Egycsatornás smo készenléti móddal. Tantárgyi munka: Sorozati rendszer korlátozott várakozási idővel Az egycsatornás sorbanállási rendszerek osztályozása

A kereskedelmi tevékenységekben például a kereskedelmi igazgató egycsatornás KPSZ, korlátlan várakozással, mivel általában kénytelen kiszolgálni különféle jellegű kéréseket: dokumentumokat, telefonbeszélgetéseket, találkozókat és beszélgetéseket beosztottakkal, a szervezet képviselőivel. adófelügyelőség, rendőrség, áruszakértők, marketingesek, termékbeszállítók, valamint az áru- és pénzügyi szféra problémáinak megoldása. magas fokozat anyagi felelősség, amely az igények teljesítésére olykor türelmetlenül váró kérések kötelező teljesítésével, valamint a nem megfelelő szolgáltatás hibáival jár együtt, általában gazdaságilag igen jelentősek.

Ugyanakkor az eladásra (szolgáltatásra) behozott áruk a raktárban a szolgáltatás (eladás) sorát képezik. A sor hossza az eladásra szánt áruk száma. Ebben a helyzetben az eladók az áruk kiszolgálásának csatornáiként működnek. Ha nagy az eladásra szánt áruk száma, akkor ebben az esetben a várakozással járó QS tipikus esetével van dolgunk.

Tekintsük a legegyszerűbb egycsatornás QS-t, amely szolgáltatásra vár, amely Poisson-féle kéréseket kap intenzitással xés a folyami szolgáltatás intenzitása. Ezenkívül egy olyan kérés, amelyet akkor kapott, amikor a csatorna szolgáltatással van elfoglalva, sorba kerül, és a szolgáltatásra vár. Egy ilyen rendszer címkézett állapotgrafikonja az ábrán látható. 5.17.

Rizs. 5.17

A lehetséges állapotok száma végtelen:

Így- a csatorna ingyenes, nincs sor, k = 0;

S- a csatorna foglalt szolgáltatással, nincs sorban állás, k = 1; S 2 - a csatorna foglalt, egy kérés van sorban, k = 2;

5/, - csatorna foglalt (k - 1), az alkalmazás sorban áll.

A korlátlan sorú QS-állapotok valószínűségének becslésére szolgáló modellek a korlátozott várakozási sorú QS-re levezetett képletekből nyerhetők, ha átlépünk a határértékre t >

Meg kell jegyezni, hogy a képletben korlátozott sorhosszúságú QS esetén

van egy geometriai progresszió az 1 első taggal és a p nevezővel. Egy ilyen sorozat végtelen számú tag összege at T-*? oo. Ez az összeg konvergál, ha a progresszió végtelenül csökken p 1 fordulatnál t-* oo idővel korlátlanul növekedhet.

Mivel a szóban forgó QS-ben nincs korlátozás a sor hosszára vonatkozóan, így bármilyen kérés kiszolgálható, ezért Pofc = 1, tehát a relatív áteresztőképesség Q = p 0 b c = 1, ill p OTK = Ja, és az abszolút áteresztőképesség A = XQ = X, L 0 ^ = R.

A sorba kerülés valószínűsége k az alkalmazások egyenlőek

A sorban álló alkalmazások átlagos száma

Az alkalmazások átlagos száma a rendszerben

Átlagos várakozási idő a sorban álló szolgáltatásra

Egy alkalmazás átlagosan a rendszerben maradási ideje

Ha egy egycsatornás, várakozással járó QS-ben a kérések fogadásának intenzitása nagyobb, mint a szolgáltatás intenzitása, % > p, akkor a sor folyamatosan növekszik. Ebben a tekintetben a legnagyobb érdeklődés a stabil QS rendszerek elemzése, amelyek helyhez kötött üzemmódban működnek X r, r

5.18. példa. A Hot Bread pékségben egy pénztáros-vezérlő működik. Átlagosan 54 ügyfél érkezik egy órán belül. Egy vásárlás átlagos költsége 7 rubel. Egy pénztáros átlagosan egy ügyfelet kiszolgál 1 perc alatt. Meghatározzuk az árbevételt, a KGST jellemzőit, elemezzük működését.

Megoldás

A feladat feltételei szerint P = 1; x= 54 egység/óra; p = 60 egység/óra, és mivel p = X/p = 0,9, a sor korlátlanul fog növekedni, ezért fennállnak a korlátozó valószínűségek:

Annak a valószínűsége, hogy a pénztáros szabad

Annak a valószínűsége, hogy a pénztáros munkával van elfoglalva

A sorban álló ügyfelek átlagos száma

Átlagos idő, amit egy vásárló egy pékségben tölt

Átlagos vásárlók száma egy pékségben

Annak a valószínűsége, hogy a pékségben 1, 2, 3,4 fő van, ezért 1, 2, 3 fő vár sorban a pénztárnál fizetésre, ill.

Annak a valószínűsége, hogy legfeljebb három ember vár fizetésre a pénztárostól, egyenlő

A pénztáros állásidő részaránya mindössze a munkanap 10%-a, ugyanakkor a sorban állási várakozási idő is érezhető - 9 perc, így a -)C t kiszolgálási idejét pótpénztárgép bevezetésével, ill. ennek megfelelően pénztáros, ellenkező esetben az ügyfelek másik kereskedelmi vállalkozáshoz mennek, ami a gazdasági tevékenység gazdasági mutatóinak romlásához, különösen a kenyér értékesítéséből származó bevétel csökkenéséhez és a másnapi maradék kenyér kialakulásához vezet. és minőségének romlása.

Példa 5.19. A benzinkútnál az autók áramlásának intenzitása az AI-92 benzin szivattyújához óránként 30 autó, az átlagos tankolási idő pedig 5 perc. Elemezzük a rendszer működését sorban állás Benzinkút.

Megoldás

X = 30 egység/óra; = 5 perc = 1/12 óra.

Határozzuk meg a QS jellemzőit. Terhelési intenzitás:

Mivel p > 1, az atomerőmű nem üzemel álló üzemmódban, és a sor folyamatosan nő, ezért szükséges egy másik adagolót bevezetni AI-92 benzinnel, vagy csökkenteni kell az üzemidőt ~ 1,9 percre, majd

ezért p

Példa 5.20. A fodrászatban egyetlen férfi fodrász dolgozik. Az átlagos hajvágási idő egy ügyfélnél 20 perc. Az ügyfelek átlagosan 25 percenként érkeznek. A hajvágás átlagos költsége 60 rubel. Mind az első műszakban 9 és 15 óra között, mind a másodikban 15 és 21 óra között egy mester dolgozik. Elemezze a szolgáltató rendszer működését.

Megoldás

n = 1; X = 2,4 ügyfél/óra; t Q fc= 20 perc = 1/3 óra.

Terhelési intenzitás

A fő állásidő részesedése

Annak a valószínűsége, hogy a mester munkával van elfoglalva

A sorban álló ügyfelek átlagos száma

Átlagos várakozási idő a sorban

Az ügyfelek által fodrászszalonban töltött átlagos idő

A rendszer elég kielégítően működik. Mivel p X = 4 kliens/óra, a terhelés intenzitása p > 1 lesz, és a várakozási sor folyamatosan növekszik, ami a QS instabil működési módjához vezet.

A kereskedelmi tevékenységekben például a kereskedelmi igazgató egycsatornás KPSZ-ként működik, korlátlan várakozással, mivel általában kénytelen különféle jellegű kéréseket kiszolgálni: dokumentumok, telefonbeszélgetések, találkozók és beszélgetések beosztottakkal, képviselőkkel. az adófelügyelőséget, a rendőrséget, az áruszakértőket, a marketingeseket, a termékbeszállítókat és az áru-pénzügyi szférában felmerülő problémákat magas fokú pénzügyi felelősséggel oldják meg, ami az igények teljesítését olykor türelmetlenül váró kérések kötelező teljesítésével jár, ill. a nem megfelelő szolgáltatás hibái általában gazdaságilag nagyon jelentősek.

