Polinomet - Manual metodologjik. Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

Shkolla me korrespodencë VII klasë. Detyra nr. 2.

Manuali metodologjik nr. 2.

Temat:

Polinome. Shuma, diferenca dhe prodhimi i polinomeve;

Zgjidhja e ekuacioneve dhe problemave;

polinomet e faktorizimit;

formulat e shkurtuara të shumëzimit;

Probleme për zgjidhje të pavarur.

Polinome. Shuma, diferenca dhe prodhimi i polinomeve.

Përkufizimi. Polinom quhet shuma e monomëve.

Përkufizimi. Monomet nga të cilët përbëhet një polinom quhen anëtarët e polinomit.

Shumëzimi i një monomi me një polinom .

Për të shumëzuar një monom me një polinom, duhet të shumëzoni këtë monom me çdo term të polinomit dhe të shtoni produktet që rezultojnë.

Shumëzimi i një polinomi me një polinom .

Për të shumëzuar një polinom me një polinom, duhet të shumëzoni çdo term të një polinomi me çdo term të një polinomi tjetër dhe të shtoni produktet që rezultojnë.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve:

Thjeshtoni shprehjen:

Zgjidhje.

Zgjidhje:

Meqenëse, sipas kushtit, koeficienti në atëherë duhet të jetë e barabartë me zero

Përgjigju: -1.

Zgjidhja e ekuacioneve dhe problemave.

Përkufizimi . Një barazi që përmban një ndryshore quhet ekuacioni me një ndryshore ose ekuacion me një të panjohur.

Përkufizimi . Rrënja e një ekuacioni (zgjidhja e një ekuacioni)është vlera e ndryshores në të cilën ekuacioni bëhet i vërtetë.

Zgjidhja e një ekuacioni do të thotë të gjesh shumë rrënjë.

Përkufizimi. Ekuacioni i formës
, Ku X e ndryshueshme, a Dhe b – disa numra quhen ekuacione lineare me një ndryshore.

Përkufizimi.

Një tufë me rrënjët e një ekuacioni linear mund të:

Shembuj të zgjidhjes së problemeve:

A është numri i dhënë 7 rrënja e ekuacionit:

Zgjidhje:

Kështu, x=7 është rrënja e ekuacionit.

Përgjigju: Po.

Zgjidh ekuacionet:

Zgjidhja:
Përgjigje: -12		Përgjigje: -0.4

Një varkë u nis nga skela për në qytet me shpejtësi 12 km/h dhe gjysmë ore më vonë në këtë drejtim u nis një varkë me avull me një shpejtësi prej 20 km/h. Sa është distanca nga skela në qytet nëse vapori mbërriti në qytet 1.5 orë para anijes?

Zgjidhja:

Le të shënojmë me x distancën nga skela në qytet.

	Shpejtësia (km/h)	Koha (h)	Shtegu (km)
Varkë
Varkë me avull

Sipas kushteve të problemit, varka shpenzoi 2 orë më shumë kohë se sa vapori (meqenëse anija u largua nga skela gjysmë ore më vonë dhe mbërriti në qytet 1.5 orë para varkës).

Le të krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:

60 km – distanca nga skela në qytet.

Përgjigje: 60 km.

Gjatësia e drejtkëndëshit u zvogëlua me 4 cm dhe u fitua një katror, ​​sipërfaqja e të cilit ishte 12 cm² më e vogël se sipërfaqja e drejtkëndëshit. Gjeni sipërfaqen e drejtkëndëshit.

Zgjidhja:

Le të jetë x brinja e drejtkëndëshit.

	Gjatësia	Gjerësia	Sheshi
Drejtkëndësh			x(x-4)
Sheshi			(x-4) (x-4)

Sipas kushteve të problemit, sipërfaqja e një katrori është 12 cm² më e vogël se sipërfaqja e një drejtkëndëshi.

Le të krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:

7 cm është gjatësia e drejtkëndëshit.

(cm²) - zona e drejtkëndëshit.

Përgjigje: 21 cm².

Turistët përshkuan rrugën e planifikuar për tre ditë. Në ditën e parë ata mbuluan 35% të rrugës së planifikuar, në të dytën - 3 km më shumë se në të parën, dhe në të tretën - 21 km të mbetur. Sa e gjatë është rruga?

Zgjidhja:

Le të jetë x gjatësia e gjithë rrugës.

	1 dite	Dita 2	Dita 3
Gjatësia e rrugës		0,35x+3
Gjatësia totale e shtegut ishte x km.

