünk arra, amit a „Trigonometria” részből tudunk.

Elülső munka(orálisan)

– Adja meg a trigonometrikus egyenlet definícióját!
– Hány gyöke lehet egy trigonometrikus egyenletnek?
– Melyek a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek?
– Mit jelent a legegyszerűbb trigonometrikus egyenlet megoldása?
– Milyen trigonometrikus egyenletek megoldási módszereit ismeri? (2 lehetőség: képletek; egységkör).

a) Töltse ki a táblázatot:

b) Párosítsa az egyenleteket az egységkörökön bemutatott megoldásaikkal (kommentárral)

Önálló munkavégzés (3. függelék )

Ezt követi az egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldási képességének kölcsönös tesztelése/önellenőrzése (a válaszok helyességét prezentációval ellenőrizzük). Bemutatva (12. dia). Ha szükséges, néhány egyenlet megoldását röviden kommentáljuk.

4. Az új ismeretek és cselekvési módszerek asszimilációjának szakasza(15 perc.).

Az osztály tanulóit korábban csoportokra osztották, amelyek mindegyike önállóan, a tanár által ajánlott és önállóan talált anyagok felhasználásával vizsgálta a trigonometrikus egyenletek valamelyik típusát.
A munka eredményeit ajánlás/algoritmus/megoldás diagram formájában mutatjuk be Power Point prezentációs formátumban. A tanár szükség esetén csoportokban tanácsot ad a tanulóknak, és előzetesen ellenőrzi munkájuk végtermékét.
A csoport egyik képviselőjét kiválasztják, hogy az osztályban bemutatja az egyik vagy másik megoldási módszer eredményeit, az osztály többi tagja segít megválaszolni az ilyen típusú trigonometrikus egyenlet megoldásával kapcsolatban felmerülő kérdéseket. A hallgatók előzetesen megismerkednek a csoportban végzett munkájuk értékelésének szempontjaival.

be kell osztanom az időmet
a politika és az egyenletek között.
Az egyenletek azonban véleményem szerint sokkal fontosabbak.
A politika csak erre a pillanatra létezik,
és az egyenletek örökké léteznek.

A feladat csoportos elvégzésének lehetséges lehetőségei. (14-18. dia)

1 csoport. Másodfokú egyenletekre redukáló trigonometrikus egyenletek megoldása.

A másodfokúvá redukáló egyenletek megkülönböztető jellemzői:

1. Az egyenlet egy argumentum trigonometrikus függvényeit tartalmazza, vagy egyszerűen egy argumentumra redukálható.
2. Csak egy trigonometrikus függvény van az egyenletben, vagy az összes függvény egyre redukálható.

Megoldási algoritmus:

– A következő azonosítók használatosak; segítségükkel egy trigonometrikus függvényt egy másikon keresztül kell kifejezni:

– Csere folyamatban.
– A kifejezés konvertálása folyamatban van.
– Írjon be egy jelölést (például bűn x = y).
– Egy másodfokú egyenlet megoldása folyamatban van.
– A megadott mennyiség értékét behelyettesítjük, és a trigonometrikus egyenletet megoldjuk.

1. példa

6cos 2 x + 5 sin x – 7 = 0.

Megoldás.

2. példa

3. példa

5. Az aktív relaxáció és aktiválás szakasza(2 perc.).

6. A tanultak megértésének kezdeti ellenőrzésének szakasza(8 perc)

Önálló munkavégzés(5. függelék )

A munka differenciált, az egyes feladatok összetettségi szintjei két változatban kerülnek bemutatásra.
I. szint – „3”, II. szint – „4”, III. szint – „5” teljesen helyes megoldás esetén. A munkát a tanár ellenőrzi a következő órán, és az órán osztályzatokat ad.

7. Reflexió és értékelés szakasz. Összegezve a tanulságot(2 perc.).

Töltse ki az önértékelő lap 6.7. pontját - 1. számú melléklet .

8. A tanulók házi feladatról való tájékoztatásának szakasza, végrehajtási utasítások (2 perc).

Differenciált (minden tanulónak külön lapon kiosztva) – 6. függelék

Bibliográfia:

1. Kornilov S.V., Kornilova L.E. Módszeres mellkas. – Petrozavodsk: PetroPress, 2002. – 12 p.