บ้าน / เมอร์เซเดส/ สมการกำลังสองสัมพันธ์กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ การแก้สมการตรีโกณมิติกำลังสอง

สมการกำลังสองสัมพันธ์กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ การแก้สมการตรีโกณมิติกำลังสอง

คุณสามารถสั่งซื้อวิธีแก้ปัญหาของคุณได้อย่างละเอียด!!!

ความเท่าเทียมกันที่ไม่ทราบค่าภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (`sin x, cos x, tan x` หรือ `ctg x`) เรียกว่าสมการตรีโกณมิติ และเราจะพิจารณาต่อไปเป็นสูตรของสมการเหล่านี้

สมการที่ง่ายที่สุดคือ `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` โดยที่ `x` คือมุมที่จะหา ส่วน `a` คือตัวเลขใดๆ ให้เราเขียนสูตรรูทของแต่ละสูตร

1. สมการ `บาป x=a`

สำหรับ `|a|>1` มันไม่มีวิธีแก้ปัญหา

เมื่อ `|a| \leq 1` มีคำตอบจำนวนอนันต์

สูตรราก: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. สมการ `cos x=a`

สำหรับ `|a|>1` - เช่นเดียวกับในกรณีของไซน์ มันไม่มีคำตอบระหว่างจำนวนจริง

เมื่อ `|a| \leq 1` มีคำตอบจำนวนอนันต์

สูตรราก: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

กรณีพิเศษสำหรับไซน์และโคไซน์ในกราฟ

3. สมการ `tg x=a`

มีคำตอบจำนวนไม่สิ้นสุดสำหรับค่าใดๆ ของ `a`

สูตรราก: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. สมการ `ctg x=a`

นอกจากนี้ยังมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์สำหรับค่าใด ๆ ของ 'a'

สูตรราก: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

สูตรรากของสมการตรีโกณมิติในตาราง

สำหรับไซน์:
สำหรับโคไซน์:
สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:
สูตรสำหรับการแก้สมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:

วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

การแก้สมการตรีโกณมิติประกอบด้วยสองขั้นตอน:

ด้วยความช่วยเหลือของการเปลี่ยนแปลงให้เป็นสิ่งที่ง่ายที่สุด
แก้สมการที่ง่ายที่สุดที่ได้รับโดยใช้สูตรรูทและตารางที่เขียนด้านบน

ลองดูวิธีการแก้ปัญหาหลักโดยใช้ตัวอย่าง

วิธีพีชคณิต

วิธีการนี้เกี่ยวข้องกับการแทนที่ตัวแปรและแทนที่ตัวแปรให้มีความเท่าเทียมกัน

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

ทำการแทนที่: `cos(x+\frac \pi 6)=y` จากนั้น `2y^2-3y+1=0`,

เราพบราก: `y_1=1, y_2=1/2` ซึ่งจะมี 2 กรณีดังนี้:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm อาร์คคอส 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`

คำตอบ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`

การแยกตัวประกอบ

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `sin x+cos x=1`

สารละลาย. ลองย้ายเงื่อนไขความเท่าเทียมกันทั้งหมดไปทางซ้าย: `sin x+cos x-1=0` การใช้ เราจะแปลงและแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือ:

`บาป x — 2ซิน^2 x/2=0`,

`2ซิน x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2ซิน x/2 (cos x/2-ซิน x/2)=0`,

`บาป x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`

คำตอบ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`

การลดลงเป็นสมการเอกพันธ์

ขั้นแรก คุณต้องลดสมการตรีโกณมิติให้เหลือรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้

`a sin x+b cos x=0` (สมการเอกพันธ์ของดีกรี 1) หรือ `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (สมการเอกพันธ์ของดีกรี 2)

จากนั้นหารทั้งสองส่วนด้วย `cos x \ne 0` - สำหรับกรณีแรก และด้วย `cos^2 x \ne 0` - สำหรับกรณีที่สอง เราได้สมการสำหรับ `tg x`: `a tg x+b=0` และ `a tg^2 x + b tg x +c =0` ซึ่งจำเป็นต้องแก้ไขโดยใช้วิธีที่ทราบ

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`

สารละลาย. ลองเขียนด้านขวาเป็น `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 บาป^2 x+บาป x cos x — cos^2 x=` `บาป^2 x+cos^2 x`,