Ugyanakkor az eladásra (szolgáltatásra) behozott áruk a raktárban a szolgáltatás (eladás) sorát képezik.

A sor hossza az eladásra szánt áruk száma. Ebben a helyzetben az eladók az áruk kiszolgálásának csatornájaként működnek. Ha nagy az eladásra szánt áruk száma, akkor ebben az esetben a várakozással járó QS tipikus esetével van dolgunk.

Tekintsük a legegyszerűbb egycsatornás, szolgáltatásra váró QS-t, amely l intenzitású és µ szolgáltatásintenzitású Poisson-folyamatot kap.

Ezenkívül egy olyan kérés, amelyet akkor kapott, amikor a csatorna szolgáltatással van elfoglalva, sorba kerül, és a szolgáltatásra vár.

Egy ilyen rendszer címkézett állapotgrafikonja az ábrán látható. 3.5

A lehetséges állapotok száma végtelen:

A csatorna ingyenes, nincs sor, ;

A csatorna foglalt szolgáltatással, nincs sor, ;

• - a csatorna foglalt, egy kérés van sorban;
• - a csatorna foglalt, a kérés sorban áll.

A korlátlan sorú QS-állapotok valószínűségének becslésére szolgáló modellek a korlátlan sorú QS-hez allokált képletekből nyerhetők az m>?-nél lévő határértékre való átlépéssel:

Rizs. 3.5

Meg kell jegyezni, hogy a képletben korlátozott sorhosszúságú QS esetén

van egy geometriai progresszió az első taggal 1 és a nevezővel. Egy ilyen sorozat végtelen számú tag összege at. Ez az összeg akkor konvergál, ha a QS állandósult állapotú üzemmódját meghatározó progresszió, amely végtelenül csökken a helyen, a várakozási sorral idővel a végtelenségig nőhet.

Mivel a szóban forgó QS-ben nincs korlátozás a sor hosszára, bármilyen kérés kiszolgálható, így a relatív átviteli sebesség, illetve az abszolút átviteli sebesség

Annak a valószínűsége, hogy k alkalmazás van a sorban:

A sorban lévő jelentkezések átlagos száma -

Az alkalmazások átlagos száma a rendszerben -

Átlagos idő, ameddig egy alkalmazás a rendszerben marad -

Átlagos idő, ameddig egy alkalmazás a rendszerben marad -

Ha egy egycsatornás, várakozással járó QS-ben a fogadott kérések intenzitása nagyobb, mint a szolgáltatás intenzitása, akkor a sor folyamatosan növekszik. Ebben a tekintetben a stabil QS rendszerek elemzése, amelyek stacionárius üzemmódban működnek at.

Van egy n-csatornás QS korlátlan várakozási sorral. A következő mutatók jellemzik:

Valószínűségkorlátozás:

, , . . . , , ,…, ,… (10)

Annak a valószínűsége, hogy egy alkalmazás a sorban lesz:

(11)

(13)

Átlagos sorban állási idő:

(15)

Átlagos idő, amit egy alkalmazás a sorban tölt:

Nézzünk egy példát a többcsatornás QS probléma megoldására várakozással.

Feladat. Az üzletben óránként 81 fős intenzitással érkeznek vásárlók a pénztárgépek. A pénztáros átlagos kiszolgálási ideje egy ügyfélnek tobsl = 2 perc. Határozza meg a számítási csomópont állapotainak és szolgáltatási jellemzőinek korlátozó valószínűségét!

A feltétel szerint λ=81(fő/óra)= 81/60=1,35 (fő/perc). Az (1, 2) képlet szerint:

= λ/μ= λ * tobsl = 1,35 * 2 = 2,7

<1, т.е. при n >= 2,7. Így a pénztárosok minimális száma n =3.

Keressük meg a QS szolgáltatási jellemzőit n=3 esetén.

Annak valószínűsége, hogy nincsenek vásárlók a pénztárgépeknél, a (9) képlet szerint:

= (1+2,7+2,7 /2!+2,7 /3!+2,7 /3!(3-2,7)) = 0,025

A pénztárosok átlagosan az esetek 2,5%-át tétlenül töltik.

Annak valószínűségét, hogy sorban áll a pénztárnál, a (11) képlet határozza meg:

P = (2,7 /3!(3-2,7))0,025 = 0,735

A sorban álló vásárlók átlagos számát a (13) képlet segítségével számítjuk ki:

L = (2,7 /(3*3!(1-2,7/3)))*0,025 = 7,35 (fő)

T = 7,35/1,35 = 5,44 (perc)

Határozzuk meg a pénztárnál a vásárlók átlagos számát a (15) képlet segítségével:

L =7,35+2,7=10,05 (fő)

Az ügyfelek által a pénztárgépeknél töltött átlagos időt a (16) képlet határozza meg:

T = 10,05/1,35 = 7,44 (perc)

Az ügyfeleket kiszolgáló pénztárosok átlagos száma a (12) képlet szerint = 2,7.

A szolgáltatást végző pénztárosok együtthatóját (részesedését) a következő képlet segítségével számítjuk ki:

A számítási csomópont abszolút áteresztőképessége A=1,35 (fő/perc), vagy 81 (fő/óra), azaz. 81 ügyfél óránként. A szolgáltatás jellemzőinek elemzése a három pénztáros pénztárgépek jelentős túlterheltségét jelzi.

Sorozati rendszerek korlátozott sorral

Van egy n-csatornás QS korlátozott várakozási sorral. A sorban lévő alkalmazások száma legfeljebb m. Ha egy alkalmazás olyan időpontban érkezik, amikor már m alkalmazás van a sorban, akkor nincs kiszolgálva. Az ilyen QS-t a következő mutatók jellemzik:

Valószínűségkorlátozás:

(17)

, , . . . , , ,…, (18)

A meghibásodás valószínűsége:

(19)

Relatív sávszélesség:

Abszolút áteresztőképesség:

A foglalt csatornák átlagos száma:

A sorban álló alkalmazások átlagos száma:

(23)

Az alkalmazások átlagos száma a rendszerben:

Példa a QS optimalizálásra

A sorbanállási rendszer teljesítménymutatói optimalizálási problémák megoldására használhatók.

Feladat.

Minimális költségek mellett határozza meg a kikötőhelyek optimális számát, ha ismert, hogy az év során 270 hajót kiszolgáltak. Egy hajó kirakodása átlagosan 12 órát vesz igénybe. A hajó kikötői állásbüntetése 100 ezer rubel/nap A kikötési költség 150 ezer rubel/nap. A számításokat a táblázat tartalmazza.

Megoldás.

Feltétel szerint

λ=270 (hajó/év)=270/360=0,75 (hajó/nap),

tobsl=12h=12/24=0,5 nap.

Az (1, 2) képlet szerint:

= λ/μ= λ * tobsl = 0,75 * 0,5 = 1,5

A sor nem nő a végtelenségig az /n feltétel mellett<1, т.е. при n >= 1,5. Így a minimális férőhelyek száma n =2.

Keressük meg a QS port szolgáltatási jellemzőit az n=2 kikötőhelyek számával.

A (9) képlet segítségével kiszámítjuk annak valószínűségét, hogy nincsenek hajók a kikötőben:

A kikötőhelyek átlagosan az esetek 1,4%-ában állnak üresen.

A sorban lévő hajók átlagos számát a (13) képlet segítségével számítjuk ki:

Az átlagos várakozási időt a sorban a (14) képlet segítségével számítjuk ki:

T = 1,93/0,75 = 2,57 (nap)

Határozzuk meg a kikötőben lévő hajók átlagos számát a (15) képlet segítségével:

L=1,93+1,5=3,43 (hajók)

A hajók által a kikötőben töltött átlagos időt a (16) képlet határozza meg:

T = 3,43 / 0,75 = 4,57 (nap)

Átlagos foglalt férőhelyek száma (12) =1,5.

A szolgáltatási jellemzők elemzése a két kikötőhely jelentős zsúfoltságát jelzi.

Határozzuk meg a teljes büntetés összegét a hajók kikötőben való napi állása miatt. Ehhez szorozzuk meg a hajó kikötői állásbüntetését és a sorban álló hajók átlagos számát:

= * L .

Határozzuk meg a kikötőhelyek napi kiszolgálási költségét: = *n.

Napi két férőhelyre

A teljes költség a következő lesz: C= + =193+300=493 (pénzegység)

A probléma körülményeinek megfelelő összköltségnek minimálisnak kell lennie.

Számítsuk ki az összes költséget az n = 2, 3, 4 férőhelyek számához. A számításokat a táblázat mutatja. Amint a táblázatból látható, a minimális költségek akkor érhetők el, ha n = 3. Ezért a költségek minimalizálása érdekében 3 ágyra van szükség.

1. táblázat – Az optimális férőhelyek számának kiszámítása

Index	Kikötőhelyek száma
A hajóforgalom intenzitása	0,75	0,75	0,75
A hajó szervizelési intenzitása	0,5	0,5	0,5
A kikötőhely terhelési intenzitása	1,5	1,5	1,5
Annak valószínűsége, hogy minden ágy szabad	0,14	0,21	0,22
A sorban álló hajók átlagos száma	1,93	0,24	0,04
Átlagos idő, amelyet egy hajó sorban tölt, nap.	2,57	0,32	0,06
A kikötőben lévő hajók átlagos száma	3,43	1,74	1,54
Egy hajó átlagos kikötői tartózkodási ideje, nap	4,57	2,32	2,06
A hajó kikötői állásbüntetése pénzegység/nap. ()	100,00	100,00	100,00
Kikötőhely fenntartási költség naponta, pénzegység/nap. ()	150,00	150,00	150,00
A hajók kikötői állás miatti teljes bírsága naponta, pénzegységben. ()	192,86	23,68	4,48
A kikötőfenntartás teljes költsége naponta, pénzegységben. ()	300,00	450,00	600,00
Összes költség, pénzegység (C)	492,86	473,68	604,48

Feladat opciók

2. táblázat – Feladatbeállítások

Opció száma
Feladat
Opció száma
Feladat

1. A fodrásznál a hajvágás összetettségétől függően a mester átlagosan 30 perc alatt végzi el a munkát. A látogatók átlagosan 25 perc után érkeznek. A mester minden munkaóráért 300 pénzegységet keres. A sor 4 főre korlátozódik. Ha 4-nél többen vannak a sorban, az ügyfél távozik, és óránkénti veszteség 150 pénzegység. Határozza meg az állapotok és a szolgáltatási jellemzők korlátozó valószínűségét! Határozza meg a kézművesek optimális számát.

2. Az autók 5 percenként átlagosan 2 autóval érkeznek a benzinkutakra. Egy autó tankolása átlagosan 3 percet vesz igénybe. Határozza meg az állapotok és a szolgáltatási jellemzők korlátozó valószínűségét! Határozza meg az oszlopok számát úgy, hogy az átlagos sorhossz ne haladja meg a 3 oszlopot.

3. Egy jármű-megelőző átvizsgálási központ éjjel-nappali működését fontolgatják. Átlagosan 30 percet vesz igénybe az egyes gépek ellenőrzése és hibáinak azonosítása. Naponta átlagosan 36 autót kapnak átvizsgálásra. Ha az átvizsgálóhelyre érkező autó egyetlen csatornát sem talál szabadon, akkor szervizeletlenül hagyja el az átvizsgálási pontot. Határozza meg egy megelőző ellenőrzési pont állapotának és karbantartási jellemzőinek valószínűségét. Határozza meg a csatornák számát úgy, hogy a relatív áteresztőképesség legalább 0,8 legyen.

4. Sürgősségi cipőjavító műhelyben a javítás összetettségétől függően a mesternek átlagosan 15 percre van szüksége. A látogatók átlagosan 14 percenként érkeznek. Határozza meg az állapotok és a szolgáltatási jellemzők korlátozó valószínűségét! Határozza meg a kézművesek számát úgy, hogy az átlagos sorhossz ne haladja meg az 5 rendelést!

5. A help desk-nél az operátor átlagosan 4 perc alatt ad tájékoztatást. A hívások 3 percenként érkeznek. Ha a szolgáltatók foglaltak, a hívás nem lesz kiszolgálva. Határozza meg a help desk szolgáltatás állapotainak és jellemzőinek valószínűségét! Határozza meg a csatornák számát úgy, hogy a relatív áteresztőképesség legalább 0,75 legyen.

6. A vásárló termékeinek számától függően az üzlet pénztárosának átlagosan 2 percre van szüksége egy csekk elkészítéséhez. Az ügyfelek 81 fő/óra sebességgel közelítik meg a pénztárat. Határozza meg az állapotok és a szolgáltatási jellemzők korlátozó valószínűségét! Határozza meg a pénztárosok számát úgy, hogy az átlagos sorhossz ne haladja meg a 4 vásárlót!

7. Az ATP diszpécserének járműtípustól függően átlagosan 20 percet vesz igénybe egy útvonallap kiállítása. Az autókra vonatkozó kérelmek átlagosan 30 percenként érkeznek. Határozza meg az állapotok és a szolgáltatási jellemzők korlátozó valószínűségét! Határozza meg a diszpécserek számát úgy, hogy az átlagos sorhossz ne haladja meg a 2 kérést.

8. Az automata telefonközpont működésének értékelése szükséges. Ha minden kommunikációs vonal foglalt, az előfizető elhagyja a rendszert. A hívások 2 hívás/perc intenzitással érkeznek A hívások időtartama exponenciálisan oszlik meg, átlagosan 1,5 perc. Határozza meg a rendszer korlátozó valószínűségeit és teljesítménymutatóit! Határozzuk meg az operátorok számát úgy, hogy a telefonközpont relatív kapacitása ne legyen kisebb 0,9-nél!

9. A bankban az ügyfél kérésének összetettségétől függően a pénztárosnak átlagosan 10 percre van szüksége. Az ügyfelek átlagosan 12 percenként fordulnak hozzá. A pénztáros 15 000 pénzegységet keres. havonta. A sor 6 főre korlátozott. Ha 6-nál többen vannak a sorban, az ügyfél távozik, és az óránkénti veszteség 200 pénzegység. Határozza meg az állapotok és a szolgáltatási jellemzők korlátozó valószínűségét! Határozza meg a pénztárosok optimális számát.

10. Egy ATM-tranzakció átlagosan 2 percet vesz igénybe. Az ügyfelek átlagosan 20 percenként fordulnak hozzá. Határozza meg az állapotok és a szolgáltatási jellemzők korlátozó valószínűségét! Határozza meg az ATM-ek számát úgy, hogy az átlagos sorhossz ne haladja meg a 2 főt.

11. Egy boltban a vevőtől függően az eladónak átlagosan 10 percre van szüksége egy vásárláshoz. A vásárlók átlagosan 5 percenként fordulnak hozzá. Határozza meg az állapotok és a szolgáltatási jellemzők korlátozó valószínűségét! Határozza meg az eladók számát úgy, hogy az átlagos sorhossz ne haladja meg az 5 főt.

12. Egy bútorgyár rendelési osztályán az értékesítési vezetőnek a vevő rendelésétől függően átlagosan 25 percre van szüksége egy rendelés leadására. Az ügyfelek átlagosan 30 percenként jönnek. Határozza meg az állapotok és a szolgáltatási jellemzők korlátozó valószínűségét! Határozza meg a vezetők számát úgy, hogy az átlagos sorhossz ne haladja meg a 3 főt.

Munkarend

1. Számítsa ki a sorban állási rendszer mutatóit Excelben a kézikönyvben megadott képletekkel! A szolgáltatási csatornák számát n=1, 2, 3...k rendezzük, hogy megtaláljuk az opció optimális értékét. A bemeneti áramlásokról és a szolgáltatásról feltételezzük, hogy Poisson-eloszlást követnek.

2. Elemezze a kapott eredményeket.

3. Írjon jelentést.

1) A munka célja;

2) problémafelvetés;

3) az Excelben végzett számítások eredményei;

4) következtetések a munka befejezésére vonatkozóan.

Ellenőrző kérdések

1. Mit tartalmaz a sorbanállási rendszer fogalma?

2. Milyen típusú sorban állási rendszerek léteznek?

3. Melyek a sorbanállási rendszerek főbb jellemzői, teljesítménymutatói?

4. Határozza meg a bejövő igényfolyam főbb tulajdonságait (jellemzőit)?

5. Sorolja fel a várakozással járó sorbanállási rendszerek főbb jellemzőit, jellemzőit?

6. Melyek a hibás QS főbb jellemzői?

7. Mondjon példákat! különféle típusok SMO?

Bibliográfia

1. Afanasyev M.Yu. Operációkutatás a közgazdaságtanban: modellek, problémák, megoldások. / M.Yu. Afanasjev, B.P. Suvorov.- M.: INFRA, 2003.-444 p.

2. Ventzel E.S. Operációkutatás. Célok, alapelvek, módszertan./ E.S. Ventzel.-M.: Felsőiskola, 2001.-208p.

3. Zaichenko Yu.P. Operációkutatás/ Yu.P. Zaichenko.-K.: Vishcha iskola, 1975.-320p.

4. Konyukhovsky P.V. Műveletek kutatásának matematikai módszerei. / P.V. Konyukhovsky - Szentpétervár: Péter, 2001.-192 p.

5. Kremer N.Sh., Putko B.A. Műveletek kutatása a közgazdaságtanban./ N.Sh. Kremer, B.A. Butko, I.M. Trishin.- M.: Bankok és tőzsdék, EGYSÉG, 1997.-407 p.

1. Kudrjavcev E.M. GPSS World Különféle rendszerek szimulációs modellezésének alapjai - M.: DMK Press, 2004. - 320 p.

2. Sovetov V.Ya., Yakovlev S.A. Rendszermodellezés. - M.: Felsőiskola, 1985

3. Sovetov V.Ya., Yakovlev S.A. Rendszerek modellezése: tanfolyamtervezés. - M.: Felsőiskola, 1989

Várakozó rendszerek korlátlan bejövő áramlással

n azonos csatorna intenzitással fogadja a legegyszerűbb kéréseket λ . Ha a kérés beérkezésekor minden csatorna foglalt, akkor ez a kérés sorba kerül, és várja a kiszolgálás megkezdését. Az egyes kérések kiszolgálási ideje egy valószínűségi változó, amely a paraméterrel egy exponenciális eloszlási törvénynek engedelmeskedik μ .

Számítási képletek
Annak valószínűsége, hogy minden csatorna ingyenes

Valószínű, hogy foglalt k csatornák, feltéve, hogy a kiszolgált kérések száma nem haladja meg a csatornák számát,

Annak a valószínűsége, hogy a rendszer tartalmaz k kérések, ha azok száma nagyobb, mint a csatornák száma,

Annak a valószínűsége, hogy minden csatorna foglalt

Átlagos várakozási idő, amíg egy alkalmazás megkezdi a szervizelést a rendszerben

Átlagos sorhossz

A szolgáltatástól mentes csatornák átlagos száma

Példa
Egy benzinkút két szivattyúval egy Poisson-áramot szolgál ki, λ=0,8 autó/perc intenzitással. Egy gép szervizideje egy exponenciális törvénynek engedelmeskedik, átlagosan 2 perc. Más benzinkút nincs a környéken, így szinte korlátlanul nőhet a sor a benzinkút előtt. Megtalálja:
1) a foglalt oszlopok átlagos száma;
2) annak valószínűsége, hogy nincs sorban állás a benzinkútnál;
3) annak valószínűsége, hogy várnia kell a szolgáltatás megkezdésére;
4) a sorban álló autók átlagos száma;
5) átlagos sorban állási idő;
6) az átlagos idő, amit egy autó benzinkúton tölt;
7) átlagos autók száma a benzinkutaknál.
Megoldás. A feladat feltételei szerint n=2, λ=0,8; μ=1/t obs=0,5; ρ=λ/μ=1,6
Mert a ρ /n=0,8<1, то очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы системы массового обслуживания.
Megtaláljuk a QS állapotok valószínűségét:

A foglalt oszlopok átlagos száma:
N zan = n-N 0 = 2-(2 p 0 + 1 p 1) = 2-2 0,1111 - 0,1778 = 1,6
Annak valószínűsége, hogy nem lesz sor a benzinkútnál:

Annak a valószínűsége, hogy várnia kell a szolgáltatás indulására, megegyezik annak valószínűségével, hogy az összes oszlop foglalt:
p 0 + p 1 + p 2 = 0,1111 + 0,1778 + 0,1422 = 0,4311
A sorban álló autók átlagos száma:

Átlagos várakozási idő a sorban:
Átlagosan egy autó benzinkútnál tölt:
t preb = t obs + t hideg = 2+3,5556 = 5,5556 perc.
Az autók átlagos száma a benzinkutakon:
N zan + L och = 1,6 + 2,8444 = 4,4444
Vegyünk egy egycsatornás QS-t elvárásokkal, amelyben a csatornák száma eggyel egyenlő n= 1, a kérések intenzitása λ, a szolgáltatás intenzitása μ. A csatorna foglalt időpontjában érkezett alkalmazás sorban áll, és szolgáltatásra vár. A sorban álló helyek száma korlátozott és egyenlő m. Ha a sorban minden hely foglalt, akkor az alkalmazás kiszolgálatlanul hagyja a sort. Elemezzük a rendszer állapotát:

• S 0 – a csatorna szabad;
• S 1 – csatorna foglalt;
• S 2 – a csatorna foglalt, egy kérés van sorban;
• Sk– a csatorna foglalt, (k–1) kérések vannak sorban;
• Sm+ 1 – csatorna foglalt, sorban áll m alkalmazások.

Ábrázoljuk egy ilyen QS állapotgráfját (25. ábra).

Rizs. 25
Erlang képletekkel meg fogjuk találni azoknak az eseményeknek a valószínűségét, amelyek abból állnak, hogy a QS állapotban van S 1 , S 2 , …, S m+1:
(28)

Ebben az esetben annak a valószínűsége, hogy a rendszerbe érkező alkalmazás szabadnak találja, egyenlő
. (29)
A λ kérések fogadásának intenzitásának és a μ kiszolgálási kérések intenzitásának aránya a csökkentett intenzitás μ, azaz.

ρ=λ/μ
Cseréljük le a (28) és (29) képletekben a λ/&mu arányt ρ-re, ekkor a kifejezések a következő alakot öltik:

(30)
Valószínűség R A 0 a következő képlettel lesz kiszámítva:
p 0 = -1. (31)
Valószínűség kifejezése P A 0 egy geometriai progresszió, amelynek összege egyenlő lesz

.
Így a (30) és a (31) képlet lehetővé teszi bármely esemény valószínűségének meghatározását, amely a rendszerben előfordulhat, azaz meghatározza a rendszer bármely állapotának valószínűségét.
Képlet a P A 0 akkor érvényes, ha ρ ≠ 1. Abban az esetben, ha ρ = 1, azaz a kérelmek fogadásának intenzitása megegyezik a kiszolgálásuk intenzitásával, egy másik képlet segítségével számítjuk ki a rendszer szabadságának valószínűségét:

,
ahol m a sorban lévő alkalmazások száma.

Határozzuk meg az egycsatornás QS teljesítményjellemzői:

• annak a valószínűsége, hogy a rendszerbe következő alkalmazást elutasítják R nyisd ki;
• abszolút áteresztőképesség A,
• relatív áteresztőképesség K,
• foglalt csatornák száma k,
• a kérések átlagos száma az r sorban,
• a QS-hez kapcsolódó alkalmazások átlagos száma, z .

A rendszerbe érkező következő kérést a rendszer elutasítja, ha a csatorna foglalt, azaz egy másik kérést kiszolgálnak, és ez minden m a sorban álló helyek is betelnek. akkor ennek az eseménynek a valószínűsége a következő képlettel számítható ki:

. (32)
A képlet segítségével meghatározható annak valószínűsége, hogy egy alkalmazás bekerül a rendszerbe és azonnal kiszolgálják, vagy lesznek helyek a sorban.

. (33)
Az időegységenként kiszolgálható kérések átlagos számát, azaz az abszolút átviteli sebességet a következőképpen számítjuk ki:

A=Q·λ (34)
Így a (32), (33), (34) képletek segítségével bármely sorbanállási rendszerhez ki lehet számítani a fő teljesítménymutatókat. Most kifejezéseket fogunk levezetni a csak ebben a QS-ben rejlő jellemzők kiszámításához.
Az r sorban lévő kérések átlagos számát egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárásaként definiáljuk, ahol R– a sorban lévő alkalmazások száma.
♦ R 2 annak a valószínűsége, hogy egy kérés van a szolgáltatási sorban;
♦ R 3 – annak valószínűsége, hogy két alkalmazás van a sorban;
♦ Rk– annak valószínűsége, hogy (k–1) alkalmazás van a sorban;
♦ Rm+ 1 – annak valószínűsége, hogy m alkalmazás van a sorban.
Ezután a sorban lévő alkalmazások átlagos száma a következőképpen számítható ki:
r =1 · P 2 +2 · P 3 + ... + (k-1) · P k + ... + m · P m+1 . (35)
Helyettesítsük be a (35) képletbe a (30) képletben számított korábban talált valószínűségi értékeket:
r =1·ρ 2 ·p 0 +2·ρ 3 ·p 0 + ... +(k-1)·ρ k ·p 0 + ... +m·ρ m+1 ·p 0. (35)
Vegyük ki a valószínűséget az egyenletből P 0 és R 2, akkor megkapjuk a végső képletet a szolgáltatási sorban lévő kérések átlagos számának kiszámításához:
r =ρ 2 p 0 (1+2 ρ+ ... +(k-1) ρ k-2 + ... +m ρ m-1)
Vezessünk egy képletet a QS-hez társított alkalmazások átlagos számához, z-hez, azaz a sorban lévő alkalmazások számához, amelyeket kiszolgálnak. Tekintsük a QS-hez társított alkalmazások teljes számát z az r sorban lévő alkalmazások átlagos számának és a k foglalt csatornák számának két értékének összegeként:

z = r +k.
Mivel csak egy csatorna van, a foglalt k csatornák száma 0 vagy 1 lehet. Annak a valószínűsége, hogy k = 0, azaz. a rendszer szabad, megfelel a P 0 valószínűségnek, melynek értéke a (31) képlet segítségével kereshető meg. Ha k = 1, azaz a csatorna a kérés kiszolgálásával van elfoglalva, de még vannak helyek a sorban, akkor ennek az eseménynek a valószínűsége kiszámítható a képlet segítségével

.
Ezért z egyenlő lesz:

. (37)

Egycsatornás QS várakozással

A sorban állási rendszer egycsatornás. A bejövő szolgáltatási kérelmek folyama a legegyszerűbb folyam l intenzitással. A szolgáltatásfolyam intenzitása egyenlő m-vel (azaz átlagosan egy folyamatosan foglalt csatorna m kiszolgált kérést ad ki). A szolgáltatás időtartama egy véletlen változó, amelyre az exponenciális eloszlási törvény vonatkozik. A szolgáltatásfolyam az események legegyszerűbb Poisson-folyamata. A csatorna foglalt állapotában kapott kérés sorban áll, és szolgáltatásra vár.
Tételezzük fel, hogy akárhány kérés érkezik a kiszolgáló rendszer bemenetére, ez a rendszer (várólista + kiszolgált ügyfelek) N-nél több követelményt (alkalmazást) nem tud kiszolgálni, azaz a tartásban nem lévő ügyfelek kiszolgálására kényszerülnek. máshol . Végül a szolgáltatási kérelmeket előállító forrás korlátlan (végtelenül nagy) kapacitással rendelkezik.
A QS állapotgráfja ebben az esetben az ábrán látható formájú. 3.2.


Egycsatornás QS állapotgráfja várakozással (halál és szaporodás sémája)
A QS állapotok értelmezése a következő:
S 0 - csatorna mentes
S 1 - csatorna foglalt (nincs sor);
S 2 - a csatorna foglalt (egy kérés van sorban);
………………………………
S n - a csatorna foglalt (n - 1 kérés van sorban);
……………………………
S N - csatorna foglalt (N - 1 alkalmazás van sorban).
Ebben a rendszerben a stacionárius emelkedést a következő algebrai egyenletrendszer írja le:

P -állapotszám.
A fenti (3.10) egyenletrendszer megoldása QS-modellünkre a következő alakkal rendelkezik

Megjegyzendő, hogy egy adott QS stacionaritási feltételének teljesítése nem szükséges, mivel a kiszolgáló rendszerbe beengedett kérelmek számát a sorhossz korlátozásával szabályozzák (amely nem haladhatja meg N- 1), és nem a bemeneti áramlás intenzitásának aránya, azaz nem az arány
l/m = p
Határozzuk meg az egycsatornás QS jellemzői várakozással és korlátozott sorhosszal egyenlő (N- 1):

Nézzünk egy példát egy egycsatornás QS-re várakozással.
Példa 3.2. A speciális diagnosztikai poszt egycsatornás QS. A diagnosztikára váró autók parkolóinak száma korlátozott, 3 db [(N-1) = 3]. Ha minden parkoló foglalt, azaz már három autó áll a sorban, akkor a következő, diagnosztikára érkező autó nem kerül a szervizelési sorba. A diagnosztikára érkező autók áramlása a Poisson-törvény szerint oszlik meg és intenzitású l= 0,85 (járművek óránként). A jármű diagnosztikai ideje egy exponenciális törvény szerint oszlik meg és átlagosan 1,05 óra.
Meg kell határozni stacionárius üzemmódban működő diagnosztikai állomás valószínűségi jellemzői.
Megoldás
1. A jármű karbantartási folyamatának paramétere:

2. A csökkentett forgalmi intenzitást az l és m intenzitás arányaként határozzuk meg, azaz.

3. Számítsuk ki a rendszer végső valószínűségeit:

P 1 =ρ P 0 = 0,893 0,248 = 0,221
P 2 =ρ 2 P 0 = 0,893 2 0,248 = 0,198
P 3 =ρ 3 P 0 = 0,893 3 0,248 = 0,177
P 4 =ρ 4 P 0 = 0,893 2 0,248 = 0,158
4. A jármű szervizelésének meghibásodásának valószínűsége:
P nyitott =P 4 =ρ 4 ·P 0 ≈ 0,158
5. A diagnosztikai bejegyzés relatív teljesítménye:
q=1-P nyitott = 1-0,158 = 0,842
6. A diagnosztikai állomás abszolút teljesítménye
A=λ·q = 0,85·0,842 = 0,716 (járművek óránként)
7. Szervizben lévő és sorban álló (azaz a sorban állási rendszerben) autók átlagos száma:

8. Átlagos idő, ameddig egy autó a rendszerben marad:
9. Egy kérelem szolgáltatási sorban állásának átlagos időtartama:
W q = W S -1/μ = 2,473-1/0,952 = 1,423 óra
10. A sorban lévő alkalmazások átlagos száma (sorhossz): Lq= A,(1 - P N) W q= 0,85
L q = λ(1-P N) W q = 0,85 (1-0,158) 1,423 = 1,02
A vizsgált diagnosztikai állás munkája kielégítőnek mondható, mivel a diagnosztikai állás átlagosan az esetek 15,8%-ában nem szervizel autókat (R nyitva= 0,158). A QS várható hatékonyságának mutatóiként a már ismert mutatókon kívül - abszolút A és relatív Q áteresztőképesség, meghibásodás valószínűsége P elutasít. , az átlagos foglalt csatornák számát (többcsatornás rendszer esetén) a következőket is figyelembe vesszük: L syst. - átlagos alkalmazások száma a rendszerben; T syst. - átlagos idő, amikor egy alkalmazás a rendszerben marad; L nagyon - a sorban lévő alkalmazások átlagos száma (sorhossz); T och. - átlagosan mennyi ideig marad egy alkalmazás a sorban; Rzan.. - annak a valószínűsége, hogy a csatorna foglalt (a csatorna terhelésének mértéke).

Egycsatornás rendszer korlátlan várakozási sorral

A gyakorlatban gyakran találkozhatunk egycsatornás, korlátlan sorbanállású QS-ekkel (például egy fülkével rendelkező fizetős telefon).
Tekintsük a problémát.
Létezik egy egycsatornás QS sorral, amelyre nincs korlátozás (sem a sor hosszára, sem a várakozási időre vonatkozóan). A QS-hez érkező kérések intenzitása λ, a kiszolgálási folyam intenzitása μ. Meg kell találni a QS állapotainak és teljesítménymutatóinak korlátozó valószínűségeit.
A rendszer az S 0, S 1, S 2, …, S k állapotok valamelyikében lehet, a QS-ben lévő kérések számának megfelelően: S 0 - csatorna szabad; S 1 - csatorna foglalt (kérést szolgál ki), nincs sor, S 2 - csatorna foglalt, egy kérés van a sorban; ... S k - csatorna foglalt, (k-1) alkalmazások sorban állnak stb.
A QS állapotgrafikonja az ábrán látható. 8.

Rizs. 8
Ez a halál és szaporodás folyamata, de végtelen sok állapotú, amelyben az alkalmazások áramlásának intenzitása λ, a szolgáltatások áramlásának intenzitása pedig μ.
Mielőtt leírná a korlátozó valószínűségek képleteit, meg kell bizonyosodni a létezésükről, mert t→∞ idő esetén a sor korlátlanul növekedhet. Az bebizonyosodott Haρ<1, azok. a bejövő alkalmazások átlagos száma kisebb, mint a kiszolgált alkalmazások átlagos száma (időegységre vetítve), akkor vannak korlátozó valószínűségek. Haρ≥1, a sor a végtelenségig nő.

Az állapotok korlátozó valószínűségeinek meghatározásához a (16), (17) képleteket fogjuk használni a halál és szaporodás folyamatára (itt elismerjük a szigorúság bizonyos hiányát, mivel ezeket a képleteket korábban véges számú képletre kaptuk). a rendszer állapotai). kapunk (32)
Mivel korlátozó valószínűségek csak ρ esetén léteznek< 1, то геометрический ряд со знаменателем
ρ < 1, записанный в скобках в формуле (32), сходится к сумме, равной . Поэтому
p 0 =1-ρ, (33)
és figyelembe véve a kapcsolatokat (17)
p 1 =ρ·p 0; p 2 =ρ 2 · p 0 ; ... ; p k =ρ k ·p 0 ; ...
keressük meg más állapotok korlátozó valószínűségeit
p1 =ρ·(1-ρ); p 2 =ρ 2 · (1-ρ); ... ; p k =ρ k ·(1-ρ); ... (34)
A p 0 , p 1 , p 2 , ..., p k , ... korlátozó valószínűségek egy csökkenő geometriai szakmát alkotnak p nevezővel< 1, следовательно, вероятность р 0 - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
Az alkalmazások átlagos száma az L rendszerben. a matematikai elvárási képlet segítségével határozzuk meg, amely a (34) figyelembevételével a formát ölti majd
(35)
(összegzés 1-től ∞-ig, mivel a nulla tag 0·p 0 =0).
Megmutatható, hogy a (35) képlet átalakul (ρ< 1) к виду
(36)
Keressük meg az L sorban lévő alkalmazások átlagos számát nagyon. Ez nyilvánvaló
L och =L syst -L rev (37)
ahol L köt. - a kiszolgált alkalmazások átlagos száma.
A szolgáltatás alatt lévő kérések átlagos számát a szolgáltatás alatt lévő kérések számának matematikai elvárásának képlete határozza meg, 0 (ha a csatorna szabad) vagy 1 (ha a csatorna foglalt) értéket vesz fel:
L och =0 p 0 +1 (1-p 0)
azok. a szolgáltatás alatt lévő kérések átlagos száma megegyezik a csatorna foglaltságának valószínűségével:
L och =P zan =1-p 0, (38)
Valójában (33)
L och =P zan ρ, (39)
Most a (37) képlet szerint, figyelembe véve (36) és (39)
(40)
Az bebizonyosodott az alkalmazások áramlásának bármilyen jellege, a szolgáltatási idő bármilyen eloszlása, bármely szolgáltatási terület esetén a kérés rendszerben (sorban) maradásának átlagos ideje megegyezik a rendszerben (a sorban lévő) alkalmazások átlagos számával osztva az alkalmazások áramlásának intenzitása szerint, azok.
(41)
(42)
A (41) és (42) képleteket hívjuk Little képletei. Abból fakadnak, hogy korlátozó, stacionárius üzemmódban a rendszerbe érkező alkalmazások átlagos száma megegyezik az azt elhagyó alkalmazások átlagos számával: mindkét kérésfolyam azonos intenzitású λ.
A (41) és (42) képlet alapján, a (36) és (40) figyelembevételével, az alkalmazás átlagos rendszerben maradásának idejét a következő képlet határozza meg:
(43)
és az átlagos idő, ameddig egy alkalmazás sorban áll
(44)

Egycsatornás QS várakozással a várakozási blokk kapacitásának korlátozása nélkül

Ennek a QS-nek az álló üzemmódja t→∞-nél létezik bármely n=0,1,2,... esetén és ha l< m.Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при t®¥ для любого n = 0, 1, 2...., имеет вид
Ennek az egyenletrendszernek a megoldásának megvan a formája
P n =(1-ρ)·ρ n, n=0,1,2,... (3.21)
ahol ρ=λ/μ< 1
Az egycsatornás, várakozással járó QS jellemzői a várakozási sor hosszának korlátozása nélkül a következők:
az ügyfelek (szolgáltatás iránti kérelmek) átlagos száma a rendszerben:
az ügyfél rendszerben való tartózkodásának átlagos időtartama:

Példa 3.3. Emlékezzünk vissza a 3.2 példában tárgyalt helyzetre, ahol egy diagnosztikai poszt működéséről beszélünk. A szóban forgó diagnosztikai poszton korlátlan számú parkolóhely legyen a szervizbe érkező járművek számára, azaz a sor hossza korlátlan.
Meg kell határozni a következő valószínűségi jellemzők végső értékeit:

• rendszerállapotok valószínűségei (diagnosztikai állomás);
• a rendszerben lévő autók átlagos száma (szerviz alatt és sorban állásban);
• a jármű rendszerben való tartózkodásának átlagos időtartama (szervizben és sorban állásban);
• a szervizre sorban álló gépkocsik átlagos száma;
• átlagosan mennyi ideig tartózkodik egy autó a sorban.

Megoldás
1. Az m üzemi áramlási paramétert és a p járműáramlás csökkentett intenzitását a 3.2. példa határozza meg:
m = 0,952; p = 0,893.
2. Számítsa ki a rendszer korlátozó valószínűségeit a képletekkel!
P 0 = 1-ρ = 1-0,893 = 0,107
P 1 =(1-ρ) ρ = (1-0,893) 0,893 = 0,096
P 2 = (1-ρ) ρ 2 = (1-0,893) 2 0,893 = 0,085
P 3 = (1-ρ) ρ 3 = (1-0,893) 3 0,893 = 0,076
P 4 = (1-ρ) ρ 4 = (1-0,893) 4 0,893 = 0,068
P 5 = (1-ρ) ρ 5 = (1-0,893) 5 0,893 = 0,061
stb.
Meg kell jegyezni, hogy a P o meghatározza, hogy a diagnosztikai bejegyzés mekkora idő alatt kénytelen inaktív (tétlen). Példánkban ez 10,7%, mivel R o= 0,107.
3. A rendszerben lévő autók átlagos száma (szerviz alatt és sorban):
4. Az ügyfél rendszerben való tartózkodásának átlagos időtartama:

6. Egy autó sorbanállásának átlagos időtartama -
7. Relatív rendszer átviteli sebesség:
azaz minden alkalmazás, ami a rendszerbe kerül, ki lesz szolgáltatva.
8. Abszolút áteresztőképesség: A= l q= 0,85 1 = 0,85
Megjegyzendő, hogy egy autódiagnosztikát végző céget elsősorban az érdekli, hogy a sorhossz-korlátozás feloldásakor hány vásárló keresi fel a diagnosztikai posztot.
Tegyük fel, hogy az eredeti verzióban az érkező autók parkolóhelyeinek száma három volt (lásd a 3.2 példát). Azon helyzetek m gyakorisága, amikor egy diagnosztikai állásra érkező autó nem tud beállni a sorba:

T= l P N

Példánkban, ahol N = 3 + 1 = 4 és p = 0,893,
m = l P o p 4 = 0,85·0,248·0,8934·0,134 autó óránként.
A diagnosztikai állomás 12 órás üzemmódja esetén ez egyenértékű azzal, hogy a diagnosztikai állomás átlagosan 12·0,134 = 1,6 autót veszít műszakonként (nap).
A sor hosszára vonatkozó korlátozás megszüntetése lehetővé teszi, hogy a példánkban kiszolgált ügyfelek számát átlagosan 1,6 autóval növeljük műszakonként (12 óra munkaidő) a diagnosztikai állomáson. Nyilvánvaló, hogy a diagnosztikai állomásra érkező járművek parkolóhelyének bővítéséről szóló döntésnek azon gazdasági károk felmérésén kell alapulnia, amelyet az ügyfelek elvesztése okoz, ha ezeknek a járműveknek csak három parkolóhelye van.

Többcsatornás QS korlátlan várakozási sorral

Tekintsük a problémát. Van egy n-csatornás QS korlátlan várakozási sorral. A QS-hez érkező kérések intenzitása λ, a kiszolgálási folyam intenzitása μ. Meg kell találni a QS állapotok korlátozó valószínűségeit és hatékonyságának mutatóit.

A rendszer az S 0 , S 1 , S 2 ,…, S k ,…, S n ,… állapotok valamelyikében lehet - a QS-ben lévő alkalmazások száma szerint számozva: S 0 - nincs alkalmazás a rendszer (minden csatorna szabad) ; S 1 - egy csatorna foglalt, a többi szabad; S 2 - két csatorna foglalt, a többi szabad;..., S k - k csatorna foglalt, a többi szabad;..., S n - mind az n csatorna foglalt (nincs sor); S n+1 - mind az n csatorna foglalt, egy kérés van a sorban;..., S n+r - mind foglalt n csatornák, r soron vannak a jelentkezések...

A rendszerállapot grafikonja a ábrán látható. 9. Vegyük észre, hogy az előző QS-től eltérően a szolgáltatásfolyam intenzitása (a rendszer egyik állapotból a másikba való áthelyezése jobbról balra) nem marad állandó, és ahogy a QS-ben a kérések száma 0-ról nő n, m-ről nm-re nő, mivel a szolgáltatási csatornák száma ennek megfelelően nő. Ha a kérések száma a QS-ben nagyobb, mint n, a szolgáltatásfolyam intenzitása nm marad.

a sorban álló kérelmek átlagos száma
, (50)
az alkalmazások átlagos száma a rendszerben
L rendszer = L och +ρ, (51)
Az átlagos idő, ameddig egy alkalmazás a sorban marad, és az átlagos idő, ameddig egy alkalmazás a rendszerben marad, mint korábban, Little (42) és (41) képlete alapján állapítható meg.
Megjegyzés. Egy QS-hez korlátlan várakozási sorral az r címen< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа P отк = 0, относительная пропускная способность K=1, és az abszolút áteresztőképesség egyenlő a bejövő kérések áramlásának intenzitásával, azaz. A=l.

QS korlátozott sorral

QS korlátozott sorral. A korlátozott várakozási sorral rendelkező kérdések csak annyiban térnek el a fent vizsgált problémáktól, hogy a sorban lévő alkalmazások száma korlátozott (nem haladhatja meg a megadott értéket T). Ha egy új kérés olyan időpontban érkezik, amikor a sorban lévő összes hely foglalt, akkor a QS kiszolgálás nélkül marad, azaz. elutasítják.
Nyilvánvaló, hogy az ilyen QS-ek állapotainak és hatékonysági mutatóinak korlátozó valószínűségeinek kiszámításához ugyanaz a megközelítés használható, mint a fenti, azzal a különbséggel, hogy nem egy végtelen progressziót kell összefoglalni (mint például a képlet származtatásánál ( 33)), de véges .
Az átlagos idő, ameddig egy alkalmazás a sorban és a rendszerben marad, mint korábban, Little (44) és (43) képlete határozza meg.
QS korlátozott várakozási idővel. A gyakorlatban gyakran találkoznak olyan QMS-ekkel, amelyek úgynevezett „türelmetlen” kérésekkel rendelkeznek. Az ilyen alkalmazások kiléphetnek a sorból, ha a várakozási idő túllép egy bizonyos értéket. Különösen a különféle technológiai rendszerekben merülnek fel ilyen kérések, amelyekben a szolgáltatás megkezdésének késése a termék minőségének romlásához vezethet, az operatív irányítási rendszerekben, amikor a sürgős üzenetek értékét (vagy akár jelentését) veszítik, ha nem kapják meg őket a szolgáltatáshoz. egy bizonyos időn belül.

Az ilyen rendszerek legegyszerűbb matematikai modelljeiben azt feltételezzük, hogy egy kérés véletlenszerű ideig maradhat a sorban, egy exponenciális törvény szerint elosztva egy bizonyos υ paraméterrel, azaz. feltételesen feltételezhetjük, hogy minden szolgáltatási sorban álló kérés υ intenzitással hagyhatja el a rendszert.
A megfelelő időben korlátozott QS teljesítménymutatókat a halálozási és szaporodási folyamatra kapott eredmények alapján kapjuk meg.

Összegzésképpen megjegyezzük, hogy a gyakorlatban gyakran vannak olyan zárt szolgáltatási rendszerek, amelyekben az alkalmazások bejövő áramlása jelentősen függ magának a QS állapotától. Példaként említhetjük azt a helyzetet, amikor egyes gépek az üzemi helyekről érkeznek a javítótelepre: jól látható, hogy minél több gép van javítási állapotban, annál kevesebbet használnak tovább, és annál kevésbé intenzív a munkavégzés. újonnan javításra érkező gépek áramlása. A zárt QS-t korlátozott számú kérésforrás jellemzi, és minden forrás „blokkolva van” a kérés kiszolgálása közben (azaz nem ad ki új kéréseket). Az ilyen rendszerekben, véges számú QS állapottal, korlátozó valószínűségek léteznek az alkalmazásfolyamatok és a szervizelés intenzitásának bármely értékére. Kiszámíthatók a halál és a szaporodás folyamatának újragondolásával.

A gyakorlatban meglehetősen gyakori az egycsatornás orvosi szolgáltatások sorban állása (betegeket kiszolgáló orvos; egy fülkés fizetős telefon; felhasználói rendeléseket teljesítő számítógép). A sorelméletben az egycsatornás, soros QS-ek is kiemelt helyet foglalnak el (a nem Markov rendszerekre eddig kapott analitikai képletek többsége ilyen QS-hez tartozik). Ezért kiemelt figyelmet fordítunk az egycsatornás, soros QS-re.

Legyen egy egycsatornás QS olyan sorral, amelyre nincs korlátozás (sem a sor hosszára, sem a várakozási időre). Ez a QS λ intenzitású kérések folyamát fogadja; a szolgáltatások áramlásának intenzitása μ, ami az átlagos kérés kiszolgálási idejének tob fordítottja. Meg kell találni a QS állapotok végső valószínűségét, valamint hatékonyságának jellemzőit:

Lsyst - az alkalmazások átlagos száma a rendszerben,

A Wsyst az átlagos idő, amikor egy kérés a rendszerben marad,

Loch - az alkalmazások átlagos száma a sorban,

Woch – az átlagos idő, ameddig egy alkalmazás sorban áll,

Az Rzan annak valószínűsége, hogy a csatorna foglalt (a csatorna terhelés mértéke).

Ami az abszolút A-t és a relatív Q-t illeti, ezeket nem kell kiszámítani: a sor korlátlansága miatt minden kérés előbb-utóbb kiszolgálásra kerül, ezért A = λ, ugyanezen okból Q = 1.

Megoldás. Mint korábban, a rendszer állapotait a QS-ben lévő alkalmazások száma szerint számozzuk:

S0 - a csatorna ingyenes,

S1 - a csatorna foglalt (kérést szolgál ki), nincs sor,

S2 - a csatorna foglalt, egy kérés van sorban,

Sk - csatorna foglalt, k - 1 alkalmazás van sorban.

Elméletileg az állapotok száma korlátlan (végtelen). Az állapotgráf alakja az ábrán látható. 4.11. Ez a halál és szaporodás rendszere, de végtelen számú állapottal. Az összes nyíl mentén a λ intenzitású kérések áramlása balról jobbra mozgatja a rendszert, és jobbról balra - a μ intenzitású szolgáltatások áramlását.

Rizs. 4.11. Egy QS állapotgráfja a halál és szaporodás sémájának formájában végtelen sok állapottal

Először is tegyük fel magunknak a kérdést, hogy ebben az esetben vannak-e végső valószínűségek? Hiszen a rendszer állapotainak száma végtelen, és elvileg t→∞-vel a sor korlátlanul növekedhet! Igen, ez így van: egy ilyen QS végső valószínűsége nem mindig létezik, de csak akkor, ha a rendszer nincs túlterhelve. Bebizonyítható, hogy ha p szigorúan kisebb egynél (p<1), то финальные вероятности существуют, а при р ≥ 1 очередь при t →∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при р = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При р = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы немного случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

De térjünk vissza az egycsatornás QS-hez, korlátlan sorban. Szigorúan véve a halál és szaporodás sémájában csak véges sok állapot esetén származtattuk le a végső valószínűségek képleteit, de végtelen sok állapotra fogjuk használni. Számítsuk ki az állapotok végső valószínűségét a (4.21), (4.20) képletekkel! Esetünkben a (4.21) képlet tagjainak száma végtelen lesz. Kapunk egy kifejezést p0-ra:

ahol

A p1, p2, ..., pk, ... valószínűségeket a következő képletekkel találjuk meg:

ahonnan (4.38) figyelembe véve végül megtaláljuk:

p 1 = ρ(1 - ρ), = ρ2(1- ρ), . . ., pk= ρ4(1- ρ), . . . (4,39)

Amint látható, a p0, p1, ..., pk, ... valószínűségek geometriai sorozatot alkotnak a p nevezővel. Furcsa módon ezek maximuma p0 annak a valószínűsége, hogy a csatorna teljesen szabad lesz. Nem számít, mennyire terhelt egy rendszer egy sorral, ha egyáltalán képes megbirkózni az alkalmazások áramlásával (p<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Nézzük meg az alkalmazások átlagos számát a QS Lrendszerben. A Z valószínűségi változó - az alkalmazások száma a rendszerben - lehetséges értékei 0, 1, 2, ..., k, ... p0, p1, p2, ..., pk, ... valószínűséggel A matematikai elvárása az

(az összeget nem 0-tól ∞-ig, hanem 1-től ∞-ig vesszük, mivel a nullatag egyenlő nullával).

Helyettesítsük be az рk (4.39) kifejezést a (4.40) képletbe:

Most vegyünk ki p (1 - p)-t az összegjelből:

Itt ismét alkalmazunk egy „kis trükköt”: a kpk-1 nem más, mint a pk kifejezés p-re vonatkozó deriváltja; Eszközök,

A differenciálás és az összegzés műveleteit megfordítva a következőket kapjuk:

Nos, most alkalmazzuk Little képletét (4,25), és megtudjuk, hogy egy kérés átlagosan mennyi ideig marad a rendszerben:

Nézzük meg az alkalmazások átlagos számát a sorban Loch. A következőképpen fogunk érvelni: a sorban lévő alkalmazások száma megegyezik a rendszerben lévő alkalmazások számával mínusz a szolgáltatás alatt lévő alkalmazások számával. Ez azt jelenti (a matematikai elvárások összeadásának szabálya szerint), hogy a Loch sorban lévő alkalmazások átlagos száma megegyezik az Lsyst rendszerben lévő alkalmazások átlagos számával, mínusz a szolgáltatás alatt lévő alkalmazások átlagos számával. A szolgáltatás alatt lévő kérések száma lehet nulla (ha a csatorna szabad) vagy egy (ha foglalt). Egy ilyen valószínűségi változó matematikai elvárása megegyezik annak valószínűségével, hogy a csatorna foglalt (Rzan-nak jelöltük). Nyilvánvaló, hogy a Pzan egyenlő eggyel mínusz a p0 valószínűsége, hogy a csatorna szabad:

és végül

Így a QS hatékonyságának minden jellemzője megtalálható.

Arra hívjuk az olvasót, hogy önállóan oldjon meg egy példát: az egycsatornás QS egy vasúti rendezőállomás, amely a legegyszerűbb, λ = 2 intenzitású (vonatok óránként) áramlását fogadja. A vonat karbantartása (felbontása) véletlenszerű (indikatív) ideig tart, átlagos érték tob = 20 (min.). Az állomás érkezési parkjában két vágány található, amelyeken az érkező vonatok várakozhatnak a szolgálatra; ha mindkét vágány foglalt, a vonatok kénytelenek a külső vágányokon várakozni. Meg kell találni (az állomás korlátozó, stacioner üzemmódjához): az állomáshoz tartozó Lsystem vonatok átlagos számát, a Wsystem átlagos állomáson való tartózkodási idejét (belső vágányokon, külső vágányokon és alatt szolgáltatás), a feloszlatásra sorban álló Lof vonatok átlagos száma (nem mindegy, hogy melyik vágányon), átlagosan mennyi ideig áll a vonat a sorban. Ezenkívül próbálja meg megkeresni a Lext külső vágányokon feloszlatásra váró vonatok átlagos számát és ennek a várakozásnak a Wext átlagos idejét (az utolsó két értéket Little képlete kapcsolja össze). Végül keresse meg a teljes napi Sh bírságot, amelyet az állomásnak kell fizetnie a külső vágányokon történő vonatleállásért, ha az állomás a (rubelt) bírságot fizet egy vonat egyórás leállásáért. Minden esetre közöljük a válaszokat: Lcist = 2 (vonat), Wsyst = i (óra), Loch = 4/3 (vonat), Woch = 2/3 (óra), Lext = 16/27 (vonat), Wext = 8 /27 ≈ 0,297 (óra). A külső vágányokon történő vonatvárakozás napi átlagos napi bírsága Ш az állomásra naponta érkező vonatok átlagos számának, a külső vágányokon való átlagos várakozási időnek és az а órabírságnak a szorzata: Ш ≈ 14,2а.