Kështu, ne krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:

0,35x+0,35x+21=x

0,7x+21=x

0.3x=21

Gjatësia 70 km e gjithë trasesë.

Përgjigje: 70 km.

Polinomet e faktorizimit.

Përkufizimi . Paraqitja e një polinomi si produkt i dy ose më shumë polinomeve quhet faktorizim.

Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave .

Shembull :

Metoda e grupimit .

Grupimi duhet të bëhet në mënyrë që çdo grup të ketë një faktor të përbashkët, përveç kësaj, pasi të merret faktori i përbashkët nga kllapat në secilin grup, shprehjet që rezultojnë duhet të kenë edhe një faktor të përbashkët;

Shembull :

Formulat e shkurtuara të shumëzimit.

Prodhimi i ndryshimit të dy shprehjeve dhe shuma e tyre është i barabartë me ndryshimin e katrorëve të këtyre shprehjeve.

Katrori i shumës së dy shprehjeve është i barabartë me katrorin e shprehjes së parë plus dyfishin e produktit të shprehjes së parë dhe të dytë, plus katrorin e shprehjes së dytë. Zgjidhjet. 1. Gjeni pjesën e mbetur të pjesëtimit polinom x6 – 4x4 + x3 ... nuk ka Zgjidhjet, A vendimet e dyta janë çiftet (1; 2) dhe (2; 1). Përgjigje: (1; 2) , (2; 1). Detyrat Për të pavarur Zgjidhjet. Zgjidheni sistemin...

• Kurrikula e përafërt për algjebër dhe analiza fillore për klasat 10-11 (niveli i profilit) Shënim shpjegues

  Programi

  Çdo paragraf jep shumën e kërkuar detyrat Për të pavarur Zgjidhjet në mënyrë që të rritet vështirësia. ...algoritmi i zbërthimit polinom sipas fuqive të binomit; polinomet me koeficientë kompleks; polinomet me te vlefshme...

• Lëndë zgjedhore “Zgjidhja e problemeve jo standarde. Klasa e 9-të” Plotësuar nga mësuesja e matematikës

  Lëndë me zgjedhje

  Ekuacioni është i barabartë me ekuacionin P(x) = Q(X), ku P(x) dhe Q(x) janë disa polinomet me një ndryshore x Transferimi i Q(x) në anën e majtë... = . PËRGJIGJE: x1=2, x2=-3, xs=, x4=. DETYRAT PËR I PAVARUR ZGJIDHJET. Zgjidh ekuacionet e mëposhtme: x4 – 8x...

• Programi me zgjedhje në matematikë për klasën e 8-të

  Programi

  Teorema e Algjebrës, teorema e Vietës Për trinomi kuadratik dhe Për polinom shkallë arbitrare, teorema mbi racionalen... materiale. Nuk është thjesht një listë detyrat Për të pavarur Zgjidhjet, por edhe detyrën për të bërë një model zhvillimi...

MBOU "Shkolla e hapur (ndërrimi) nr. 2" e qytetit të Smolensk

Punë e pavarur

me temë: "Polinomialet"

klasa e 7-të

E kryer

mësues i matematikës

Mishchenkova Tatyana Vladimirovna

Punë e pavarur gojore nr. 1 (përgatitore)

(kryhet me qëllim përgatitjen e studentëve për të përvetësuar njohuri të reja mbi temën: "Polinomi dhe forma e tij standarde")

Opsioni 1.

a) 1,4a + 1– a 2 – 1,4 + b 2 ;

b) a 3 – 3a +b + 2 ab – x;

c) 2ab + x – 3 ba – x.

Arsyetoni përgjigjen tuaj.

a) 2 a – 3 a +7 a;

b) 3x – 1+2x+7;

c) 2x– 3v+3x+2 y.

a) 8xx;G) – 2a 2 ba

b) 10 nmm;d) 5 p 2 * 2p;

në 3aab; e) – 3 fq * 1,5 fq 3 .

Opsioni 2

1. Emërtoni terma të ngjashëm në shprehjet e mëposhtme:

a) 8,3x – 7 – x 2 + 4 + y 2 ;

b)b 4 - 6 a +5 b 2 +2 a – 3 b 4 :

në 3xy + y – 2 xy – y.

Arsyetoni përgjigjen tuaj.

2. Jepni terma të ngjashëm në shprehje:

a) 10 d – 3 d – 19 d ;

b) 5x – 8 +4x + 12;

c) 2x – 4y + 7x + 3y.