`2 บาป^2 x+บาป x cos x — cos^2 x -` ` บาป^2 x — cos^2 x=0`

`บาป^2 x+บาป x cos x — 2 cos^2 x=0`

นี่คือสมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของระดับที่สอง เราหารด้านซ้ายและด้านขวาด้วย `cos^2 x \ne 0` เราได้:

`\frac (บาป^2 x)(cos^2 x)+\frac(บาป x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. เรามาแนะนำการแทนที่ `tg x=t` ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็น `t^2 + t - 2=0` รากของสมการนี้คือ `t_1=-2` และ `t_2=1` แล้ว:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \ใน Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \ใน Z`

คำตอบ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`

ย้ายไปครึ่งมุม

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `11 บาป x - 2 cos x = 10`

สารละลาย. ลองใช้สูตรมุมคู่ ซึ่งจะได้ผลลัพธ์เป็น: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

เมื่อใช้วิธีพีชคณิตที่อธิบายไว้ข้างต้น เราได้รับ:

`tg x/2=2`, `x_1=2 ส่วนโค้ง 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \ใน Z`

คำตอบ. `x_1=2 ส่วนโค้ง 2+2\pi n, n \ใน Z`, `x_2=ส่วนโค้ง 3/4+2\pi n`, `n \ใน Z`

การแนะนำมุมเสริม

ในสมการตรีโกณมิติ `a sin x + b cos x =c` โดยที่ a,b,c เป็นสัมประสิทธิ์และ x เป็นตัวแปร ให้หารทั้งสองข้างด้วย `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +ข^2))`.

สัมประสิทธิ์ทางด้านซ้ายมีคุณสมบัติเป็นไซน์และโคไซน์ กล่าวคือ ผลรวมของกำลังสองของพวกมันเท่ากับ 1 และโมดูลของพวกมันไม่มากกว่า 1 ให้เราแสดงพวกมันดังนี้: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C` จากนั้น:

`cos \วาร์ฟี บาป x + บาป \วาร์ฟี cos x =C`

ลองมาดูตัวอย่างต่อไปนี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น:

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `3 sin x+4 cos x=2`

สารละลาย. หารทั้งสองข้างของความเท่ากันด้วย `sqrt (3^2+4^2)` เราจะได้:

`\frac (3 บาป x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 บาป x+4/5 cos x=2/5`

ลองแสดงว่า `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` กัน เนื่องจาก `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` เราจึงถือว่า `\varphi=arcsin 4/5` เป็นมุมช่วย จากนั้นเราเขียนความเท่าเทียมกันของเราในรูปแบบ:

`cos \วาร์ฟี บาป x+ซิน \วาร์ฟี cos x=2/5`

เมื่อใช้สูตรสำหรับผลรวมของมุมของไซน์ เราจะเขียนความเท่าเทียมกันในรูปแบบต่อไปนี้:

`บาป (x+\วาร์ฟี)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n อาร์คซิน 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n อาร์คซิน 2/5-` `อาร์คซิน 4/5+ \pi n`, `n \in Z`

คำตอบ. `x=(-1)^n อาร์คซิน 2/5-` `อาร์คซิน 4/5+ \pi n`, `n \in Z`

สมการตรีโกณมิติเชิงเศษส่วน

สิ่งเหล่านี้คือความเท่าเทียมกันของเศษส่วนซึ่งมีทั้งเศษและส่วนประกอบด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง. แก้สมการ `\frac (บาป x)(1+cos x)=1-cos x`

สารละลาย. คูณและหารทางด้านขวาของค่าที่เท่ากันด้วย `(1+cos x)` เป็นผลให้เราได้รับ:

`\frac (บาป x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (บาป x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (บาป x)(1+cos x)=` `\frac (บาป^2 x)(1+cos x)`

`\frac (บาป x)(1+cos x)-` `\frac (บาป^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (บาป x-บาป^2 x)(1+cos x)=0`

เมื่อพิจารณาว่าตัวส่วนไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ เราจะได้ `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`

ลองหาตัวเศษของเศษส่วนให้เป็นศูนย์: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0` จากนั้น `บาป x=0` หรือ `1-บาป x=0`

`บาป x=0`, `x=\pi n`, `n \ใน Z`
`1-บาป x=0`, `บาป x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \ใน Z`

เมื่อพิจารณาว่า ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ผลเฉลยคือ `x=2\pi n, n \in Z` และ `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ใน Z`

คำตอบ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`

โดยเฉพาะอย่างยิ่งตรีโกณมิติและสมการตรีโกณมิติถูกนำมาใช้ในเรขาคณิต ฟิสิกส์ และวิศวกรรมเกือบทั้งหมด การศึกษาเริ่มต้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 มีงานสำหรับการสอบ Unified State อยู่เสมอ ดังนั้นพยายามจำสูตรสมการตรีโกณมิติทั้งหมด - มันจะมีประโยชน์สำหรับคุณอย่างแน่นอน!

อย่างไรก็ตาม คุณไม่จำเป็นต้องจดจำสิ่งเหล่านี้ด้วยซ้ำ สิ่งสำคัญคือการเข้าใจแก่นแท้และสามารถสืบทอดมาได้ มันไม่ยากอย่างที่คิด ดูตัวคุณเองด้วยการดูวิดีโอ

หัวข้อบทเรียน: “การแก้สมการตรีโกณมิติโดยการแนะนำตัวแปรใหม่”

ประเภทบทเรียน: บทเรียนเกี่ยวกับการเรียนรู้เนื้อหาใหม่

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เกี่ยวกับการศึกษา: รวบรวมความรู้และทักษะในการแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุด

สมการตรีโกณมิติ สอนการแก้สมการตรีโกณมิติ

โดยการแนะนำตัวแปรใหม่

พัฒนาการ: พัฒนาความสามารถในการแก้สมการตรีโกณมิติพัฒนา

ความสามารถในการกำหนดประเภทของสมการและวิธีการแก้ไขได้อย่างรวดเร็วและถูกต้อง

เกี่ยวกับการศึกษา: สร้างวัฒนธรรมการทำงานและการเคารพซึ่งกันและกัน

แผนการสอน: 1. เวลาจัดงาน.

2. ตรวจการบ้าน.

3. อัพเดทความรู้.

4. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

5. การรวมวัสดุใหม่

6. นาทีพลศึกษา

7. การควบคุมความรู้เบื้องต้น

8. สรุป.

9. การสะท้อน.

10. การบ้าน.

ในระหว่างเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร .

2. ตรวจการบ้าน. 18 ฉบับที่ 13(ค)

3. การอัพเดตความรู้ แก้สมการ:

บาป x = 0

เพราะx = 1

เพราะx = 2

ทีจี x =

กับทีจีx = 0

สมการที่เขียนในคอลัมน์ด้านซ้ายชื่ออะไร ในคอลัมน์ขวาเหรอ?

วิธีใดที่ใช้ในการแก้สมการในคอลัมน์ด้านซ้าย?

บาป 2 x - 6 บาป x + 5 =0

คุณคิดว่าหัวข้อของบทเรียนในวันนี้จะเป็นอย่างไร

เราเปิดสมุดบันทึกแล้วจดหมายเลข งานในชั้นเรียน หัวข้อบทเรียน: “การแก้สมการตรีโกณมิติด้วยการแนะนำตัวแปรใหม่"

เป้าหมายของเราสำหรับบทเรียนคืออะไร?เรียนรู้การแก้สมการตรีโกณมิติโดยใช้วิธีการแทนที่ตัวแปร

4. ศึกษาเนื้อหาใหม่

บทเรียนนี้จะครอบคลุมวิธีการทั่วไปในการแก้สมการตรีโกณมิติ

สมการตรีโกณมิติลดลงเป็นสมการกำลังสอง .

คลาสนี้อาจรวมถึงสมการที่มีหนึ่งฟังก์ชัน (ไซน์หรือโคไซน์ แทนเจนต์หรือโคแทนเจนต์) หรือสองฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เดียวกัน แต่หนึ่งในนั้นจะถูกลดขนาดให้เป็นฟังก์ชันที่สองโดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานกบาป 2 x + บีซินx + ค =0, ก.

ตัวอย่างเช่น ถ้าคโอสx เข้าสู่สมการด้วยกำลังคู่ จากนั้นเราแทนที่มันด้วย 1-บาป 2 x, ถ้าบาป 2 xจากนั้นเราจะแทนที่มันด้วย 1-เพราะ 2 x.

5. การรวมวัสดุใหม่

ตัวอย่าง.

แก้สมการ:บาป 2 x - 6 บาปx + 5 =0, 2 บาป 2 x - 3เพราะx -3 = 0.

6. นาทีพลศึกษา.