3. Reduktoni monomët në formën standarde dhe tregoni shkallën e monomit:

a) 10aaa;

b) 7mnn;

V) 3 cca;

d) – 5x 2 yx;

e) 8q 2 * 3 q;

e) – 7fq * 0>5 q 4 .

Kushti për punë të pavarur gojore ofrohet në ekran ose në tabelë, por teksti mbahet i mbyllur përpara se të fillojë puna e pavarur.

Puna e pavarur kryhet në fillim të mësimit. Pas përfundimit të punës, përdoret vetë-testimi duke përdorur një kompjuter ose dërrasë.

Puna e pavarur nr 2

(kryhet me qëllim forcimin e aftësive të nxënësve për sjelljen e një polinomi në një formë standarde dhe përcaktimin e shkallës së një polinomi)

opsioni 1

1. Zvogëloni polinomin në formën standarde:

a) x 2 y + yxy;

b) 3x 2 6 vjec 2 - 5x 2 7 vjeç;

në 11a 5 – 8 a 5 +3 a 5 + a 5 ;

d) 1.9x 3 – 2,9 x 3 – x 3 .

a) 3t 2 – 5t 2 – 11t – 3t 2 + 5t +11;

b) x 2 + 5x – 4 – x 3 - 5x 2 + 4x – 13.

4 x 2 – 1 nëx = 2.

4. Detyrë shtesë.

Në vend të * shkruani një term të tillë për të marrë një polinom të shkallës së pestë.

x 4 + 2 x 3 – x 2 + 1 + *

Opsioni 2

a) bab + a 2 b;

b) 5x 2 8 vjec 2 + 7x 2 3 vjet;

në 2m 6 + 5 m 6 – 8 m 6 – 11 m 6 ;

d) – 3.1y 2 +2,1 y 2 – y 2. .

2. Jepni terma të ngjashëm dhe tregoni shkallën e polinomit:

a) 8b 3 – 3b 3 + 17b – 3b 3 – 8b – 5;

b) 3 orë 2 +5hc – 7c 2 + 12 orë 2 – 6hc.

3. Gjeni vlerën e polinomit:

2 x 3 + 4 nëx=1.

4. Detyrë shtesë.

Në vend të* shkruani një term të tillë për të marrë një polinom të shkallës së gjashtë.

x 3 – x 2 + x + * .

Opsioni 3

1. Reduktoni polinomet në formën standarde:

a) 2aa 2 3b + a8b;

b) 8x3y (–5y) – 7x 2 4 vjeç;

në 20xy + 5 yx – 17 xy;

d) 8ab 2 –3 ab 2 – 7 ab 2. .

2. Jepni terma të ngjashëm dhe tregoni shkallën e polinomit:

a) 2x 2 + 7xy + 5x 2 – 11xy + 3v 2 ;

b) 4b 2 + a 2 + 6ab – 11b 2 – 7 ab 2 .

3. Gjeni vlerën e polinomit:

– 4 y 5 – 3 nëy= –1.

4. Detyrë shtesë.

Ndërtoni një polinom të shkallës së tretë që përmban një ndryshore.

Punë e pavarur gojore nr. 3 (përgatitore)

(kryhet me qëllim përgatitjen e studentëve për përvetësimin e njohurive të reja mbi temën: "Shtimi dhe zbritja e polinomeve")

opsioni 1

a) shuma e dy shprehjeve 3a+ 1 dhea – 4;

b) ndryshimi i dy shprehjeve 5x- 2 dhe 2x + 4.

3. Zgjeroni kllapat:

a) y – ( y+ z);

b) (x – y) + ( y+ z);

V) (a – b) – ( c – a).

4. Gjeni vlerën e shprehjes:

a) 13,4 + (8 – 13,4);

b) – 1,5 – (4 – 1,5);

V) (a – b) – ( c – a).

Opsioni 2

1. Shkruajeni si shprehje:

a) shuma e dy shprehjeve 5a– 3 dhea + 2;

b) ndryshimi i dy shprehjeve 8y- 1 dhe 7y + 1.

2. Formuloni një rregull për hapjen e kllapave të paraprirë nga shenjat "+" ose "-".

3. Zgjerojenikllapa:

a) a – (b+c);

b) (a – b) + (b+a);

V) (x – y) – ( y – z).

4. Gjeni vlerën e shprehjes:

a) 12,8 + (11 – 12,8);

b) – 8.1 – (4 – 8.1);

c) 10.4 + 3x – ( x+10.4) nëx=0,3.

Pas përfundimit të punës, përdoret vetë-testimi duke përdorur një kompjuter ose dërrasë.

Puna e pavarur nr.4

(kryhet me qëllim forcimin e aftësive dhe aftësive të mbledhjes dhe zbritjes së polinomeve)

opsioni 1

a) 5 x- 15u dhe 8y – 4 x;

b) 7x 2 – 5 x+3 dhe 7x 2 – 5 x.

2. Thjeshtoni shprehjen:

a) (2 a + 5 b) + (8 a – 11 b) – (9 b – 5 a);

* b) (8c 2 + 3 c) + (– 7 c 2 – 11 c + 3) – (–3 c 2 – 4).

3. Detyrë shtesë.

Shkruani një polinom të tillë që shuma e tij me polinomin 3x + 1 të jetë e barabartë me

9x - 4.

Opsioni 2

1. Përpiloni shumën dhe ndryshimin e polinomeve dhe sillni në formën standarde:

a) 21vje - 7xDhe8x – 4vje;

b) 3a 2 + 7a – 5Dhe3a 2 + 1.

2. Thjeshtoni shprehjen:

a) (3 b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b - 4) – (– b 2 +19);

* b) (3b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b – 4) – (– b 2 + 19).

3. Detyrë shtesë.

Shkruani një polinom të tillë që shuma e tij me polinomin 4x – 5 të jetë e barabartë me

9x - 12.

Opsioni 3

1. Përpiloni shumën dhe ndryshimin e polinomeve dhe sillni në formën standarde:

a) 0,5 x+ 6 dhe 3x – 6 y;

b) 2y 2 +8 y- 11 dhe 3y 2 – 6 y + 3.

2. Thjeshtoni shprehjen:

a) (2 x + 3 y – 5 z) – (6 x –8 y) + (5 x – 8 y);

* b) (a 2 – 3 ab + 2 b 2 ) – (– 2 a 2 – 2 ab – b 2 ).

3. Detyrë shtesë.

Shkruani një polinom të tillë që shuma e tij me polinomin 7x + 3 të jetë e barabartë mex 2 + 7 x – 15.

Opsioni 4

1. Përpiloni shumën dhe ndryshimin e polinomeve dhe sillni në formën standarde:

a) 0,3 x + 2 bdhe 4x – 2 b;

b) 5y 2 – 3 ydhe 8y 2 + 2 y – 11.

2. Thjeshtoni shprehjen:

a) (3x – 5y – 8z) – (2x + 7y) + (5z – 11x);

* b) (2x 2 –xy + y 2 ) – (x 2 – 2xy – y 2 ).

3. Detyrë shtesë.

Shkruani një polinom të tillë që shuma e tij me polinomin të jetë 2x 2 + x+ 3 dhe ishte e barabartë 2 x + 3.

Puna e pavarur kryhet në fund të mësimit. Mësuesi kontrollon punën, duke identifikuar nëse është e nevojshme të studiohet shtesë për këtë temë.

Puna e pavarur nr.5

(kryhet me qëllim të zhvillimit të aftësive për të vendosur një polinom në kllapa)

opsioni 1

a , dhe tjetra nuk e përmban atë:

a) sëpatë + ay + x + y;

b) sëpatë 2 + x + a + 1.

Mostra Zgjidhjet:

m + am + n – an = (m+n) + (am – an).

b

a) bm – bn – m – n;

b) bx + nga + x –y.

Mostra Zgjidhjet:

ab – bc – x – y = (ab – bc) – (x + y).

Opsioni 2

1. Imagjinoni një polinom si shumën e dy polinomeve, njëri prej të cilëve përmban shkronjënb , dhe tjetra nuk e përmban atë:

a) bx + nga +2x + 2y;

b) bx 2 – x + a – b.

Shembull zgjidhje:

2 m + bm 3 + 3 – b = (2 m+3) + (bm 3 – b).

2. Imagjinoni një polinom si ndryshim i dy polinomeve, i pari i të cilëve përmban shkronjëna , dhe tjetra jo (kontrolloni rezultatin duke hapur mendërisht kllapat):

a) ac – ab – c + b;

b) am + an + m – n;

Mostra Zgjidhjet:

x + ay – y – ax = (ay – ax) – (–x + y) = (ay – ay) – (y–x).

Opsioni 3

1. Imagjinoni një polinom si shumën e dy polinomeve, njëri prej të cilëve përmban shkronjënb , dhe tjetra nuk e përmban atë:

a) b 3 -b 2 – b+3y – 1;

b) – b 2 -a 2 – 2ab + 2.

Shembull zgjidhje:

– 2 b 2 – m 2 – 3 bm + 7 = (–2 b 2 – 3 bm) + (– m 2 + 7) = (–2 b 2 – 3 bm) + (7– m 2 ).

2. Imagjinoni një polinom si ndryshim i dy polinomeve, i pari i të cilëve përmban shkronjënb , dhe tjetra jo (kontrolloni rezultatin duke hapur mendërisht kllapat):

a) ab + ac – b – c;

b) 2b + a 2 -b 2 –1;

Shembull zgjidhje:

3 b + m – 1 – 2 b 2 = (3 b – 2 b 2 ) – (1– m).

Opsioni 4

(për studentë të fortë, dhënë pa zgjidhje mostër)

1. Imagjinoni një polinom si shuma e dy polinomeve me koeficient pozitiv:

a) sëpatë + nga – c – d;

b) 3x – 3 vjet +z – a.

2. Paraqisni shprehjet në një farë mënyre si ndryshim i një binomi dhe një trinomi:

a) x 4 - 2x 3 - 3x 2 + 5x – 4;

b) 3a 5 – 4a 3 + 5a 2 –3a +2.

Puna e pavarur kryhet në fund të mësimit. Pas përfundimit të punës përdoret vetëtestimi me çelës dhe vetëvlerësimi i punës. Nxënësit që kryejnë detyrën në mënyrë të pavarur i japin fletoret e tyre mësuesit për kontroll.

C puna e pavarur nr.6

(kryhet me synimin për të konsoliduar dhe zbatuar njohuritë dhe aftësitë e shumëzimit të një monomi me një polinom)

opsioni 1

1. Kryeni shumëzimin:

a) 3 b 2 (b –3);

b) 5x (x 4 + x 2 – 1).

2. Thjeshtoni shprehjet:

a) 4 (x+1) +(x+1);

b) 3a (a – 2) – 5a(a+3).

3. Vendosni ekuacionin:

20 +4(2 x–5) =14 x +12.

4. Detyrë shtesë.

(m+ n) * * = mk + nk.

Opsioni 2

1. Kryeni shumëzimin:

a) - 4 x 2 (x 2 –5);

b) -5a (a 2 - 3 a – 4).

2. Thjeshtoni shprehjet:

a) (a–2) – 2(a–2);

b) 3x (8 y +1) – 8 x(3 y–5).

3. Zgjidhe ekuacionin:

3(7 x–1) – 2 =15 x –1.

4. Detyrë shtesë.

Çfarë monomi duhet të futet në vend të shenjës * për ta bërë të vërtetë barazinë:

(b+ c – m) * * = ab + ac – jam.

Opsioni 3

1. Kryeni shumëzimin:

a) – 7 x 3 (x 5 +3);

b) 2m 4 (m 5 - m 3 – 1).

2. Thjeshtoni shprehjet:

a) (x–3) – 3 (x–3);

b) 3c (c + d) + 3d (c–d).

3. Zgjidhe ekuacionin:

9 x – 6(x – 1) =5(x +2).

4. Detyrë shtesë.

Çfarë monomi duhet të futet në vend të shenjës * për ta bërë të vërtetë barazinë:

* * (x 2 – xy) = x 2 y 2 – xy 3 .

Opsioni 4

1. Kryeni shumëzimin:

a) – 5 x 4 (2 x – x 3 );

b)x 2 (x 5 – x 3 + 2 x);

2. Thjeshtoni shprehjet:

a) 2 x(x+1) – 4 x(2– x);

b) 5b (3 a – b) – 3 a(5 b+ a).

3. Zgjidhe ekuacionin:

-8(11 – 2 x) +40 =3(5 x - 4).

4. Detyrë shtesë.

Çfarë monomi duhet të futet në vend të shenjës * për ta bërë të vërtetë barazinë:

(x – 1) * * = x 2 y 2 – xy 2 .

C punë e pavarur nr.7

(kryhet me qëllim të zhvillimit të aftësive në zgjidhjen e ekuacioneve dhe problemeve)

opsioni 1

Zgjidhe ekuacionin:

+ = 6

Zgjidhja:

(+) * 20 = 6*20,

* 20 – ,

5 x – 4(x – 1) =120,

5 x – 4 x + 4=120,

x=120 – 4,

x=116.

Përgjigje: 116.

Zgjidhe ekuacionin:

+ = 4

2. Zgjidheni problemin:

Makina shpenzoi 1 orë më pak në udhëtimin nga fshati në stacion sesa çiklisti. Gjeni distancën nga fshati në stacion nëse makina ka ecur me një shpejtësi mesatare prej 60 km/h. Dhe çiklisti është 20 km/h.

Opsioni 2

1. Duke përdorur zgjidhjen e mostrës, plotësoni detyrën.

Zgjidhe ekuacionin:

– = 1

Zgjidhja:

(+) * 8 = 1*8,

* 8 – ,

2 x - (x – 3) =8,

2 x – 4 x + 3=8,

x = 8 – 3,

x=5.

Përgjigje: 5.

Zgjidhe ekuacionin:

+ = 2

2. Zgjidheni problemin:

Mjeshtri prodhon 8 pjesë më shumë në orë se sa çiraku. Çiraku punoi 6 orë, mjeshtri 8 orë dhe së bashku bënë 232 pjesë. Sa pjesë prodhonte nxënësi në orë?

Udhëzime për zgjidhjen:

a) plotësoni tabelën;

8 pjesë të tjera

b) shkruani një ekuacion;

c) të zgjidhë ekuacionin;

d) kontrolloni dhe shkruani përgjigjen.

Opsioni 3

(Për studentët e fortë, jepet pa mostër)

1. Zgjidheni ekuacionin:

– = 2

2. Zgjidheni problemin:

Patatet u sollën në dhomën e ngrënies, të paketuara në thasë 3 kg. Nëse do të paketohej në thasë 5 kg, atëherë do të duheshin 8 thasë më pak. Sa kilogramë patate u sollën në mensë?

Puna e pavarur kryhet në fund të mësimit. Pas përfundimit të punës, përdoret një vetë-test duke përdorur çelësin.

Si detyrë shtëpie, studentëve u ofrohet punë e pavarur krijuese:

Mendoni për një problem që mund të zgjidhet duke përdorur ekuacionin

30 x = 60(x– 4) dhe zgjidhni atë.

Puna e pavarur nr.8

(kryhet me qëllim të zhvillimit të aftësive dhe aftësive për të hequr faktorin e përbashkët jashtë kllapave)

opsioni 1

A)mx + imja; d)x 5 – x 4 ;

b) 5ab – 5 b; e) 4x 3 – 8 x 2 ;

V) – 4mn + n; *dhe) 2c 3 + 4c 2 + c;

G) 7ab – 14a 2 ; * h) sëpatë 2 + a 2 .

2. Detyrë shtesë.

2 – 2 18 pjesëtueshëm me 14.

Opsioni 2

1. Hiqni faktorin e përbashkët nga kllapat (kontrolloni veprimet tuaja duke shumëzuar):

A) 10x + 10 y;d) a 4 + a 3 ;

b) 4x + 20 y;e) 2x 6 - 4x 3 ;

V) 9 ab + 3b; *dhe) y 5 + 3 vjet 6 + 4 vjet 2 ;

G) 5xy 2 + 15 vjeç; *h) 5 para Krishtit 2 +bc.

2. Detyrë shtesë.

Vërtetoni se vlera e shprehjes është 8 5 – 2 11 pjesëtohet me 17.

Opsioni 3

1. Hiqni faktorin e përbashkët nga kllapat (kontrolloni veprimet tuaja duke shumëzuar):

A) 18 ditë + 8 ax;d) m 6 +m 5 ;

b) 4ab - 16a;e) 5z 4 - 10z 2 ;

në 4mn + 5 n; *g) 3x 4 – 6 x 3 + 9 x 2 ;

d) 3x 2 y– 9 x; * h)xy 2 +4 xy.

2. Detyrë shtesë.

Vërtetoni se vlera e shprehjes është 79 2 + 79 * 11 pjesëtohet me 30.

Opsioni 4

1. Hiqni faktorin e përbashkët nga kllapat (kontrolloni veprimet tuaja duke shumëzuar):

a) – 7xy + 7 y; d)y 7 - y 5 ;

b) 8mn + 4 n; e) 16z 5 – 8 z 3 ;

në 20a 2 + 4 sëpatë; *g) 4x 2 – 6 x 3 + 8 x 4 ;

d) 5x 2 y 2 + 10 x; * h)xy +2 xy 2 .

2. Detyrë shtesë.

Vërtetoni se vlera e shprehjes është 313 * 299 – 313 2 pjesëtueshëm me 7.

CPuna e pavarur kryhet në fillim të mësimit. Pas përfundimit të punës, përdoret një kontroll kyç.

Mësim me temë: "Koncepti dhe përkufizimi i një polinomi. Forma standarde e një polinomi"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja. Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën e 7-të
Libër shkollor elektronik i bazuar në tekstin shkollor nga Yu.N. Makaryçeva
Libër shkollor elektronik bazuar në tekstin shkollor të Sh.A. Alimova

Djema, ju keni studiuar tashmë monomët në temën: Forma standarde e një monomi. Përkufizimet. Shembuj. Le të shqyrtojmë përkufizimet bazë.

Monomial– një shprehje e përbërë nga një prodhim numrash dhe ndryshoresh. Variablat mund të ngrihen në fuqi natyrore. Një monom nuk përmban asnjë veprim tjetër përveç shumëzimit.

Forma standarde e monomit- ky lloj kur koeficienti (faktori numerik) vjen i pari, i ndjekur nga shkallët e variablave të ndryshëm.

Monome të ngjashme– këto janë ose monomë identikë, ose monomë që ndryshojnë nga njëri-tjetri për nga një koeficient.

Koncepti i një polinomi

Një polinom, si një monom, është një emër i përgjithësuar për shprehjet matematikore të një lloji të caktuar. Përgjithësime të tilla kemi hasur edhe më parë. Për shembull, "shuma", "produkt", "shprehje". Kur dëgjojmë "ndryshim në numra", mendimi i shumëzimit ose pjesëtimit as që na vjen në mendje. Gjithashtu, një polinom është një shprehje e një lloji të përcaktuar rreptësisht.

Përkufizimi i një polinomi

Polinomështë shuma e monomëve.

Monomet që përbëjnë një polinom quhen anëtarët e polinomit. Nëse ka dy terma, atëherë kemi të bëjmë me një binom, nëse janë tre, atëherë me një trinom. Nëse ka më shumë terma, ai është një polinom.

Shembuj të polinomeve.

1) 2аb + 4сd (binom);

2) 4ab + 3cd + 4x (trinom);

3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xу 3 ;

3c 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xy - 5xy 2.

Le të shohim me kujdes shprehjen e fundit. Sipas përkufizimit, një polinom është shuma e monomëve, por në shembullin e fundit ne jo vetëm mbledhim, por edhe zbresim monomë.
Për ta sqaruar, le të shohim një shembull të vogël.

Le të shkruajmë shprehjen a + b - c(le të biem dakord me këtë a ≥ 0, b ≥ 0 dhe c ≥0) dhe përgjigjuni pyetjes: kjo është shuma apo ndryshimi? Vështirë të thuash.
Në të vërtetë, nëse e rishkruajmë shprehjen si a + b + (-c), marrim shumën e dy termave pozitivë dhe një negativ.
Nëse shikoni shembullin tonë, kemi të bëjmë konkretisht me shumën e monomëve me koeficientë: 3, - 2, 7, -5. Në matematikë ekziston një term "shuma algjebrike". Kështu, në përkufizimin e një polinomi nënkuptojmë një "shumë algjebrike".

Por një shënim i formës 3a: b + 7c nuk është një polinom sepse 3a: b nuk është një monom.
Shënimi i formës 3b + 2a * (c 2 + d) gjithashtu nuk është një polinom, pasi 2a * (c 2 + d) nuk është një monom. Nëse hapni kllapat, shprehja që rezulton do të jetë një polinom.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.

Shkalla polinomialeështë shkalla më e lartë e anëtarëve të saj.
Polinomi a 3 b 2 + a 4 ka shkallën e pestë, pasi shkalla e monomit a 3 b 2 është 2 + 3 = 5, dhe shkalla e monomit a 4 është 4.

Forma standarde e polinomit

Një polinom që nuk ka terma të ngjashëm dhe shkruhet në rend zbritës të fuqive të termave të polinomit është një polinom i formës standarde.

Polinomi është sjellë në një formë standarde për të hequr shkrimin e panevojshëm të rëndë dhe për të thjeshtuar veprimet e mëtejshme me të.

Në të vërtetë, pse, për shembull, të shkruhet shprehja e gjatë 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4, kur mund të shkruhet më e shkurtër se 9b 2 + 3a 2 + 8.

Për të sjellë një polinom në formën standarde, ju duhet:
1. sillni të gjithë anëtarët e saj në një formë standarde,
2. shtoni terma të ngjashëm (identikë ose me koeficientë të ndryshëm numerikë). Kjo procedurë shpesh quhet duke sjellë të ngjashme.

Shembull.
Zvogëloni polinomin aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 në formën standarde.

Zgjidhje.

a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14= 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.

Le të përcaktojmë fuqitë e monomëve të përfshirë në shprehje dhe t'i renditim ato në rend zbritës.
11a 2 b ka shkallën e tretë, 3 x 5 y 2 ka shkallën e shtatë, 14 ka shkallën zero.
Kjo do të thotë që ne do të vendosim 3 x 5 y 2 (shkalla e 7-të) në vendin e parë, 12a 2 b (shkalla 3) në vendin e dytë dhe 14 (shkalla zero) në vendin e tretë.
Si rezultat, marrim një polinom të formës standarde 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14.

Shembuj për vetë-zgjidhje

Reduktoni polinomet në formën standarde.

1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6);

2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);

3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a);

4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).

Tema e mësimit:

Polinome në një ndryshore.

Klasa 11

Mësues matematike

Kazantseva M.V.

MBOU "Shkolla e mesme nr. 110"

Le të shohim polinomet:

2x 2 – 11x +12

– 14x 5 + 3x 2 – 6x+7

X 6 + 11

Këto polinome shkruhen në formë standarde.

Një polinom i formës standarde nuk përmban terma të ngjashëm dhe shkruhet në rend zbritës të shkallëve të termave të tij.

P(x)= a P X P +a n–1 X n–1 +a n–2 X n–2 +

+… + a 2 X 2 + a 1 x+a 0

Ku A 0 , A 1 , A 2 …. A P – disa numra dhe A P  0, fq 

A P X P – termi kryesor i polinomit

A P – Koeficient në i lartë

anëtar

P – shkalla e polinomit

A 0 – term i lirë i polinomit

P(x)= a P X P +a n–1 X n–1 +a n–2 X n–2 +

+… + a 2 X 2 + a 1 x+a 0

Nëse

A P =1 ,

pastaj polinomi P (x) - reduktuar

Shembull: x+3; X 5 +3x 2 -4

A P ≠1 ,

pastaj polinomi P (x) - i pareduktuar

Shembull: 2x 2 +x; -0,5x 7 +3x 3 -11

Teorema 1:

Dy polinome ( lloji standard) janë identike të barabarta nëse fuqitë e tyre janë të barabarta dhe koeficientët për të njëjtat fuqi të x janë të barabartë.

Detyra nr. 1

Gjeni numrat a dhe b nëse polinomi X 3 + 6x 2 + ah + b e barabartë me kubin e binomit x + 2

Veprimet në polinome:

1. Mbledhja dhe zbritja.

Kur mblidhni (zbrisni) dy polinome të shkallëve të ndryshme, ju merrni një polinom shkalla e të cilit është e barabartë me shkallën më të madhe të shkallës së disponueshme.

Detyra nr. 2

Gjeni shumën e polinomeve

x+3 dhe -0.5x 5 +3x 2 -4

Veprimet në polinome:

1. Mbledhja dhe zbritja.

Kur mblidhni (zbrisni) dy polinome të së njëjtës shkallë, fitoni një polinom të së njëjtës shkallë ose më të vogël.

Detyra nr. 3

Gjeni shumën dhe ndryshimin polinomet

2x 3 +3x 2 -x dhe -2x 3 +3x-4

Veprimet në polinome:

2. Puna.

Nëse polinomi p(x) ka shkallën më të lartë m, dhe polinomi s(x) ka shkallën më të lartë n, atëherë produkti i tyre р(х)∙ s(x) ka shkallë m+n.

Detyra nr. 4

Gjeni një copë polinomet

x+3 dhe -0.5x 5 +3x 2 -4

Veprimet në polinome:

3. Shpallja.

Nëse një polinom p(x) i shkallës m është ngritur në fuqinë n, atëherë marrim një polinom të shkallës mn.

Problemi numër 5

Ndërtoni një polinom

-0,5x 5 +3x 2 -4 në katror

Veprimet në polinome:

4. Pjesëtimi i një polinomi është një polinom.

Nëse një polinom p(x) është i pjesëtueshëm me një polinom jozero s(x), nëse ekziston një polinom q(x) i tillë që identiteti të jetë i tillë:

p(x) = s(x) q(x)

p(x) - i ndashëm (ose i shumëfishtë)

s(x) – pjesëtues

q(x) – herësi

Metoda e ndarjes së këndit

Ndani një polinom 8x 2 +10х–3 në një polinom 2x+3

2x+3

– 3

8x 2 +10х–3

–

8x 2 +12x

– 1

4x

– 2x

–

– 2x–3

0

Problemi numër 6

Ndani një polinom 6x 3 +7x 2 – 6x +1 në një polinom 3x -1

Problemi nr. 7

Ndani një polinom X 3 - 3x 2 + 5x – 15 në një polinom x – 3

Problemi nr. 8

Ndani një polinom X 4 + 4 në një polinom X 2 + 2x + 2