งานเพื่อบรรเทาความเมื่อยล้าของดวงตา: คุณไม่ควรขยับมือ แต่มีเพียงดวงตาเท่านั้น ตารางมีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 20 แต่ตัวเลขสี่ตัวหายไป งานของคุณ: ตั้งชื่อหมายเลขเหล่านี้

7. การควบคุมเบื้องต้น

ทำงานเป็นคู่: แก้สมการ:

1.3tg 2 x +2 ตัน x-1=0;

2.5ซิน 2 x+ 6คอส x -6 = 0

เราหารือเกี่ยวกับคำตอบของสมการ แก้โจทย์ แล้วตรวจสอบคำตอบกับกระดาน

1. 3 ทีจี 2 x +2 ทีจีx-1= 0

อนุญาตทีจีx = ที.

3 ที 2 + 2 ที – 1 = 0

ดี = 16

ที 1 = , ที 2 = -1.

ทีจีx= หรือทีจีx = -1

x= อาร์คจี + ซี x = - + ซี

2. 5 บาป 2 x + 6คอส x - 6 = 0

5( 1 - กับ ระบบปฏิบัติการ 2 x ) + 6คอส x - 6 = 0

5 เพราะ 2 x - 6คอส x +1 = 0

อนุญาตเพราะ x =t

5 ที 2 - 6 ที + 1 = 0

ดี = 16

ที 1 = , ที 2 = 1.

กลับไปที่ตัวแปรเดิม:

เพราะx= หรือเพราะx = 1

x= อาร์คคอส + ซี x = ซี

8. การรวมบัญชี

แก้สมการ:

1. 2 กับทีจี 2 x+3กับทีจี x + 3= 5;

2.2ซิน 2 -บาปเอ็กซ์ + 2 = 3.

1. แก้สมการ 2 เพราะ 2 x - 3 เพราะ (x) - 3 = 0 ระบุรากที่เป็นของกลุ่ม [ - ; -

2. 3tg x - 2กับสีแทน x = 5

แต่ละตัวเลือกจะแก้สมการและตรวจสอบคำตอบบนกระดาน พวกเขาประเมินตัวเองสำหรับงานนี้ มีการส่งมอบใบพร้อมสารละลาย ในบทเรียนถัดไป ฉันจะประกาศผลการเรียนของงานนี้

8. สรุป .

ข้อควรจำ: หัวข้อของบทเรียนคืออะไร? เป้าหมายของเราสำหรับบทเรียนวันนี้คืออะไร? เราบรรลุเป้าหมายของเราแล้วหรือยัง?

9. การสะท้อนกลับ

“ในบทเรียนวันนี้ ฉันพบว่า...”;

“ฉันจะสรรเสริญตัวเอง...”;

“ฉันชอบเป็นพิเศษ...”;

“วันนี้ฉันจัดการ…”;

“ฉันจัดการ...”;

"มันยาก…";

“ฉันตระหนักได้ว่า...”;

"ตอนนี้ฉันทำได้...";

“ฉันรู้สึกแบบนั้น...”;

"ฉันได้เรียนรู้…";

"ฉันรู้สึกประหลาดใจ..."

10. การบ้าน.

1) §18 ฉบับที่ 6(ค) 8(ข) 9(ก) 21(ก)

2) §18 ฉบับที่ 7(ข) 9(ง) งานหมายเลข 1 หรือ 2

1. แก้สมการ +4ทีจีx- 6 = 0 ระบุรากที่เป็นของกลุ่ม [; -

2. = 0.

ทำงานเป็นคู่

1. 3 ทีจี 2 x +2 ทีจี x -1=0;

2. 5 บาป 2 x + 6 เพราะ x -6 = 0.

ทำงานเป็นคู่

1.3tg 2 x +2 ตัน x-1=0;

2.5ซิน 2 x+ 6คอส x -6 = 0

ทำงานเป็นคู่

1. 3 ทีจี 2 x +2 ทีจี x -1=0;

2. 5 บาป 2 x + 6 เพราะ x -6 = 0.

ทำงานเป็นคู่

1. 3 ทีจี 2 x +2 ทีจี x -1=0;

2. 5 บาป 2 x + 6 เพราะ x -6 = 0.

ทำงานเป็นคู่

1.3tg 2 x +2 ตัน x-1=0;

2.5ซิน 2 x+ 6คอส x -6 = 0

การบ้าน:

1. แก้สมการ +4ทีจีx

[ ; ].

2. แก้สมการ

การบ้าน: