Egycsatornás smo korlátozott sorhosszúsággal. Sorozati rendszerek korlátlan sorral

A rendszer λ intenzitású Poisson-folyamatot kap, a szolgáltatásfolyam intenzitása μ, a sorban a maximális helyek száma T. Ha egy alkalmazás akkor lép be a rendszerbe, amikor a sorban lévő összes hely foglalt, akkor a rendszert kiszolgálatlanul hagyja.

Egy ilyen rendszer állapotának végső valószínűsége mindig fennáll, mivel az állapotok száma véges:

S 0 – a rendszer szabad és tétlen állapotban van;

S 1 – egy kérés kiszolgálása folyamatban van, a csatorna foglalt, nincs sor;

S 2 – egy alkalmazást kézbesítenek, egy sorban áll;

S m +1 - egy kérelmet kézbesítenek, T sorban.

Egy ilyen rendszer állapotgráfja az 5. ábrán látható:

S 0 S 1 S 2 S m+1

μ μ μ ………. μ μ

5. ábra: Egycsatornás QS korlátozott várakozási sorral.

A képletben R 0 Határozzuk meg egy geometriai progresszió véges számú tagjának összegét:

(52)

A ρ képletét figyelembe véve a következő kifejezést kapjuk:

Zárójelben egy geometriai sorozat (m+2) elemei szerepelnek, az első taggal 1 és a nevezővel ρ. A progresszió (m+2) tagjai összegének képletével:

(54)

(55)

A határállapotok valószínűségére vonatkozó képletek így néznek ki:

A szolgáltatás megtagadásának valószínűsége a kérést annak valószínűségeként definiáljuk, hogy amikor egy kérés érkezik a rendszerbe, a csatornája foglalt lesz, és a sorban lévő összes hely is foglalt lesz:

(57)

Ezért a szolgáltatás valószínűsége(és innen is hordozó sávszélesség) egyenlők az ellenkező esemény valószínűségével:

Abszolút áteresztőképesség– a rendszer által kiszolgált alkalmazások száma időegységenként:

(59)

A szolgáltatás alatt lévő alkalmazások átlagos száma:

(60)

(61)

Az alkalmazások átlagos száma a rendszerben:

(62)

A Mathcadben egy egycsatornás QS korlátozott várakozási sorral jöhet számításba.

Példa:

A parkoló 3 gépkocsit szolgál ki 0,5 áramlási sebességgel és átlagosan 2,5 perc szervizidővel. Határozza meg az összes rendszerjelzőt.

6 Többcsatornás smo korlátlan várakozási sorral

Legyen adott egy S rendszer, amelynek P szolgáltatási csatornák, amelyek a legegyszerűbb, λ intenzitású kéréseket fogadják. Legyen a szolgáltatásfolyam is a legegyszerűbb, és legyen μ intenzitású. A szolgáltatás sora korlátlan.

A rendszerben lévő alkalmazások számával jelöljük a rendszer állapotait: S 0 ,S 1 ,S 2 ,…,S k ,… S n , ahol S k – a rendszer állapota, amikor k kérés van benne (a szolgáltatás alatti kérések maximális száma n). Egy ilyen rendszer állapotgráfja diagramként látható a 6. ábrán:

λ λ λ λ λ λ λ

……. …….

S 0 S 1 S 2 S m+1 S n

μ 2μ 3μ ………. kμ (k+1)μ …… nμ nμ

6. ábra: Többcsatornás QS korlátlan várakozási sorral.

A szolgáltatási áramlás intenzitása a rendszer állapotától függően változik: kμ az S k állapotból való átmenetkor S k -1 állapotba, mivel k bármelyike csatornák; miután minden csatorna elfoglalt a szolgáltatással, a szolgáltatásfolyam intenzitása egyenlő marad pμ, a további kérelmek rendszerbe érkezésekor.

Az állapotok végső valószínűségének meghatározásához hasonló képleteket kapunk, mint az egycsatornás rendszereknél.

(63)

Ezért a végső valószínűségek képletei keresztül vannak kifejezve

Megtalálni R 0 az egyenletet kapjuk:

Az (n+ 2)-ediktől kezdődő, zárójelben lévő kifejezésekre alkalmazhatja a képletet egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének meghatározására az első taggal. és ρ/n nevező:

(66)

Végül megkapjuk az Erlang képletet a rendszerleállás valószínűségének meghatározásához:

(67)

Mutassunk be képleteket a rendszer teljesítményének főbb mutatóinak kiszámításához.

A rendszer megbirkózik az alkalmazások áramlásával, ha

feltétel teljesült

, (68)

ami azt jelenti, hogy a rendszerbe időegységenként beérkező kérelmek száma nem haladja meg a rendszer által ugyanabban az időben kiszolgált kérelmek számát. Ahol a szolgáltatás megtagadásának valószínűsége egyenlő nullával.

Innen szolgáltatási valószínűség(és még relatív áteresztőképesség rendszerek) egyenlők az ellentétes esemény valószínűségével, vagyis az egységgel:

(69)

Abszolútáteresztőképesség- a rendszer által kiszolgált alkalmazások száma időegységenként:

(70)

Ha a rendszer megbirkózik a kérések áramlásával, akkor álló módban kiáramlás intenzitása egyenlő a rendszerbe belépő alkalmazások áramlásának intenzitásával, mivel minden alkalmazás kiszolgált:

ν=λ . (71)

Mivel minden csatorna egységnyi idő alatt μ kérést szolgál ki, akkor a foglalt csatornák átlagos száma kiszámítható:

(72)

Átlagosidőszolgáltatás egy kérés csatornája ;

. (73)

Annak a valószínűsége, hogy egy alkalmazás a sorban lesz, amikor belép a rendszerbe, egyenlő annak a valószínűségével, hogy több mint P alkalmazások:

(74)

A kiszolgált alkalmazások száma egyenlő a foglalt csatornák számával:

(75)

A sorban álló alkalmazások átlagos száma:

(76)

Akkor átlagosszámalkalmazásokrendszerben:

(77)

Átlagos idő, ameddig egy alkalmazás a rendszerben marad (sorban):

(78)

(79)

A Mathcad rendszerben szóba jöhet egy többcsatornás QS korlátlan várakozási sorral.

1. példa:

A fodrászatban 5 fodrászat működik. Csúcsidőben az ügyfélforgalom intenzitása 6 fő. Egy órakor. Egy ügyfél kiszolgálása átlagosan 40 percig tart. Határozza meg a sor átlagos hosszát, feltételezve, hogy korlátlan.

Egy probléma megoldásának töredéke Mathcadben.

2. példa:

A vasúti jegypénztár 2 ablakos. Egy utas kiszolgálásának ideje 0,5 perc. Az utasok 3 fős csoportokban közelednek a jegypénztárhoz. Határozza meg a rendszer összes jellemzőjét.

Egy probléma megoldásának töredéke Mathcadben.

A probléma megoldásának folytatása Mathcadben.

Nézzünk most egy egycsatornás QS-t várakozással.

A sorban állási rendszer egycsatornás. A bejövő szolgáltatási kérelmek intenzitása λ. A szolgáltatásfolyam intenzitása μ (azaz átlagosan egy folyamatosan foglalt csatorna μ kiszolgált kérést ad ki). A szolgáltatás időtartama egy véletlen változó, amelyre az exponenciális eloszlási törvény vonatkozik. A csatorna foglalt állapotában kapott kérés sorban áll, és szolgáltatásra vár.

Fontolja meg a rendszert korlátozott sor. Tegyük fel, hogy akárhány kérés érkezik a kiszolgáló rendszer bemenetére, ez a rendszer (várólista + kiszolgált ügyfelek) nem tud többet befogadni, mint N-követelmények (pályázatok), amelyek közül egyet kiszolgálnak, és ( N-1) A várakozási időbe nem tartozó ügyfeleket máshol kell kiszolgálni, és az ilyen kérelmeket elveszik.

Jelöljük azt a valószínűséget, amelyet a rendszer tartalmaz n alkalmazások. Ezt az értéket a következő képlet számítja ki:

Itt van a csökkentett áramlási intenzitás. Ekkor annak a valószínűsége, hogy a szolgáltatási csatorna szabad, és nincs egyetlen kliens sem a rendszerben, egyenlő: .

Ezt figyelembe véve jelölhetjük

Határozzuk meg egy (N-1) egycsatornás, várakozással és korlátozott sorhosszúságú QS jellemzőit:

a kérelem kézbesítésének visszautasításának valószínűsége:

relatív rendszer átviteli sebesség:

abszolút áteresztőképesség:

A=q∙λ;

átlagos alkalmazások száma a rendszerben:

Átlagos idő, ameddig egy alkalmazás a rendszerben marad:

;

az ügyfél (jelentkezés) átlagos sorbanállási ideje:

W q=W s- 1/μ;

a sorban lévő alkalmazások (kliensek) átlagos száma (sorhossz):

Lq=λ(1- P N)W q.

Nézzünk egy példát egy egycsatornás QS-re várakozással.

Példa 9.2. A személygépkocsik az ellenőrzési ponton elektronikus sorrendszer segítségével lépnek be a vámellenőrzési zónába. Minden érkezési/indulási ablak egycsatornás QS. A regisztrációra váró autók parkolóinak száma korlátozott és 3, azaz ( N-1)=3. Ha minden parkoló foglalt, azaz már három autó áll a sorban, akkor a következő autót nem engedik be a vámellenőrzési zónába, pl. Nincs sorban állás a szolgáltatásért. A regisztrációra érkező autók áramlása intenzív λ =0,85 (járművek óránként). Az autó regisztrációs ideje exponenciális törvény szerint oszlik meg, és átlagosan = 1,05 óra. Álló üzemmódban működő ellenőrzőponton meg kell határozni az érkezés/indulás regisztrációs ablak valószínűségi jellemzőit.

Megoldás.

A jármű szervizáramlásának intenzitása:

.

A forgalom csökkentett intenzitását a λ és μ intenzitások arányaként határozzuk meg, azaz.

.

Számítsuk ki a megtalálás valószínűségét P alkalmazások a rendszerben:

;

P 1 =ρ∙ P 0 =0,893∙0,248=0,221;

P 2 =ρ 2 ∙ P 0 =0,893 2 ∙0,248=0,198;

P 3 =ρ 3 ∙ P 0 =0,893 3 ∙0,248=0,177;

P 4 =ρ 4 ∙ P 0 =0,893 4 ∙0,248=0,158.

Az autószerviz meghibásodásának valószínűsége:

P nyitva=R 4 = ρ 4 ∙ P 0 ≈0,158.

A tervezési ablak relatív sávszélessége:

q=1–P nyitva=1-0,158=0,842.

A tervezési ablak abszolút teljesítménye

A=λ∙ q=0,85∙0,842=0,716 (járművek óránként).

A szervizelt és sorban álló (vagyis a sorban állási rendszerben) autók átlagos száma:

.

Egy autó átlagosan a rendszerben marad:

órák.

Átlagos időtartam, ameddig egy kérés a szolgáltatás sorban áll:

W q=W s-1/μ=2,473-1/0,952=1,423 óra.

A sorban lévő alkalmazások átlagos száma (a sor hossza):

L q =λ∙(1-P N)∙W q = 0,85∙(1-0,158)∙1,423=1,02.

A vizsgált regisztrációs ablak teljesítménye kielégítőnek mondható, mivel átlagosan az esetek 15,8%-a nincs szervizelve ( R nyitott=0,158).

Szövetségi ügynökség az Orosz Föderáció oktatásáról

FGOU SPO "Perevozsky Építőipari Főiskola"

Tanfolyami munka

a "matematikai módszerek" tudományágban

a „SMO with korlátozott idő elvárások. Zárt QS"

Bevezetés................................................. ...................................................... ........................ 2

1. A sorozás elméletének alapjai................................................ ................................ 3

1.1 A véletlenszerű folyamat fogalma................................................ ...................................... 3

1.2 Markov véletlenszerű folyamat................................................ ...................... 4

1.3 Eseményfolyamok................................................ .............................................................. ................. 6

1.4 Kolmogorov-egyenletek állapotvalószínűségekre. Végső állapot valószínűsége................................................ ............................................................ .............................. 9

1.5 A sorelméleti problémák................................................ ...... .. 13

1.6 A sorban állási rendszerek osztályozása................................................ ..... 15

2. Várólista rendszerek várakozással................................................ ........ 16

2.1 Egycsatornás QS várakozással................................................ ...................... 16

2.2 Többcsatornás QS várakozással................................................ ......... ......... 25

3. Zárt QS................................................ ...................................................... ... 37

A probléma megoldása................................................ ................................................... 45

Következtetés................................................. .................................................. ...... 50

Bibliográfia................................................................ ...................................... 51

Ebben a kurzusban a különböző queuing rendszereket (QS) és sorozó hálózatokat (Queuing) tekintjük meg.

A sorban állási rendszer (QS) egy dinamikus rendszer, amelyet arra terveztek, hogy hatékonyan szolgálja ki a kérések (szolgáltatási követelmények) áramlását a rendszererőforrások korlátozása mellett.

A QS-modellek kényelmesek a modern számítástechnikai rendszerek egyes alrendszereinek leírására, mint például a processzor alrendszer - fő memória, bemeneti-kimeneti csatorna stb. A számítási rendszer egésze összekapcsolt alrendszerek halmaza, amelyek kölcsönhatása valószínűségi. A számítástechnikai rendszerbe belépve egy bizonyos probléma megoldására szolgáló alkalmazás a számlálás, a külső tárolóeszközök és a bemeneti-kimeneti eszközök elérésének szakaszain megy keresztül. Az ilyen szakaszok bizonyos sorozatának teljesítése után, amelyek száma és időtartama a program összetettségétől függ, a kérés kiszolgáltnak minősül, és elhagyja a számítógépes rendszert. Így a számítási rendszer egésze egy QS-készlettel reprezentálható, amelyek mindegyike egy egyedi eszköz vagy a rendszer részét képező hasonló eszközök csoportja működési folyamatát tükrözi.

Az összekapcsolt QS-ek halmazát sorbanállási hálózatnak (sztochasztikus hálózat) nevezzük.

Kezdésként a QS elméletének alapjait tekintjük át, majd részletesebben megismerkedünk az elvárt és zárt QS-sel. A tanfolyam gyakorlati részt is tartalmaz, melyben részletesen megtanuljuk az elmélet gyakorlati alkalmazását.

A sorelmélet a valószínűségszámítás egyik ága. Ez az elmélet úgy véli valószínűségi problémák és matematikai modellek (ezelőtt determinisztikus matematikai modelleket tekintettünk). Hadd emlékeztessük, hogy:

Determinisztikus matematikai modell egy objektum (rendszer, folyamat) viselkedését tükrözi szemszögből teljes bizonyosság a jelenben és a jövőben.

Valószínűségi matematikai modell figyelembe veszi a véletlenszerű tényezők hatását egy objektum (rendszer, folyamat) viselkedésére, és ezért bizonyos események valószínűsége szempontjából értékeli a jövőt.

Azok. itt, mint például a játékelméleti problémákkal foglalkozunk körülmények között bizonytalanság .

Nézzünk először néhány olyan fogalmat, amelyek a „sztochasztikus bizonytalanságot” jellemzik, amikor a feladatban szereplő bizonytalan tényezők olyan valószínűségi változók (vagy véletlenfüggvények), amelyek valószínűségi jellemzői vagy ismertek, vagy tapasztalatból nyerhetők. Az ilyen bizonytalanságot „kedvezőnek”, „jóindulatúnak” is nevezik.

Szigorúan véve a véletlenszerű zavarok minden folyamat velejárói. Könnyebb példákat hozni egy véletlenszerű folyamatra, mint egy „nem véletlenszerű” folyamatra. Még például az óra működtetésének folyamata is (úgy tűnik, hogy ez egy szigorúan kalibrált munka - „úgy működik, mint egy óra”) véletlenszerű változásoknak van kitéve (előrelépés, lemaradás, megállás). De amíg ezek a zavarok jelentéktelenek és csekély hatással vannak a számunkra érdekes paraméterekre, elhanyagolhatjuk őket, és a folyamatot determinisztikusnak, nem véletlenszerűnek tekinthetjük.

Legyen valami rendszer S (műszaki eszköz, ilyen eszközök csoportja, technológiai rendszer - gép, telephely, műhely, vállalkozás, iparág stb.). Rendszerben S szivárog véletlenszerű folyamat, ha idővel megváltoztatja állapotát (egyik állapotból a másikba megy), ráadásul korábban ismeretlen véletlenszerűen.

Példák:

1. Rendszer S– technológiai rendszer (géprész). A gépek időről időre elromlanak és javítják. Ebben a rendszerben a folyamat véletlenszerű.

2. Rendszer S- egy légi jármű, amely adott magasságban, meghatározott útvonalon repül. Zavaró tényezők - időjárási viszonyok, személyzeti hibák stb., következmények - zökkenőmentesség, repülési menetrend megsértése stb.

A rendszerben előforduló véletlenszerű folyamatot ún Markovszkij, ha egy pillanatra t A folyamat 0 valószínűségi jellemzői a jövőben csak az állapotától függenek Ebben a pillanatban t 0, és nem függ attól, hogy a rendszer mikor és hogyan érte el ezt az állapotot.

Legyen a rendszer egy bizonyos állapotban t 0 pillanatban S 0 . Ismerjük a rendszer jelenlegi állapotának jellemzőit és mindazt, ami közben történt t <t 0 (folyamatelőzmények). Meg tudjuk-e jósolni (jósolni) a jövőt, i.e. mi lesz mikor t >t 0 ? Nem pontosan, de a folyamat néhány valószínűségi jellemzője megtalálható a jövőben. Például annak a valószínűsége, hogy egy idő után a rendszer S képes lesz S 1 vagy állapotában marad S 0 stb.

Példa. Rendszer S- légi harcban részt vevő repülőgépek csoportja. Hadd x– „piros” repülőgépek száma, y– a „kék” repülőgépek száma. Mire t 0 túlélő (nem lelőtt) repülőgép, ill. x 0 , y 0 . Arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy adott pillanatban a számbeli fölény a „vörösök” oldalán lesz. Ez a valószínűség attól függ, hogy a rendszer akkor milyen állapotban volt t 0, és nem arról, hogy a lelőttek mikor és milyen sorrendben haltak meg egészen a pillanatig t 0 repülőgép.

A gyakorlatban a Markov-folyamatokkal tiszta formában általában nem találkozunk. De vannak folyamatok, amelyeknél az „őstörténet” befolyása elhanyagolható. Az ilyen folyamatok tanulmányozásakor pedig Markov-modellek használhatók (a sorbanállási elmélet nem veszi figyelembe a Markov-sorozórendszereket, de az ezeket leíró matematikai apparátus sokkal összetettebb).

Az operációkutatásban nagy jelentőséggel bírnak a diszkrét állapotú és folytonos idejű Markov véletlenszerű folyamatok.

A folyamat az ún diszkrét állapotfolyamat, ha lehetséges S 1 , S 2, ... előre meghatározható, és a rendszer állapotból állapotba való átmenete „ugrásszerűen”, szinte azonnal megtörténik.

A folyamat az ún folyamatos időbeli folyamat, ha az állapotból állapotba való lehetséges átmenetek pillanatai nem előre rögzítettek, hanem bizonytalanok, véletlenszerűek és bármelyik pillanatban bekövetkezhetnek.

Példa. Technológiai rendszer (szakasz) S két gépből áll, amelyek mindegyike egy véletlenszerű pillanatban meghibásodhat (meghibásodhat), ezután azonnal megkezdődik az egység javítása, amely szintén ismeretlen, véletlenszerű ideig folytatódik. A következő rendszerállapotok lehetségesek:

S 0 - mindkét gép működik;

S 1 - az első gépet javítják, a második működik;

S 2 - a második gépet javítják, az első működik;

S 3 - mindkét gép javítás alatt áll.

Rendszerátmenetek Sállapotról állapotra szinte azonnal bekövetkezik, véletlenszerű pillanatokban, amikor egy adott gép meghibásodik vagy a javítás befejeződik.

A diszkrét állapotú véletlenszerű folyamatok elemzésekor célszerű egy geometriai sémát használni - állapotgráf. A gráf csúcsai a rendszer állapotai. A gráf ívei lehetséges átmenetek állapotról állapotra. Példánkban az állapotgráf az ábrán látható. 1.

Rizs. 1. Rendszerállapot grafikon

Jegyzet. Átmenet az állapotból S 0 hüvelyk S 3 nincs feltüntetve az ábrán, mert feltételezzük, hogy a gépek egymástól függetlenül meghibásodnak. Elhanyagoljuk a két gép egyidejű meghibásodásának lehetőségét.

Eseményfolyam– véletlenszerű pillanatokban egymást követő homogén események sorozata.

Az előző példában ez a hibák és a helyreállítások folyamata. További példák: a hívások áramlása a telefonközpontban, a vásárlók áramlása az üzletben stb.

Az események áramlása vizuálisan ábrázolható az időtengelyen lévő pontok sorozatával O t- rizs. 2.

Rizs. 2. Az események áramlásának képe az időtengelyen

Az egyes pontok helyzete véletlenszerű, és itt az áramlásnak csak egy megvalósítása látható.

Az eseményfolyam intenzitása ( ) az időegységenkénti események átlagos száma.

Nézzük meg az eseményfolyamok néhány tulajdonságát (típusát).

Az eseményfolyam ún helyhez kötött, ha valószínűségi jellemzői nem függnek az időtől.

Különösen az álló áramlás intenzitása állandó. Az események áramlásában elkerülhetetlenül vannak kondenzálódások vagy megritkulások, de ezek nem szabályos jellegűek, és az időegységre jutó események átlagos száma állandó és nem függ az időtől.

Az eseményfolyam ún áramlás következmények nélkül, ha bármely két nem átfedő időszakaszra és (lásd 2. ábra) az egyikre eső események száma nem függ attól, hogy hány esemény esik a másikra. Más szóval ez azt jelenti, hogy az áramlást alkotó események bizonyos időpontokban megjelennek egymástól függetlenülés mindegyiket a saját okai okozzák.

Az eseményfolyam ún rendes, ha az események egyenként jelennek meg benne, és nem egyszerre több csoportban.

Az eseményfolyam ún legegyszerűbb (vagy álló Poisson), ha három tulajdonsága van egyszerre:

1) álló;

2) közönséges;

3) nincs következménye.

A legegyszerűbb folyamatnak van a legegyszerűbb matematikai leírása. Ugyanazt a speciális szerepet játszik az áramlások között, mint a normál eloszlás törvénye a többi eloszlási törvény között. Ugyanis kellően nagy számú független, álló és közönséges (intenzitásukban összehasonlítható) áramlás egymásra helyezésekor a legegyszerűbbhez közeli áramlást kapunk.

A legegyszerűbb áramláshoz intenzitásintervallumtal T szomszédos események között van egy ún exponenciális eloszlás sűrűséggel:

ahol az exponenciális törvény paramétere.

Valószínűségi változóhoz T, amelynek exponenciális eloszlása ​​van, a matematikai elvárás a paraméter reciproka, a szórás pedig megegyezik a matematikai elvárással:

Figyelembe véve a diszkrét állapotú és folytonos idejű Markov-folyamatokat, feltételezzük, hogy a rendszer összes átmenete Sállapotról állapotra egyszerű eseményfolyamatok (hívásfolyamatok, hibafolyamatok, helyreállítási folyamatok stb.) hatására fordulnak elő. Ha minden eseményfolyam átadja a rendszert Sállapotból a legegyszerűbb állapotba, akkor a rendszerben lezajló folyamat markovi lesz.

Tehát egy állapotú rendszert az események egyszerű folyamata befolyásol. Amint ennek az áramlásnak az első eseménye megjelenik, a rendszer állapotról állapotra „ugrik” (az állapotgrafikonon a nyíl mentén).

Az érthetőség kedvéért a rendszerállapot-grafikonon minden egyes ívnél megjelenik a rendszert ezen az íven (nyíl) mozgató eseményfolyam intenzitása. - az események áramlásának intenzitása, amely átviszi a rendszert állapotból . Az ilyen gráfot ún megjelölt. Példánkban a címkézett grafikon az ábrán látható. 3.

Rizs. 3. Felcímkézett rendszerállapot-gráf

Ezen az ábrán - a hiba áramlásának intenzitása; - a helyreállítási áramlás intenzitása.

Feltételezzük, hogy a gép javításának átlagos ideje nem függ attól, hogy az egyik gépet vagy mindkettőt egyszerre javítják. Azok. Minden gépet külön szakember javít.

Legyen a rendszer olyan állapotban S 0 . Állapotban S Az 1. ábrán az első gép meghibásodásának folyamata fordítja le. Az intenzitása:

ahol az első gép átlagos hibamentes működési ideje.

Az államtól S 1 hüvelyk S 0 a rendszert az első gép „javítási befejezésének” folyamata adja át. Az intenzitása:

hol van az első gép átlagos javítási ideje.

A rendszert a grafikon minden íve mentén átvivő eseményfolyamok intenzitását hasonló módon számítjuk ki. Rendelkezésünkre áll a rendszerállapotok címkézett gráfja, megszerkesztjük matematikai modell ennek a folyamatnak.

Legyen a vizsgált rendszer S-lehetséges állapotai vannak. Az állapot valószínűsége annak a valószínűsége, hogy az adott pillanatban a rendszer abban az állapotban lesz. Nyilvánvaló, hogy bármely időpillanatban az állapotok összes valószínűségének összege eggyel egyenlő:

Az állapotok összes valószínűségének az idő függvényében történő megtalálásához állítsa össze és oldja meg Kolmogorov-egyenletek– egy speciális egyenlettípus, amelyben az ismeretlen függvények az állapotok valószínűségei. Az egyenletek összeállításának szabályát itt bizonyítás nélkül adjuk meg. De mielőtt bemutatnánk, magyarázzuk el a fogalmat állapot végső valószínűsége .

Mi lesz az állapotvalószínűségekkel? Törekedni fognak valamilyen korlátra? Ha ezek a határértékek léteznek, és nem függenek a rendszer kezdeti állapotától, akkor ezek meghívásra kerülnek végső állapotvalószínűség .

ahol véges számú rendszerállapot.

Végső állapot valószínűségek– ezek már nem változó mennyiségek (az idő függvényei), hanem állandó számok. Nyilvánvaló, hogy:

Végső állapot valószínűsége lényegében az az átlagos relatív idő, amíg a rendszer ebben az állapotban marad.

Például a rendszer S három állama van S 1 , S 2 és S 3. Végső valószínűségük rendre 0,2; 0,3 és 0,5. Ez azt jelenti, hogy egy korlátozó stacionárius állapotban lévő rendszer ideje átlagosan 2/10-ét tölti az állapotban S 1, 3/10 – képes S 2 és 5/10 – képes S 3 .

A Kolmogorov-egyenletrendszer összeállításának szabálya: a rendszer minden egyenletében a bal oldalon egy adott állapot végső valószínűsége, megszorozva az összes áramlás teljes intenzitásával, ebből az állapotból vezető, A a jobbján alkatrészek– az összes áramlás intenzitásának szorzatának összege, tartalmazza -adik állam, azon állapotok valószínűségéről, amelyekből ezek az áramlások származnak.

Ezt a szabályt felhasználva egyenletrendszert írunk fel példánkra :

.

Ez a négy egyenletrendszer négy ismeretlennel, úgy tűnik, teljesen megoldható. De ezek az egyenletek homogének (nincs szabad tagjuk), ezért csak egy tetszőleges tényezőig határozzák meg az ismeretleneket. Használhatja azonban a normalizálási feltételt: és ezzel oldja meg a rendszert. Ebben az esetben az egyenletek egyike (bármelyik) elvethető (a többi következményeként következik).

A példa folytatása. Legyen az áramlási intenzitás egyenlő: .

Eldobjuk a negyedik egyenletet, és helyette egy normalizálási feltételt adunk hozzá:

.

Azok. korlátozó, álló üzemmódban a rendszer Sátlagosan az idő 40%-át olyan állapotban töltik S 0 (mindkét gép üzemképes), 20% - jó állapotban S 1 (az első gép javítás alatt áll, a második működik), 27% - állapotban S 2 (a második gép javítás alatt áll, az első működik), 13% - állapotban S 3 (mindkét gép javítás alatt áll). Ezen végső valószínűségek ismerete segíthet megbecsülni a rendszer átlagos hatékonyságát és a javító szervek munkaterhelését.

Hagyja a rendszert S képes S 0 (teljesen működőképes) 8 konvencionális egységnyi bevételt hoz időegységenként, képes S 1 – jövedelem 3 konvencionális egység, képes S 2 – jövedelem 5 konvencionális egység, képes S 3 – nem termel bevételt. Ekkor a korlátozó, stacionárius üzemmódban az időegységre jutó átlagos jövedelem egyenlő lesz: konvencionális egységekkel.

Az 1. gépet az idő töredéke alatt javítják meg: . A 2. gépet az idő töredéke alatt javítják meg: . Felmerül optimalizálási probléma. Annak ellenére, hogy csökkenthetjük az első vagy a második gép (vagy mindkettő) átlagos javítási idejét, ez bizonyos összegbe fog kerülni. A kérdés az, hogy megéri-e a gyorsabb javítással járó bevételnövekedés. megnövekedett költségek javításra? Meg kell oldanod egy négy egyenletrendszert négy ismeretlennel.

Példák sorbanállási rendszerekre (QS): telefonközpontok, javítóműhelyek, jegyirodák, információs pultok, gépműhelyek és egyebek technológiai rendszerek, vezérlőrendszerek rugalmas gyártási rendszerekhez stb.

Minden QS bizonyos számú szolgáltatási egységből áll, amelyeket hívnak szolgáltatási csatornák(ezek gépek, szállítókocsik, robotok, kommunikációs vonalak, pénztárosok, eladók stb.). Minden QS úgy van kialakítva, hogy valamilyen alkalmazások áramlását(követelmények), amelyek bizonyos véletlenszerű pillanatokban érkeznek.

A kérés szolgáltatása néhány, általában véve véletlenszerű ideig folytatódik, majd a csatorna felszabadul, és készen áll a következő kérés fogadására. A kérések áramlásának és a szolgáltatási időnek a véletlenszerű jellege ahhoz a tényhez vezet, hogy bizonyos időszakokban a QS bemenetén túlzottan felhalmozódik nagyszámú alkalmazások (vagy sorba állnak, vagy kiszolgálatlanul hagyják a QS-t). Más időszakokban a rendszer alulterheléssel vagy teljesen üresjáratban működik.

A QS működési folyamat egy véletlenszerű folyamat diszkrét állapotokkal és folyamatos idővel. A QS állapota hirtelen megváltozik, amikor bizonyos események bekövetkeznek (új alkalmazás érkezése, szolgáltatás vége, az a pillanat, amikor egy várakozást megunt alkalmazás kilép a sorból).

Sorozatelmélet tárgya– olyan matematikai modellek felépítése, amelyek a QS adott működési feltételeit (csatornák száma, termelékenységük, működési szabályok, kérések áramlásának jellege) összekapcsolják a minket érdeklő jellemzőkkel - a QS hatékonyságának mutatói. Ezek a mutatók azt írják le, hogy a közös piacszervezés mennyire képes megbirkózni az alkalmazások áramlásával. Ezek lehetnek: a QS által kiszolgált alkalmazások átlagos száma időegységenként; a foglalt csatornák átlagos száma; a sorban álló kérelmek átlagos száma; átlagos várakozási idő a szolgáltatásra stb.

Matematikai elemzés A QS munkáját nagyban megkönnyíti, ha ennek a munkának a folyamata markovi, azaz. a rendszert állapotról állapotra átvivő eseményfolyamok a legegyszerűbbek. Ellenkező esetben a folyamat matematikai leírása nagyon bonyolulttá válik, és ritkán lehetséges konkrét analitikai függőségekre hozni. A gyakorlatban a nem-Markov-folyamatokat közelítéssel Markov-folyamatokra redukálják. A következő matematikai apparátus a Markov-folyamatokat írja le.

Első felosztás (a sorok megléte alapján):

1. QS hibákkal;

2. Sorba állítás sorral.

A QS-ben kudarcokkal egy olyan jelentkezést, amely akkor érkezik, amikor minden csatorna foglalt, a rendszer elutasítja, elhagyja a QS-t, és a jövőben nem szolgálja ki.

SMO-ban sorral egy olyan alkalmazás, amely akkor érkezik, amikor minden csatorna foglalt, nem távozik, hanem sorba kerül, és várja a kiszolgálás lehetőségét.

A sorokkal rendelkező QS-ek fel vannak osztva tovább különböző típusok a sor felépítésétől függően - korlátozott vagy korlátlan. A korlátozások vonatkozhatnak mind a sor hosszára, mind a várakozási időre, a „szolgálati fegyelemre”.

Tehát például a következő QS-ket tekintjük:

· CMO türelmetlen kérésekkel (a sor hossza és a szolgáltatási idő korlátozott);

· QS elsőbbségi szolgáltatással, pl. egyes kérelmeket soron kívül dolgoznak fel stb.

Ezenkívül a QS-eket nyitott QS-ekre és zárt QS-ekre osztják.

Nyílt QS-ben az alkalmazások áramlásának jellemzői nem magának a QS-nek az állapotától (hány csatorna foglalt). Zárt QS-ben– függ. Például, ha egy dolgozó olyan gépcsoportot lát el, amely időnként beállításra szorul, akkor a gépekből érkező „igények” intenzitása attól függ, hogy közülük hány üzemel és még beállításra vár.

Az SMO besorolása messze nem korlátozódik a fenti fajtákra, de ez elég.

Tekintsük a legegyszerűbb QS-t várakozással - egy egycsatornás rendszert (n - 1), amely intenzitással fogadja a kérések áramlását; a szolgáltatás intenzitása (azaz átlagosan egy folyamatosan foglalt csatorna egységnyi (idő) alatt ad ki kiszolgált kéréseket. A csatorna foglalt időpontjában érkezett kérés sorba kerül és szolgáltatásra vár.

Korlátozott sorhosszú rendszer. Először tegyük fel, hogy a sorban lévő helyek számát az m szám korlátozza, azaz. Ha egy alkalmazás olyan időpontban érkezik, amikor már vannak m-alkalmazások a sorban, akkor kiszolgálatlanul hagyja a rendszert. A jövőben m-t a végtelenbe irányítva megkapjuk az egycsatornás QS jellemzőit a sorhossz korlátozása nélkül.

A QS állapotait a rendszerben lévő alkalmazások (kiszolgált és szolgáltatásra váró) száma szerint sorszámozzuk:

A csatorna ingyenes;

A csatorna foglalt, nincs sor;

A csatorna foglalt, egy kérés van a sorban;

A csatorna foglalt, k-1 alkalmazás van sorban;

A csatorna foglalt, az alkalmazások sorban állnak.

A GSP az ábrán látható. 4. A rendszerbe balról jobbra mutató nyilak mentén mozgó eseményfolyamok összes intenzitása egyenlő , jobbról balra pedig - . Valójában az alkalmazások áramlása a nyilak mentén mozgatja a rendszert balról jobbra (amint egy alkalmazás érkezik, a rendszer következő állapot), jobbról balra - egy foglalt csatorna „kiadásainak” áramlása, amelynek intenzitása van (amint a következő kérést kiszolgálják, a csatorna vagy felszabadul, vagy a sorban lévő kérések száma csökken).

Rizs. 4. Egycsatornás QS várakozással

ábrán látható. A 4. ábra a szaporodás és a halál diagramja. Írjunk kifejezéseket az állapotok korlátozó valószínűségére:

(5)

vagy használja: :

(6)

A (6) utolsó sora egy geometriai progressziót tartalmaz az 1 első taggal és a p nevezővel, amelyből kapjuk:

(7)

amellyel kapcsolatban a korlátozó valószínűségek a következő formát öltik:

(8).

A (7) kifejezés csak erre érvényes< 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m+2, и в этом случае:

Határozzuk meg a QS jellemzőit: meghibásodás valószínűsége, relatív átviteli sebesség q, abszolút áteresztőképesség A, átlagos sorhossz, a rendszerhez tartozó alkalmazások átlagos száma, átlagos várakozási idő a sorban, átlagos idő, amit egy alkalmazás a QS-ben tölt. .

A kudarc valószínűsége. Nyilvánvalóan csak akkor utasítják el a kérelmet, ha a csatorna foglalt, és a sorban lévő összes t-hely is foglalt:

(9).

Relatív sávszélesség:

(10).

Átlagos sorhossz. Határozzuk meg a sorban lévő alkalmazások átlagos számát egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárásaként, R-számú alkalmazások a sorban:

Valószínűséggel egy alkalmazás van a sorban, valószínűséggel két alkalmazás, általában valószínűséggel k-1 alkalmazás van a sorban stb., ahonnan:

(11).

Mivel a (11)-ben szereplő összeg a geometriai haladás összegének deriváltjaként értelmezhető:

Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük (11)-be, és a (8)-ból használjuk, végül megkapjuk:

(12).

Az alkalmazások átlagos száma a rendszerben. Ezután képletet kapunk a rendszerhez kapcsolódó kérések átlagos számához (mind a sorban állás, mind a szervizelés alatt). Mivel hol van a szolgáltatás alatt lévő alkalmazások átlagos száma, és k ismert, még meg kell határozni . Mivel csak egy csatorna van, a kiszolgált kérések száma lehet 0 (valószínűséggel ) vagy 1 (valószínűséggel 1 - ), ahonnan:

.

és a QS-hez kapcsolódó alkalmazások átlagos száma:

(13).

Átlagos várakozási idő a sorban lévő alkalmazásra. Jelöljük ; ha egy kérés egy adott időpontban érkezik a rendszerbe, akkor nagy valószínűséggel a szolgáltatási csatorna nem lesz foglalt, és nem kell sorban állnia (a várakozási idő nulla). Valószínűleg egy kérés kiszolgálása közben kerül be a rendszerbe, de nem lesz előtte sor, és a kérés egy ideig (a kiszolgálás átlagos időtartama) vár a kiszolgálás megkezdésére. kérés). Valószínűsíthető, hogy a vizsgált pályázat előtt még egy alkalmazás lesz a sorban, és az átlagos várakozási idő egyenlő lesz stb.

Ha k=m+1, azaz amikor egy újonnan érkező kérés foglaltnak találja a szolgáltatási csatornát és m-kérések a sorban (ennek valószínűsége), akkor ebben az esetben a kérés nem áll sorba (és nem is kerül kiszolgálásra), így a várakozási idő nulla. Az átlagos várakozási idő a következő lesz:

ha itt a (8) valószínűségeket kifejezésekkel helyettesítjük, a következőket kapjuk:

(14).

Itt a (11), (12) (geometriai progresszió származéka), valamint (8) összefüggéseket használjuk. Ezt a kifejezést (12) összehasonlítva megjegyezzük, hogy más szóval az átlagos várakozási idő egyenlő a sorban lévő alkalmazások átlagos számával, osztva az alkalmazásfolyam intenzitásával.

(15).

Egy alkalmazás átlagosan a rendszerben maradási ideje. Jelöljük egy valószínűségi változó matematikai elvárását a kérés QS-ben való tartózkodási idejével, amely az átlagos várakozási idő és az átlagos kiszolgálási idő összege. Ha a rendszer terhelése 100%, akkor természetesen:

.

1. példa A benzinkút (benzinkút) egy szervizcsatornával (egy szivattyúval) rendelkező töltőállomás.

Az állomás területén legfeljebb három autó állhat egyidejűleg tankolási sorban (m = 3). Ha már három kocsi áll a sorban, a következő állomásra érkező kocsi nem áll be a sorba. A tankolásra érkező autók áramlásának intenzitása = 1 (autó percenként). A tankolási folyamat átlagosan 1,25 percig tart.

Határozza meg:

a meghibásodás valószínűsége;

a benzinkutak relatív és abszolút kapacitása;

a tankolásra váró autók átlagos száma;

átlagos autók száma egy benzinkúton (beleértve a szervizelteket is);

átlagos várakozási idő egy sorban álló autóra;

átlagos idő, amit egy autó benzinkúton tölt (beleértve a szervizt is).

Más szavakkal, az átlagos várakozási idő egyenlő a sorban lévő alkalmazások átlagos számával, osztva az alkalmazásfolyam intenzitásával.

Először megtaláljuk az alkalmazások áramlásának csökkentett intenzitását: =1/1,25=0,8; =1/0,8=1,25.

A (8) képlet szerint:

A meghibásodás valószínűsége 0,297.

A QS relatív kapacitása: q=1-=0,703.

A QS abszolút teljesítménye: A==0,703 autó percenként.

A (12) képlet segítségével megtaláljuk a sorban álló autók átlagos számát:

azok. Átlagosan 1,56 autó vár a benzinkút megtöltésére.

Ehhez az értékhez hozzáadva a szervizben lévő járművek átlagos számát:

egy benzinkúthoz tartozó autók átlagos számát kapjuk.

Átlagos várakozási idő egy sorban álló autóra a (15) képlet szerint:

Ezt az értéket hozzáadva megkapjuk azt az átlagos időt, amit egy autó benzinkúton tölt:

Rendszerek korlátlan várakozással. Az ilyen rendszerekben m értéke nincs korlátozva, ezért a fő jellemzők a korábban kapott (5), (6) stb. kifejezésekben a határértékre való átlépéssel érhetők el.

Figyeljük meg, hogy a nevező az utolsó képletben (6) a geometriai progresszió végtelen számú tagjának összege. Ez az összeg akkor konvergál, ha a progresszió végtelenül csökken, azaz. nál nél<1.

Ez bizonyítható<1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.

Ha, akkor a (8) relációk a következőképpen alakulnak:

(16).

Ha nincs korlátozás a sor hosszára vonatkozóan, akkor minden rendszerbe érkező alkalmazás ki lesz szolgáltatva, ezért q=1, .

A sorban lévő alkalmazások átlagos számát a (12) címből kapjuk meg:

Az alkalmazások átlagos száma a rendszerben a (13) képlet szerint:

.

Az átlagos várakozási idő a (14) képletből adódik, így:

.

Végül, egy alkalmazás átlagosan a QS-ben marad:

Korlátozott sorhosszú rendszer. Tekintsünk egy QS csatornát várakozással, amely intenzitással fogadja a kérések áramlását; szolgáltatás intenzitása (egy csatornára); helyek száma a sorban.

A rendszerállapotok a rendszerhez tartozó kérések száma szerint vannak számozva:

nincs sor:

Minden csatorna ingyenes;

Egy csatorna foglalt, a többi szabad;

-a csatornák foglaltak, a többi nem;

Minden csatorna foglalt, nincs szabad csatorna;

van egy sor:

Minden n-csatorna foglalt; egy alkalmazás van a sorban;

A sorban lévő összes n-csatorna, r-kérés foglalt;

A sorban lévő összes n-csatorna, r-kérés foglalt.

ábrán látható a GSP. 17. Minden nyíl az eseményfolyamok megfelelő intenzitásával van megjelölve. A balról jobbra mutató nyilak mentén a rendszert mindig ugyanaz a kérésfolyam továbbítja, intenzitással

Rizs. 17. Többcsatornás QS várakozással

A grafikon a szaporodási és halálozási folyamatokra jellemző, amelyekre a megoldást korábban megkaptuk. Írjunk kifejezéseket az állapotok korlátozó valószínűségére a következő jelöléssel: (itt nevezővel rendelkező geometriai haladás összegére használjuk a kifejezést).

Így az összes állapotvalószínűséget megtaláltuk.

Határozzuk meg a rendszer teljesítményjellemzőit.

A kudarc valószínűsége. Egy bejövő kérés elutasításra kerül, ha a sorban az összes n-csatorna és minden m-hely foglalt:

(18)

A relatív áteresztőképesség kiegészíti a meghibásodás valószínűségét eggyel:

A QS abszolút teljesítménye:

(19)

A foglalt csatornák átlagos száma. Az elutasított QS esetében ez egybeesett a rendszerben szereplő kérelmek átlagos számával. A várakozási sorral rendelkező QS esetében a foglalt csatornák átlagos száma nem esik egybe a rendszerben lévő alkalmazások átlagos számával: ez utóbbi érték a sorban lévő alkalmazások átlagos számával tér el az elsőtől.

Jelöljük a foglalt csatornák átlagos számát . Minden foglalt csatorna átlagosan A-igényeket szolgál ki egységnyi idő alatt, és a QS egésze átlagosan A-igényeket szolgál ki időegységenként. Egyet a másikkal elosztva kapjuk:

A sorban lévő kérések átlagos száma közvetlenül kiszámítható egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárásaként:

(20)

Itt is (a zárójelben lévő kifejezés) a geometriai progresszió összegének deriváltja következik (lásd fent (11), (12) - (14)), a rá vonatkozó összefüggést felhasználva a következőt kapjuk:

Az alkalmazások átlagos száma a rendszerben:

Átlagos várakozási idő a sorban lévő alkalmazásra. Nézzünk meg néhány olyan helyzetet, amelyek különböznek attól, hogy az újonnan érkezett kérés milyen állapotban találja meg a rendszert, és mennyi ideig kell várnia a szolgáltatásra.

Ha egy kérés nem találja az összes csatornát foglaltnak, akkor egyáltalán nem kell várakoznia (a matematikai elvárásban szereplő feltételek nullával egyenlőek). Ha egy kérés olyan időpontban érkezik, amikor az összes n-csatorna foglalt, és nincs sor, akkor átlagosan annyi ideig kell várnia, mint (mivel a -csatornák „felszabadítási folyamatának” intenzitása van). Ha egy kérelem az összes csatornát foglaltnak találja, és egy kérés van előtte a sorban, akkor átlagosan egy ideig várnia kell (minden egyes előtti kérésre), stb. Ha egy kérelem a következő sorban találja magát: - kérések esetén átlagosan időt kell várnia Ha egy újonnan érkezett kérés m-kérést talál már a sorban, akkor egyáltalán nem vár (de nem lesz kiszolgálva). Az átlagos várakozási időt úgy kapjuk meg, hogy ezeket az értékeket megszorozzuk a megfelelő valószínűségekkel:

(21)

Csakúgy, mint a várakozással járó egycsatornás QS esetében, megjegyezzük, hogy ez a kifejezés csak a faktorban tér el az átlagos sorhosszúság (20) kifejezésétől, pl.

.

Egy kérés átlagos tartózkodási ideje a rendszerben, valamint egy egycsatornás QS esetében eltér az átlagos várakozási időtől az átlagos szolgáltatási idő szorozva a relatív áteresztőképességgel:

.

Korlátlan sorhosszú rendszerek. Várakozással járó QS csatornának tekintettünk, amikor egyszerre legfeljebb m-kérelem lehet a sorban.

Csakúgy, mint korábban, a korlátok nélküli rendszerek elemzésénél figyelembe kell venni a kapott összefüggéseket a -ra.

Az állapotok valószínűségét a képletekből úgy kapjuk meg, hogy átadjuk a határértéket (at ). Figyeljük meg, hogy a megfelelő geometriai progresszió összege >1-nél konvergál és divergál. Feltéve, hogy<1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:

(22)

A meghibásodás valószínűsége, relatív és abszolút áteresztőképesség. Mivel minden kérés előbb-utóbb kiszolgálásra kerül, a QS átviteli sebesség jellemzői a következők lesznek:

A sorban lévő kérelmek átlagos száma a következőből adódik: (20):

,

és az átlagos várakozási idő (21):

.

A foglalt csatornák átlagos számát, mint korábban, az abszolút átviteli sebesség határozza meg:

.

A QS-hez társított alkalmazások átlagos száma a sorban lévő alkalmazások átlagos száma plusz a szolgáltatás alatt lévő alkalmazások átlagos száma (a foglalt csatornák átlagos száma):

2. példa: Egy benzinkút két szivattyúval (n = 2) =0,8 (autó/perc) intenzitású autóáramlást szolgál ki. Átlagos szervizidő gépenként:

Más benzinkút nincs a környéken, így szinte korlátlanul gyarapodhat a benzinkút előtti autósor. Keresse meg a QS jellemzőit.

Mert a<1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:

stb.

A foglalt csatornák átlagos számát úgy kapjuk meg, hogy a QS A = = 0,8 abszolút kapacitását elosztjuk a szolgáltatás intenzitásával = 0,5:

Annak valószínűsége, hogy a benzinkúton nem lesz sor:

A sorban álló autók átlagos száma:

Az autók átlagos száma a benzinkutakon:

Átlagos várakozási idő a sorban:

Átlagosan egy autó benzinkútnál tölt:

QS korlátozott várakozási idővel. Korábban azt tekintettük, hogy a várakozást csak a sor hossza (az egyidejűleg a sorban lévő m-kérések száma) korlátozta. Egy ilyen QS-ben egy sorba nőtt alkalmazás nem hagyja el addig, amíg szolgáltatásra nem vár. A gyakorlatban vannak más típusú QS-ek is, amelyekben egy alkalmazás némi várakozás után kiléphet a sorból (úgynevezett „türelmetlen” alkalmazások).

Tekintsünk egy ilyen típusú QS-t, feltételezve, hogy a várakozási idő megszorítása egy valószínűségi változó.

Tételezzük fel, hogy van egy n-csatornás várakozó QS, amelyben a sorban a helyek száma korlátlan, de egy kérés sorbanállási ideje valamilyen véletlenszerű változó átlagos értékkel, így minden kérés a sorban egyfajta Poisson „gondozási áramlásnak” alávetve, intenzitással:

Ha ez az áramlás Poisson, akkor a QS-ben lezajló folyamat Markov-féle lesz. Keressük meg az állapotvalószínűségeket. A rendszerállapotok számozása a rendszerben lévő alkalmazások számához kapcsolódik – mind a kiszolgált, mind a sorban álló alkalmazások számához:

nincs sor:

Minden csatorna ingyenes;

Az egyik csatorna foglalt;

Két csatorna foglalt;

Minden n-csatorna foglalt;

van egy sor:

Minden n-csatorna foglalt, egy kérés van a sorban;

Minden n-csatorna foglalt, az r-kérések sorban állnak stb.

A rendszer állapotainak és átmeneteinek grafikonja az ábrán látható. 23.

Rizs. 23. QS korlátozott várakozási idővel

Jelöljük meg ezt a grafikont, mint korábban; minden balról jobbra mutató nyíl az alkalmazások áramlásának intenzitását jelzi. A sor nélküli állapotok esetében a jobbról balra mutató nyilak az eddigiekhez hasonlóan az összes foglalt csatornát kiszolgáló folyam teljes intenzitását jelzik. Ami a soros állapotokat illeti, az azokból jobbról balra mutató nyilak az összes n-csatorna szolgáltatásfolyamának teljes intenzitását és a sorból való távozások áramlásának megfelelő intenzitását mutatják. Ha r-alkalmazások vannak a sorban, akkor az indulások áramlásának teljes intenzitása egyenlő lesz.

Amint az a grafikonon látható, létezik a szaporodás és a halál mintája; általános kifejezéseket használva az állapotok korlátozó valószínűségére ebben a sémában (rövidített jelölésekkel ezt írjuk:

(24)

Vegyük észre a korlátozott várakozással járó QS néhány jellemzőjét a korábban figyelembe vett, „beteg” kéréseket tartalmazó QS-hez képest.

Ha a sor hossza nincs korlátozva, és a kérések „türelmesek” (ne hagyják el a sort), akkor a stacionárius határrendszer csak abban az esetben létezik (pontnál a megfelelő végtelen geometriai progresszió eltér, ami fizikailag korlátlan növekedésnek felel meg a sorból itt: ).

Ellenkezőleg, egy QS-ben, ahol a „türelmetlen” kérések előbb-utóbb elhagyják a sort, mindig a beállított szolgáltatási módot érik el, függetlenül a kérések áramlásának csökkent intenzitásától. Ez abból a tényből következik, hogy a (24) képlet nevezőjében szereplő for sorozat a és bármely pozitív értékére konvergál.

A „türelmetlen” kéréseket tartalmazó QS esetében a „meghibásodás valószínűsége” fogalmának nincs értelme – minden kérés sorra kerül, de előfordulhat, hogy nem várja meg a szolgáltatást, és idő előtt távozik.

Relatív átviteli sebesség, a sorban lévő kérések átlagos száma. Egy ilyen QS relatív q kapacitása a következőképpen számítható ki. Nyilvánvaló, hogy minden alkalmazást kiszolgálnak, kivéve azokat, amelyek a várakozási idő előtt távoznak a sorból. Számítsuk ki azoknak az alkalmazásoknak az átlagos számát, amelyek korán elhagyják a várólistát. Ehhez kiszámítjuk a sorban lévő alkalmazások átlagos számát:

Ezen alkalmazások mindegyikére vonatkozik az „indulások áramlása”, amelynek intenzitása . Ez azt jelenti, hogy a sorban lévő -alkalmazások átlagos számából átlagosan -az alkalmazások szolgáltatásra várás nélkül távoznak, -időegységenkénti és összességében időegységenkénti -alkalmazások kerülnek kiszolgálásra. A QS relatív kapacitása a következő lesz:

A foglalt csatornák átlagos számát továbbra is úgy kapjuk meg, hogy az A abszolút sávszélességet elosztjuk a következővel:

(26)

A sorban álló alkalmazások átlagos száma. A (26) reláció lehetővé teszi a sorban lévő alkalmazások átlagos számának kiszámítását a végtelen sorozat (25) összegzése nélkül. A (26)-ból a következőket kapjuk:

és az ebben a képletben szereplő foglalt csatornák átlagos száma megtalálható egy Z valószínűségi változó matematikai elvárásaként, 0, 1, 2,..., n értékeket vesz fel , valószínűségekkel:

Végezetül megjegyezzük, hogy ha a (24) képletekben a határértékre megyünk (vagy, ami ugyanaz, -nál), akkor a (22) képleteket kapjuk, azaz a „türelmetlen” kérelmek „türelmessé” válnak.

Eddig olyan rendszerekkel foglalkoztunk, amelyekben a bejövő áramlás semmilyen módon nem kapcsolódik a kimenő áramláshoz. Az ilyen rendszereket nyílt hurkúnak nevezik. Egyes esetekben a kiszolgált kérések késleltetés után ismét megérkeznek a bemenetre. Az ilyen QS-eket zártnak nevezik. Egy adott területet kiszolgáló klinika, egy gépcsoporthoz rendelt dolgozók csoportja a zárt rendszerek példája.

Egy zárt QS-ben ugyanaz a véges számú potenciális követelmény kering. Amíg egy potenciális követelmény szolgáltatáskérésként nem valósul meg, az késleltetési blokkban lévőnek tekintendő. A megvalósítás pillanatában magába a rendszerbe kerül. Például a dolgozók egy gépcsoportot tartanak fenn. Minden gép potenciális követelmény, amely a meghibásodás pillanatában valóságossá válik. Amíg a gép működik, a késleltetési blokkban van, a meghibásodás pillanatától a javítás végéig pedig magában a rendszerben. Minden dolgozó egy szolgáltatási csatorna.

Hadd n- a szolgáltatási csatornák száma, s- lehetséges alkalmazások száma, n <s , - az alkalmazások áramlásának intenzitása az egyes potenciális igényekhez, μ - a szolgáltatás intenzitása:

A rendszer leállásának valószínűségét a képlet határozza meg

R 0 = .

A rendszerállapotok végső valószínűségei:

Pk= at k = at .

Ezek a valószínűségek a foglalt csatornák átlagos számát fejezik ki

=P 1 + 2P 2 +…+n(P n +P n+ 1 +…+P s) vagy

=P 1 + 2P 2 +…+(n- 1)P n- 1 +n( 1-P 0 -P 1 -…-P n-1 ).

Ezt felhasználva megtaláljuk a rendszer abszolút áteresztőképességét:

valamint az alkalmazások átlagos száma a rendszerben

M=s- =s- .

1. példa. A háromcsatornás, hibás QS bemenete intenzitású kéréseket kap =4 alkalmazás percenként, egy alkalmazás egy csatornán történő kiszolgálásához szükséges idő t obs =1/μ =0,5 perc. A QS kapacitás szempontjából kifizetődő-e mindhárom csatornát egyszerre szolgáltatásigénylésre kényszeríteni, és az átlagos kiszolgálási idő háromszorosára csökken? Hogyan befolyásolja ez azt az átlagos időt, amelyet egy alkalmazás a KPSZ-ben tölt?

Megoldás. A képlet segítségével meghatározzuk egy háromcsatornás QS leállási valószínűségét

ρ = /μ = 4/2 = 2, n = 3,

P 0 = = = 0,158.

A meghibásodás valószínűségét a következő képlet határozza meg:

P nyitott = P n ==

P nyitott = 0,21.

Relatív rendszer áteresztőképesség:

R obsl = 1-R nyitva 1-0,21=0,79.

A rendszer abszolút teljesítménye:

A= P obsl 3,16.

A foglalt csatornák átlagos számát a következő képlet határozza meg:

1,58, a szolgáltatás által elfoglalt csatornák részesedése,

q = 0,53.

Az átlagos idő, amíg egy alkalmazás a QS-ben marad, az a valószínűsége, hogy az alkalmazást szolgáltatásra fogadják, megszorozva az átlagos szolgáltatási idővel: t SMO 0,395 perc.

Mindhárom csatornát egybe kombinálva egy egycsatornás rendszert kapunk paraméterekkel μ= 6, ρ= 2/3. Egycsatornás rendszer esetén az állásidő valószínűsége:

R 0 = = =0,6,

a meghibásodás valószínűsége:

P nyitott =ρ P 0 = = 0,4,

relatív áteresztőképesség:

R obsl = 1-R nyitva =0,6,

abszolút áteresztőképesség:

A=P obs = 2,4.

t SMO =P obsl= =0,1 perc.

A csatornák egyesítésének eredményeként a rendszer áteresztőképessége a meghibásodás valószínűségének növekedésével csökkent. Csökkent az átlagos idő, amelyet egy alkalmazás a rendszerben tölt.

2. példa. A háromcsatornás, korlátlan várakozási sorral rendelkező QS bemenete olyan intenzitású kéréseket fogad = 4 alkalmazás óránként, átlagosan egy alkalmazás szervizelésének ideje t=1/μ=0,5 óra Keresse meg a rendszer teljesítménymutatóit.

A vizsgált rendszerhez n =3, =4, μ=1/0,5=2, ρ= /μ=2, ρ/ n =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:

P= .

P 0 = =1/9.

A sorban lévő alkalmazások átlagos számát a következő képlet segítségével találjuk meg:

L =.

L = = .

A sorban lévő alkalmazás átlagos várakozási idejét a következő képlet segítségével számítjuk ki:

t= = 0,22 óra.

Átlagos idő, ameddig egy alkalmazás a rendszerben marad:

T=t+ 0,22+0,5=0,72.

3. példa. A fodrászatban 3 fodrász dolgozik, a váróban 3 szék található. Az ügyfelek áramlásának intenzitása van = 12 ügyfél óránként. Átlagos szervizidő t obsl = 20 perc. Határozza meg a rendszer relatív és abszolút áteresztőképességét, az elfoglalt székek átlagos számát, a sor átlagos hosszát, az átlagos időt, amit az ügyfél a fodrászban tölt.

Erre a feladatra n =3, m =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/n=4/3. Az állásidő valószínűségét a következő képlet határozza meg:

R 0 =.

P 0 = 0,012.

A szolgáltatás megtagadásának valószínűségét a képlet határozza meg

P nyitott =P n+m = .

P nyisd ki =Pn + m 0,307.

Relatív rendszerkapacitás, i.e. szolgáltatás valószínűsége:

P obsl =1-P nyitva 1-0,307=0,693.

Abszolút áteresztőképesség:

A= P obsl 12 .

A foglalt csatornák átlagos száma:

.

A várakozási sor átlagos hosszát a következő képlet határozza meg:

L =

L= 1,56.

Átlagos várakozási idő a sorban álló szolgáltatásra:

t= h.

A KGST-hez benyújtott kérelmek átlagos száma:

M=L + .

Átlagos idő, ameddig egy pályázat a KPSZ-ben marad:

T=M/ 0,36 óra

4. példa. Egy munkás 4 gépet kezel. Minden gép erősen meghibásodik =0,5 hiba óránként, átlagos javítási idő t rem=1/μ=0,8 h Határozza meg a rendszer áteresztőképességét.

Ez a probléma zárt QS-nek tekinthető, μ =1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. A dolgozói állásidő valószínűségét a következő képlet határozza meg:

R 0 =.

P 0 = .

A munkavállaló foglalkoztatásának valószínűsége R zan = 1-P 0 . A=( 1-P 0 )μ =0,85μ gép óránként.

Feladat:

Két munkás négy gépből álló csoportot üzemeltet. Egy működő gép átlagosan 30 perc után leáll. Az átlagos beállítási idő 15 perc. A működési és beállítási idő exponenciális törvény szerint oszlik meg.

Keresse meg az egyes dolgozók átlagos szabadidejének arányát és a gép átlagos üzemidejét.

Keresse meg ugyanazokat a jellemzőket egy olyan rendszerhez, amelyben:

a) minden dolgozóhoz két gép tartozik;

b) két munkás mindig együtt, és kétszeres intenzitással szervizeli a gépet;

c) az egyetlen hibás gépet mindkét dolgozó egyszerre szervizeli (dupla intenzitással), és ha legalább még egy hibás gép megjelenik, külön-külön kezdenek dolgozni, mindegyik egy-egy gépet szolgál ki (először ismertesse a rendszert a halál és születés).

Megoldás:

Az S rendszer következő állapotai lehetségesek:

S 0 – minden gép üzemképes;

S 1 – 1 gép javítás alatt áll, a többi jó állapotban van;

S 2 – 2 gép javítás alatt áll, a többi üzemképes;

S 3 – 3 gép javítás alatt áll, a többi üzemképes;

S 4 – 4 gép javítás alatt áll, a többi jó állapotban van;

S 5 – (1, 2) gépek javítás alatt állnak, a többi jó állapotú;

S 6 – (1, 3) gépek javítás alatt állnak, a többi üzemképes;

S 7 – (1, 4) gépek javítás alatt állnak, a többi jó állapotú;

S 8 – (2, 3) gépek javítás alatt állnak, a többi jó állapotú;

S 9 – (2, 4) gépek javítás alatt állnak, a többi jó állapotú;

S 10 – (3, 4) gépek javítás alatt állnak, a többi jó állapotú;

S 11 – (1, 2, 3) gépek javítás alatt állnak, 4 gép üzemel;

S 12 – (1, 2, 4) gépek javítás alatt állnak, 3 gép üzemel;

S 13 – (1, 3, 4) gépek javítás alatt állnak, a 2. gép üzemel;

S 14 – (2, 3, 4) gépek javítás alatt állnak, 1 gép üzemel;

S 15 – minden gépet javítanak.

Rendszerállapot grafikon...

Ez az S rendszer egy zárt rendszer példája, mivel minden gép potenciális követelmény, amely a meghibásodás pillanatában valóságossá válik. Amíg a gép működik, a késleltetési blokkban van, a meghibásodás pillanatától a javítás végéig pedig magában a rendszerben. Minden dolgozó egy szolgáltatási csatorna.

Ha egy dolgozó elfoglalt, μ-gépeket állít be időegységenként, rendszerkapacitásonként:

Válasz:

Az egyes munkavállalók szabadidejének átlagos részesedése ≈ 0,09.

Átlagos gép üzemidő ≈ 3,64.

a) Minden dolgozóhoz két gép tartozik.

A dolgozói állásidő valószínűségét a következő képlet határozza meg:

Munkavállaló elhelyezkedésének valószínűsége:

Ha egy dolgozó elfoglalt, μ-gépeket állít be időegységenként, rendszerkapacitásonként:

Válasz:

Az egyes dolgozókra jutó szabadidő átlagos aránya ≈ 0,62.

A gép átlagos működési ideje ≈ 1,52.

b) Két munkás mindig együtt, és kétszeres intenzitással szervizeli a gépet.

c) Az egyetlen hibás gépet mindkét dolgozó egyszerre szervizeli (dupla intenzitással), és amikor legalább még egy hibás gép megjelenik, külön-külön kezdenek dolgozni, mindegyik egy-egy gépet szolgál ki (először ismertesse a rendszert a halál és születés).

5 válasz összehasonlítása:

A leghatékonyabb módja a dolgozók gépeknél történő megszervezésének a feladat kezdeti változata lesz.

A legegyszerűbb sorban állási rendszerek (QS) példáit fentebb tárgyaltuk. A „protozoa” kifejezés nem azt jelenti, hogy „elemi”. Ezeknek a rendszereknek a matematikai modelljei alkalmazhatóak és sikeresen alkalmazhatók a gyakorlati számításokban.

A döntéselmélet sorbanállási rendszerekben való alkalmazásának lehetőségét a következő tényezők határozzák meg:

1. A rendszerben lévő alkalmazások számának (ami QS-nek számít) meglehetősen nagynak kell lennie (masszívan).

2. A QS bemenetén beérkezett összes kérelemnek azonos típusúnak kell lennie.

3. A képletekkel történő számításhoz ismerni kell azokat a törvényszerűségeket, amelyek meghatározzák a kérelmek beérkezését és feldolgozásuk intenzitását. Ezenkívül a rendelési folyamatoknak Poissonnak kell lenniük.

4. A QS felépítése, i.e. szigorúan rögzíteni kell a beérkező követelmények körét és a pályázatok feldolgozásának sorrendjét.

5. A tantárgyakat ki kell zárni a rendszerből, vagy követelményként kell leírni állandó feldolgozási intenzitással.

A fent felsorolt ​​korlátozások mellé még egyet tehetünk, ami erősen befolyásolja a matematikai modell dimenzióját és összetettségét.

6. A használt prioritások számának minimálisnak kell lennie. A pályázatok prioritásainak állandónak kell lenniük, pl. nem változhatnak a QS-en belüli feldolgozás során.

A munka során a fő cél megvalósult - a „QS korlátozott várakozási idővel” és a „Zárt QS” fő anyagát tanulmányozták, amelyet az akadémiai fegyelem tanára állított fel. Megismerkedtünk a megszerzett ismeretek gyakorlati alkalmazásával is, i.e. konszolidálta a lefedett anyagot.

1) http://www.5ballov.ru.

2) http://www.studentport.ru.

3) http://vse5ki.ru.

4) http://revolution..

5) Fomin G.P. Matematikai módszerek és modellek a kereskedelmi tevékenységekben. M: Pénzügy és Statisztika, 2001.

6) Gmurman V.E. Valószínűségelmélet és matematikai statisztika. M: Felsőiskola, 2001.

7) Szovetov B.A., Jakovlev S.A. Rendszermodellezés. M: Felsőiskola, 1985.

8) Lifshits A.L. QS statisztikai modellezése. M., 1978.

9) Ventzel E.S. Operációkutatás. M: Nauka, 1980.

10) Ventzel E.S., Ovcharov L.A. Valószínűségszámítás és mérnöki alkalmazásai. M: Nauka, 1988.

Az n szolgáltatási csatornás rendszer működésének főbb mutatóinak kiszámítása, korlátozott helyekkel a sorban, hasonlóan történik, mint egy korlátlan sorral rendelkező rendszer esetében. A sorhossz-korlátozással rendelkező rendszerek működésének sajátossága a véges számú rendszerállapot.

Hagyja, hogy a szolgáltatási csatornák a legegyszerűbb kéréseket fogadják λ intenzitással . Az egyik csatornáról érkező szolgáltatásfolyam is a legegyszerűbb, intenzitása μ. A sorban álló helyek száma korlátozott és egyenlő T.

A rendszerben lévő alkalmazások száma alapján jelöljük a rendszer állapotát:

S 0- tétlen állapot;

S p- a rendszer állapota, amikor minden csatorna karbantartással van elfoglalva;

S p+1 - minden csatorna foglalt, egy kérés van sorban;

S p+t - sorban T alkalmazások.

Mivel a kérések és szolgáltatások áramlása szokásos, az állapotgrafikont a halál és a szaporodás diagramjaként ábrázolják. Az egyetlen különbség a korlátlan várakozási sor hasonló sémájától, hogy az állapotok száma véges. Egy ilyen rendszer állapotgráfja diagramként látható a 7. ábrán:

λ λ λ λ λ λ

……. …….

S 0 S 1 S 2 S n S n+m

μ 2μ 3μ ………. nμ nμ …… nμ

7. ábra: Többcsatornás QS korlátozott várakozási sorral.

Hozzunk létre egy algebrai egyenletrendszert, hogy megtaláljuk az állapotok végső valószínűségét:

Honnan szerezzük be? Erlang képletek többcsatornás rendszerhez korlátozott várakozási sorral:

Legújabb T A zárójelben lévő kifejezések az összeget jelentik T a ρ/n nevezővel rendelkező geometriai progresszió első tagjai, amely egyenlő:

Így a p 0 kiszámításához a következő képletet kapjuk:

A határállapotok valószínűségére vonatkozó képletek így néznek ki:

Képleteket mutatunk be a rendszer teljesítményének fő mutatóinak kiszámításához.

Csatornák száma melyik szükséges hogy a rendszer megbirkózzon az alkalmazások áramlásával, a feltételből határozzuk meg

Ebben az esetben a ρ összefüggés< 1.

A szolgáltatás megtagadásának valószínűsége a kérést annak a valószínűségeként definiáljuk, hogy amikor egy kérés érkezik a rendszerbe, mind az n csatorna foglalt lesz, és a sorban az összes m hely foglalt lesz:

Innen szolgáltatási valószínűség(és még relatív áteresztőképesség rendszerek) egyenlők az ellenkező esemény valószínűségével:

Abszolút teljesítmény - a rendszer által kiszolgált alkalmazások száma időegységenként:

Mivel minden csatorna μkérést szolgál ki időegységenként, akkor a foglalt csatornák átlagos száma kiszámítható:

Átlagos szervizidő egy kérés csatornája :

A sorban álló alkalmazások átlagos száma:

A szolgáltatás alatt lévő kérések átlagos száma egyenlő a foglalt csatornák átlagos számával:

Az alkalmazások átlagos száma a rendszerben(szolgáltatás alatt és sorban) egyenlő:

A Mathcadben egy többcsatornás QS korlátozott várakozási sorral jöhet számításba.

Példa:

A benzinkút területén egyszerre legfeljebb 3 autó fér el, és ha foglalt, akkor a következő állomásra érkező kocsi nem áll sorban. Szerviz áramlási sebesség λ=0,5 autó percenként. Szerviz áramlási sebesség μ=0,4 autó percenként. Határozza meg a QS összes jellemzőjét.

Egy probléma megoldásának töredéke Mathcadben.

A probléma folytatása Mathcadben.

Várakozó rendszerek korlátlan bejövő áramlással

n azonos csatorna intenzitással fogadja a legegyszerűbb kéréseket λ . Ha a kérés beérkezésekor minden csatorna foglalt, akkor ez a kérés sorba kerül, és várja a kiszolgálás megkezdését. Az egyes kérések kiszolgálási ideje egy valószínűségi változó, amely a paraméterrel egy exponenciális eloszlási törvénynek engedelmeskedik μ .

Számítási képletek
Annak valószínűsége, hogy minden csatorna ingyenes

Valószínű, hogy foglalt k csatornák, feltéve, hogy a kiszolgált kérések száma nem haladja meg a csatornák számát,

Annak a valószínűsége, hogy a rendszer tartalmaz k kérések, ha azok száma nagyobb, mint a csatornák száma,

Annak a valószínűsége, hogy minden csatorna foglalt

Átlagos várakozási idő, amíg egy alkalmazás megkezdi a szervizelést a rendszerben

Átlagos sorhossz

A szolgáltatástól mentes csatornák átlagos száma

Példa
Egy benzinkút két szivattyúval egy Poisson-áramot szolgál ki, λ=0,8 autó/perc intenzitással. Egy gép szervizideje egy exponenciális törvénynek engedelmeskedik, átlagosan 2 perc. Más benzinkút nincs a környéken, így szinte korlátlanul nőhet a sor a benzinkút előtt. Megtalálja:
1) a foglalt oszlopok átlagos száma;
2) annak valószínűsége, hogy nincs sorban állás a benzinkútnál;
3) annak valószínűsége, hogy várnia kell a szolgáltatás megkezdésére;
4) a sorban álló autók átlagos száma;
5) átlagos sorban állási idő;
6) az átlagos idő, amit egy autó benzinkúton tölt;
7) átlagos autók száma a benzinkutaknál.
Megoldás. A feladat feltételei szerint n=2, λ=0,8; μ=1/t obs=0,5; ρ=λ/μ=1,6
Mert a ρ /n=0,8<1, то очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы системы массового обслуживания.
Megtaláljuk a QS állapotok valószínűségét:

A foglalt oszlopok átlagos száma:
N zan = n-N 0 = 2-(2 p 0 + 1 p 1) = 2-2 0,1111 - 0,1778 = 1,6
Annak valószínűsége, hogy nem lesz sor a benzinkútnál:

Annak a valószínűsége, hogy várnia kell a szolgáltatás indulására, megegyezik annak valószínűségével, hogy az összes oszlop foglalt:
p 0 + p 1 + p 2 = 0,1111 + 0,1778 + 0,1422 = 0,4311
A sorban álló autók átlagos száma:

Átlagos várakozási idő a sorban:
Átlagosan egy autó benzinkútnál tölt:
t preb = t obs + t hideg = 2+3,5556 = 5,5556 perc.
Az autók átlagos száma a benzinkutakon:
N zan + L och = 1,6 + 2,8444 = 4,4444
Vegyünk egy egycsatornás QS-t elvárásokkal, amelyben a csatornák száma eggyel egyenlő n= 1, a kérések intenzitása λ, a szolgáltatás intenzitása μ. A csatorna foglalt időpontjában érkezett alkalmazás sorban áll, és szolgáltatásra vár. A sorban álló helyek száma korlátozott és egyenlő m. Ha a sorban minden hely foglalt, akkor az alkalmazás kiszolgálatlanul hagyja a sort. Elemezzük a rendszer állapotát:

• S 0 – a csatorna szabad;
• S 1 – csatorna foglalt;
• S 2 – a csatorna foglalt, egy kérés van sorban;
• Sk– a csatorna foglalt, (k–1) kérések vannak sorban;
• Sm+ 1 – csatorna foglalt, sorban áll m alkalmazások.

Ábrázoljuk egy ilyen QS állapotgráfját (25. ábra).

Rizs. 25
Erlang képletekkel meg fogjuk találni azoknak az eseményeknek a valószínűségét, amelyek abból állnak, hogy a QS állapotban van S 1 , S 2 , …, S m+1:
(28)

Ebben az esetben annak a valószínűsége, hogy a rendszerbe érkező alkalmazás szabadnak találja, egyenlő
. (29)
A λ kérések fogadásának intenzitásának és a μ kiszolgálási kérések intenzitásának aránya a csökkentett intenzitás μ, azaz.

ρ=λ/μ
Cseréljük le a (28) és (29) képletekben a λ/&mu arányt ρ-re, ekkor a kifejezések a következő alakot öltik:

(30)
Valószínűség R A 0 a következő képlettel lesz kiszámítva:
p 0 = -1. (31)
Valószínűség kifejezése P A 0 egy geometriai progresszió, amelynek összege egyenlő lesz

.
Így a (30) és a (31) képlet lehetővé teszi bármely esemény valószínűségének meghatározását, amely a rendszerben előfordulhat, azaz meghatározza a rendszer bármely állapotának valószínűségét.
Képlet a P A 0 akkor érvényes, ha ρ ≠ 1. Abban az esetben, ha ρ = 1, azaz a kérelmek fogadásának intenzitása megegyezik a kiszolgálásuk intenzitásával, egy másik képlet segítségével számítjuk ki a rendszer szabadságának valószínűségét:

,
ahol m a sorban lévő alkalmazások száma.

Határozzuk meg az egycsatornás QS teljesítményjellemzői:

• annak a valószínűsége, hogy a rendszerbe következő alkalmazást elutasítják R nyisd ki;
• abszolút áteresztőképesség A,
• relatív áteresztőképesség K,
• foglalt csatornák száma k,
• a kérések átlagos száma az r sorban,
• a QS-hez kapcsolódó alkalmazások átlagos száma, z .

A rendszerbe érkező következő kérést a rendszer elutasítja, ha a csatorna foglalt, azaz egy másik kérést kiszolgálnak, és ez minden m a sorban álló helyek is betelnek. akkor ennek az eseménynek a valószínűsége a következő képlettel számítható ki:

. (32)
A képlet segítségével meghatározható annak valószínűsége, hogy egy alkalmazás bekerül a rendszerbe és azonnal kiszolgálják, vagy lesznek helyek a sorban.

. (33)
Az időegységenként kiszolgálható kérések átlagos számát, azaz az abszolút átviteli sebességet a következőképpen számítjuk ki:

A=Q·λ (34)
Így a (32), (33), (34) képletek segítségével bármely sorbanállási rendszerhez ki lehet számítani a fő teljesítménymutatókat. Most kifejezéseket fogunk levezetni a csak ebben a QS-ben rejlő jellemzők kiszámításához.
Az r sorban lévő kérések átlagos számát egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárásaként definiáljuk, ahol R– a sorban lévő alkalmazások száma.
♦ R 2 annak a valószínűsége, hogy egy kérés van a szolgáltatási sorban;
♦ R 3 – annak valószínűsége, hogy két alkalmazás van a sorban;
♦ Rk– annak valószínűsége, hogy (k–1) alkalmazás van a sorban;
♦ Rm+ 1 – annak valószínűsége, hogy m alkalmazás van a sorban.
Ezután a sorban lévő alkalmazások átlagos száma a következőképpen számítható ki:
r =1 · P 2 +2 · P 3 + ... + (k-1) · P k + ... + m · P m+1 . (35)
Helyettesítsük be a (35) képletbe a (30) képletben számított korábban talált valószínűségi értékeket:
r =1·ρ 2 ·p 0 +2·ρ 3 ·p 0 + ... +(k-1)·ρ k ·p 0 + ... +m·ρ m+1 ·p 0. (35)
Vegyük ki a valószínűséget az egyenletből P 0 és R 2, akkor megkapjuk a végső képletet a szolgáltatási sorban lévő kérések átlagos számának kiszámításához:
r =ρ 2 p 0 (1+2 ρ+ ... +(k-1) ρ k-2 + ... +m ρ m-1)
Vezessünk egy képletet a QS-hez társított alkalmazások átlagos számához, z-hez, azaz a sorban lévő alkalmazások számához, amelyeket kiszolgálnak. Tekintsük a QS-hez társított alkalmazások teljes számát z az r sorban lévő alkalmazások átlagos számának és a k foglalt csatornák számának két értékének összegeként:

z = r +k.
Mivel csak egy csatorna van, a foglalt k csatornák száma 0 vagy 1 lehet. Annak a valószínűsége, hogy k = 0, azaz. a rendszer szabad, megfelel a P 0 valószínűségnek, melynek értéke a (31) képlet segítségével kereshető meg. Ha k = 1, azaz a csatorna a kérés kiszolgálásával van elfoglalva, de még vannak helyek a sorban, akkor ennek az eseménynek a valószínűsége kiszámítható a képlet segítségével

.
Ezért z egyenlő lesz:

. (37)

Egycsatornás QS várakozással

A sorban állási rendszer egycsatornás. A bejövő szolgáltatási kérelmek folyama a legegyszerűbb folyam l intenzitással. A szolgáltatásfolyam intenzitása egyenlő m-vel (azaz átlagosan egy folyamatosan foglalt csatorna m kiszolgált kérést ad ki). A szolgáltatás időtartama egy véletlen változó, amelyre az exponenciális eloszlási törvény vonatkozik. A szolgáltatásfolyam az események legegyszerűbb Poisson-folyamata. A csatorna foglalt állapotában kapott kérés sorban áll, és szolgáltatásra vár.
Tételezzük fel, hogy akárhány kérés érkezik a kiszolgáló rendszer bemenetére, ez a rendszer (várólista + kiszolgált ügyfelek) N-nél több követelményt (alkalmazást) nem tud kiszolgálni, azaz a tartásban nem lévő ügyfelek kiszolgálására kényszerülnek. máshol . Végül a szolgáltatási kérelmeket előállító forrás korlátlan (végtelenül nagy) kapacitással rendelkezik.
A QS állapotgráfja ebben az esetben az ábrán látható formájú. 3.2.


Egycsatornás QS állapotgráfja várakozással (halál és szaporodás sémája)
A QS állapotok értelmezése a következő:
S 0 - csatorna mentes
S 1 - csatorna foglalt (nincs sor);
S 2 - a csatorna foglalt (egy kérés van sorban);
………………………………
S n - a csatorna foglalt (n - 1 kérés van sorban);
……………………………
S N - csatorna foglalt (N - 1 alkalmazás van sorban).
Ebben a rendszerben a stacionárius emelkedést a következő algebrai egyenletrendszer írja le:

P -állapotszám.
A fenti (3.10) egyenletrendszer megoldása QS-modellünkre a következő alakkal rendelkezik

Megjegyzendő, hogy egy adott QS stacionaritási feltételének teljesítése nem szükséges, mivel a kiszolgáló rendszerbe beengedett kérelmek számát a sorhossz korlátozásával szabályozzák (amely nem haladhatja meg N- 1), és nem a bemeneti áramlás intenzitásának aránya, azaz nem az arány
l/m = p
Határozzuk meg az egycsatornás QS jellemzői várakozással és korlátozott sorhosszal egyenlő (N- 1):

Nézzünk egy példát egy egycsatornás QS-re várakozással.
Példa 3.2. A speciális diagnosztikai poszt egycsatornás QS. A diagnosztikára váró autók parkolóinak száma korlátozott, 3 db [(N-1) = 3]. Ha minden parkoló foglalt, azaz már három autó áll a sorban, akkor a következő, diagnosztikára érkező autó nem kerül a szervizelési sorba. A diagnosztikára érkező autók áramlása a Poisson-törvény szerint oszlik meg és intenzitású l= 0,85 (járművek óránként). A jármű diagnosztikai ideje egy exponenciális törvény szerint oszlik meg és átlagosan 1,05 óra.
Meg kell határozni stacionárius üzemmódban működő diagnosztikai állomás valószínűségi jellemzői.
Megoldás
1. A jármű karbantartási folyamatának paramétere:

2. A csökkentett forgalmi intenzitást az l és m intenzitás arányaként határozzuk meg, azaz.

3. Számítsuk ki a rendszer végső valószínűségeit:

P 1 =ρ P 0 = 0,893 0,248 = 0,221
P 2 =ρ 2 P 0 = 0,893 2 0,248 = 0,198
P 3 =ρ 3 P 0 = 0,893 3 0,248 = 0,177
P 4 =ρ 4 P 0 = 0,893 2 0,248 = 0,158
4. A jármű szervizelésének meghibásodásának valószínűsége:
P nyitott =P 4 =ρ 4 ·P 0 ≈ 0,158
5. A diagnosztikai bejegyzés relatív teljesítménye:
q=1-P nyitott = 1-0,158 = 0,842
6. A diagnosztikai állomás abszolút teljesítménye
A=λ·q = 0,85·0,842 = 0,716 (járművek óránként)
7. Szervizben lévő és sorban álló (azaz a sorban állási rendszerben) autók átlagos száma:

8. Átlagos idő, ameddig egy autó a rendszerben marad:
9. Egy kérelem szolgáltatási sorban állásának átlagos időtartama:
W q = W S -1/μ = 2,473-1/0,952 = 1,423 óra
10. A sorban lévő alkalmazások átlagos száma (sorhossz): Lq= A,(1 - P N) W q= 0,85
L q = λ(1-P N) W q = 0,85 (1-0,158) 1,423 = 1,02
A vizsgált diagnosztikai állás munkája kielégítőnek mondható, mivel a diagnosztikai állás átlagosan az esetek 15,8%-ában nem szervizel autókat (R nyitva= 0,158). A QS várható hatékonyságának mutatóiként a már ismert mutatókon kívül - abszolút A és relatív Q áteresztőképesség, meghibásodás valószínűsége P elutasít. , az átlagos foglalt csatornák számát (többcsatornás rendszer esetén) a következőket is figyelembe vesszük: L syst. - átlagos alkalmazások száma a rendszerben; T syst. - átlagos idő, amikor egy alkalmazás a rendszerben marad; L nagyon - a sorban lévő alkalmazások átlagos száma (sorhossz); T och. - átlagosan mennyi ideig marad egy alkalmazás a sorban; Rzan.. - annak a valószínűsége, hogy a csatorna foglalt (a csatorna terhelésének mértéke).

Egycsatornás rendszer korlátlan várakozási sorral

A gyakorlatban gyakran találkozhatunk egycsatornás, korlátlan sorbanállású QS-ekkel (például egy fülkével rendelkező fizetős telefon).
Tekintsük a problémát.
Létezik egy egycsatornás QS sorral, amelyre nincs korlátozás (sem a sor hosszára, sem a várakozási időre vonatkozóan). A QS-hez érkező kérések intenzitása λ, a kiszolgálási folyam intenzitása μ. Meg kell találni a QS állapotainak és teljesítménymutatóinak korlátozó valószínűségeit.
A rendszer az S 0, S 1, S 2, …, S k állapotok valamelyikében lehet, a QS-ben lévő kérések számának megfelelően: S 0 - csatorna szabad; S 1 - csatorna foglalt (kérést szolgál ki), nincs sor, S 2 - csatorna foglalt, egy kérés van a sorban; ... S k - csatorna foglalt, (k-1) alkalmazások sorban állnak stb.
A QS állapotgrafikonja az ábrán látható. 8.

Rizs. 8
Ez a halál és szaporodás folyamata, de végtelen sok állapotú, amelyben az alkalmazások áramlásának intenzitása λ, a szolgáltatások áramlásának intenzitása pedig μ.
Mielőtt leírná a korlátozó valószínűségek képleteit, meg kell bizonyosodni a létezésükről, mert t→∞ idő esetén a sor korlátlanul növekedhet. Az bebizonyosodott Haρ<1, azok. a bejövő alkalmazások átlagos száma kisebb, mint a kiszolgált alkalmazások átlagos száma (időegységre vetítve), akkor vannak korlátozó valószínűségek. Haρ≥1, a sor a végtelenségig nő.

Az állapotok korlátozó valószínűségeinek meghatározásához a (16), (17) képleteket fogjuk használni a halál és szaporodás folyamatára (itt elismerjük a szigorúság bizonyos hiányát, mivel ezeket a képleteket korábban véges számú képletre kaptuk). a rendszer állapotai). kapunk (32)
Mivel korlátozó valószínűségek csak ρ esetén léteznek< 1, то геометрический ряд со знаменателем
ρ < 1, записанный в скобках в формуле (32), сходится к сумме, равной . Поэтому
p 0 =1-ρ, (33)
és figyelembe véve a kapcsolatokat (17)
p 1 =ρ·p 0; p 2 =ρ 2 · p 0 ; ... ; p k =ρ k ·p 0 ; ...
keressük meg más állapotok korlátozó valószínűségeit
p1 =ρ·(1-ρ); p 2 =ρ 2 · (1-ρ); ... ; p k =ρ k ·(1-ρ); ... (34)
A p 0 , p 1 , p 2 , ..., p k , ... korlátozó valószínűségek egy csökkenő geometriai szakmát alkotnak p nevezővel< 1, следовательно, вероятность р 0 - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
Az alkalmazások átlagos száma az L rendszerben. a matematikai elvárási képlet segítségével határozzuk meg, amely a (34) figyelembevételével a formát ölti majd
(35)
(összegzés 1-től ∞-ig, mivel a nulla tag 0·p 0 =0).
Megmutatható, hogy a (35) képlet átalakul (ρ< 1) к виду
(36)
Keressük meg az L sorban lévő alkalmazások átlagos számát nagyon. Ez nyilvánvaló
L och =L syst -L rev (37)
ahol L köt. - a kiszolgált alkalmazások átlagos száma.
A szolgáltatás alatt lévő kérések átlagos számát a szolgáltatás alatt lévő kérések számának matematikai elvárásának képlete határozza meg, 0 (ha a csatorna szabad) vagy 1 (ha a csatorna foglalt) értéket vesz fel:
L och =0 p 0 +1 (1-p 0)
azok. a szolgáltatás alatt lévő kérések átlagos száma megegyezik a csatorna foglaltságának valószínűségével:
L och =P zan =1-p 0, (38)
Valójában (33)
L och =P zan ρ, (39)
Most a (37) képlet szerint, figyelembe véve (36) és (39)
(40)
Az bebizonyosodott az alkalmazások áramlásának bármilyen jellege, a szolgáltatási idő bármilyen eloszlása, bármely szolgáltatási terület esetén a kérés rendszerben (sorban) maradásának átlagos ideje megegyezik a rendszerben (a sorban lévő) alkalmazások átlagos számával osztva az alkalmazások áramlásának intenzitása szerint, azok.
(41)
(42)
A (41) és (42) képleteket hívjuk Little képletei. Abból fakadnak, hogy korlátozó, stacionárius üzemmódban a rendszerbe érkező alkalmazások átlagos száma megegyezik az azt elhagyó alkalmazások átlagos számával: mindkét kérésfolyam azonos intenzitású λ.
A (41) és (42) képlet alapján, a (36) és (40) figyelembevételével, az alkalmazás átlagos rendszerben maradásának idejét a következő képlet határozza meg:
(43)
és az átlagos idő, ameddig egy alkalmazás sorban áll
(44)

Egycsatornás QS várakozással a várakozási blokk kapacitásának korlátozása nélkül

Ennek a QS-nek az álló üzemmódja t→∞-nél létezik bármely n=0,1,2,... esetén és ha l< m.Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при t®¥ для любого n = 0, 1, 2...., имеет вид
Ennek az egyenletrendszernek a megoldásának megvan a formája
P n =(1-ρ)·ρ n, n=0,1,2,... (3.21)
ahol ρ=λ/μ< 1
Az egycsatornás, várakozással járó QS jellemzői a várakozási sor hosszának korlátozása nélkül a következők:
az ügyfelek (szolgáltatás iránti kérelmek) átlagos száma a rendszerben:
az ügyfél rendszerben való tartózkodásának átlagos időtartama:

Példa 3.3. Emlékezzünk vissza a 3.2 példában tárgyalt helyzetre, ahol egy diagnosztikai poszt működéséről beszélünk. A szóban forgó diagnosztikai poszton korlátlan számú parkolóhely legyen a szervizbe érkező járművek számára, azaz a sor hossza korlátlan.
Meg kell határozni a következő valószínűségi jellemzők végső értékeit:

• rendszerállapotok valószínűségei (diagnosztikai állomás);
• a rendszerben lévő autók átlagos száma (szerviz alatt és sorban állásban);
• a jármű rendszerben való tartózkodásának átlagos időtartama (szervizben és sorban állásban);
• a szervizre sorban álló gépkocsik átlagos száma;
• átlagosan mennyi ideig tartózkodik egy autó a sorban.

Megoldás
1. Az m üzemi áramlási paramétert és a p járműáramlás csökkentett intenzitását a 3.2. példa határozza meg:
m = 0,952; p = 0,893.
2. Számítsa ki a rendszer korlátozó valószínűségeit a képletekkel!
P 0 = 1-ρ = 1-0,893 = 0,107
P 1 =(1-ρ) ρ = (1-0,893) 0,893 = 0,096
P 2 = (1-ρ) ρ 2 = (1-0,893) 2 0,893 = 0,085
P 3 = (1-ρ) ρ 3 = (1-0,893) 3 0,893 = 0,076
P 4 = (1-ρ) ρ 4 = (1-0,893) 4 0,893 = 0,068
P 5 = (1-ρ) ρ 5 = (1-0,893) 5 0,893 = 0,061
stb.
Meg kell jegyezni, hogy a P o meghatározza, hogy a diagnosztikai bejegyzés mekkora idő alatt kénytelen inaktív (tétlen). Példánkban ez 10,7%, mivel R o= 0,107.
3. A rendszerben lévő autók átlagos száma (szerviz alatt és sorban):
4. Az ügyfél rendszerben való tartózkodásának átlagos időtartama:

6. Egy autó sorbanállásának átlagos időtartama -
7. Relatív rendszer átviteli sebesség:
azaz minden alkalmazás, ami a rendszerbe kerül, ki lesz szolgáltatva.
8. Abszolút áteresztőképesség: A= l q= 0,85 1 = 0,85
Megjegyzendő, hogy egy autódiagnosztikát végző céget elsősorban az érdekli, hogy a sorhossz-korlátozás feloldásakor hány vásárló keresi fel a diagnosztikai posztot.
Tegyük fel, hogy az eredeti verzióban az érkező autók parkolóhelyeinek száma három volt (lásd a 3.2 példát). Azon helyzetek m gyakorisága, amikor egy diagnosztikai állásra érkező autó nem tud beállni a sorba:

T= l P N

Példánkban, ahol N = 3 + 1 = 4 és p = 0,893,
m = l P o p 4 = 0,85·0,248·0,8934·0,134 autó óránként.
A diagnosztikai állomás 12 órás üzemmódja esetén ez egyenértékű azzal, hogy a diagnosztikai állomás átlagosan 12·0,134 = 1,6 autót veszít műszakonként (nap).
A sor hosszára vonatkozó korlátozás megszüntetése lehetővé teszi, hogy a példánkban kiszolgált ügyfelek számát átlagosan 1,6 autóval növeljük műszakonként (12 óra munkaidő) a diagnosztikai állomáson. Nyilvánvaló, hogy a diagnosztikai állomásra érkező járművek parkolóhelyének bővítéséről szóló döntésnek azon gazdasági károk felmérésén kell alapulnia, amelyet az ügyfelek elvesztése okoz, ha ezeknek a járműveknek csak három parkolóhelye van.

Többcsatornás QS korlátlan várakozási sorral

Tekintsük a problémát. Van egy n-csatornás QS korlátlan várakozási sorral. A QS-hez érkező kérések intenzitása λ, a kiszolgálási folyam intenzitása μ. Meg kell találni a QS állapotok korlátozó valószínűségeit és hatékonyságának mutatóit.

A rendszer az S 0 , S 1 , S 2 ,…, S k ,…, S n ,… állapotok valamelyikében lehet - a QS-ben lévő alkalmazások száma szerint számozva: S 0 - nincs alkalmazás a rendszer (minden csatorna szabad) ; S 1 - egy csatorna foglalt, a többi szabad; S 2 - két csatorna foglalt, a többi szabad;..., S k - k csatorna foglalt, a többi szabad;..., S n - mind az n csatorna foglalt (nincs sor); S n+1 - mind az n csatorna foglalt, egy kérés van a sorban;..., S n+r - mind foglalt n csatornák, r soron vannak a jelentkezések...

A rendszerállapot grafikonja a ábrán látható. 9. Vegyük észre, hogy az előző QS-től eltérően a szolgáltatásfolyam intenzitása (a rendszer egyik állapotból a másikba való áthelyezése jobbról balra) nem marad állandó, és ahogy a QS-ben a kérések száma 0-ról nő n, m-ről nm-re nő, mivel a szolgáltatási csatornák száma ennek megfelelően nő. Ha a kérések száma a QS-ben nagyobb, mint n, a szolgáltatásfolyam intenzitása nm marad.

a sorban álló kérelmek átlagos száma
, (50)
az alkalmazások átlagos száma a rendszerben
L rendszer = L och +ρ, (51)
Az átlagos idő, ameddig egy alkalmazás a sorban marad, és az átlagos idő, ameddig egy alkalmazás a rendszerben marad, mint korábban, Little (42) és (41) képlete alapján állapítható meg.
Megjegyzés. Egy QS-hez korlátlan várakozási sorral az r címen< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа P отк = 0, относительная пропускная способность K=1, és az abszolút áteresztőképesség egyenlő a bejövő kérések áramlásának intenzitásával, azaz. A=l.

QS korlátozott sorral

QS korlátozott sorral. A korlátozott várakozási sorral rendelkező kérdések csak annyiban térnek el a fent vizsgált problémáktól, hogy a sorban lévő alkalmazások száma korlátozott (nem haladhatja meg a megadott értéket T). Ha egy új kérés olyan időpontban érkezik, amikor a sorban lévő összes hely foglalt, akkor a QS kiszolgálás nélkül marad, azaz. elutasítják.
Nyilvánvaló, hogy az ilyen QS-ek állapotainak és hatékonysági mutatóinak korlátozó valószínűségeinek kiszámításához ugyanaz a megközelítés használható, mint a fenti, azzal a különbséggel, hogy nem egy végtelen progressziót kell összefoglalni (mint például a képlet származtatásánál ( 33)), de véges .
Az átlagos idő, ameddig egy alkalmazás a sorban és a rendszerben marad, mint korábban, Little (44) és (43) képlete határozza meg.
QS korlátozott várakozási idővel. A gyakorlatban gyakran találkoznak olyan QMS-ekkel, amelyek úgynevezett „türelmetlen” kérésekkel rendelkeznek. Az ilyen alkalmazások kiléphetnek a sorból, ha a várakozási idő túllép egy bizonyos értéket. Különösen a különféle technológiai rendszerekben merülnek fel ilyen kérések, amelyekben a szolgáltatás megkezdésének késése a termék minőségének romlásához vezethet, az operatív irányítási rendszerekben, amikor a sürgős üzenetek értékét (vagy akár jelentését) veszítik, ha nem kapják meg őket a szolgáltatáshoz. egy bizonyos időn belül.

Az ilyen rendszerek legegyszerűbb matematikai modelljeiben azt feltételezzük, hogy egy kérés véletlenszerű ideig maradhat a sorban, egy exponenciális törvény szerint elosztva egy bizonyos υ paraméterrel, azaz. feltételesen feltételezhetjük, hogy minden szolgáltatási sorban álló kérés υ intenzitással hagyhatja el a rendszert.
A megfelelő időben korlátozott QS teljesítménymutatókat a halálozási és szaporodási folyamatra kapott eredmények alapján kapjuk meg.

Összegzésképpen megjegyezzük, hogy a gyakorlatban gyakran vannak olyan zárt szolgáltatási rendszerek, amelyekben az alkalmazások bejövő áramlása jelentősen függ magának a QS állapotától. Példaként említhetjük azt a helyzetet, amikor egyes gépek az üzemi helyekről érkeznek a javítótelepre: jól látható, hogy minél több gép van javítási állapotban, annál kevesebbet használnak tovább, és annál kevésbé intenzív a munkavégzés. újonnan javításra érkező gépek áramlása. A zárt QS-t korlátozott számú kérésforrás jellemzi, és minden forrás „blokkolva van” a kérés kiszolgálása közben (azaz nem ad ki új kéréseket). Az ilyen rendszerekben, véges számú QS állapottal, korlátozó valószínűségek léteznek az alkalmazásfolyamatok és a szervizelés intenzitásának bármely értékére. Kiszámíthatók a halál és a szaporodás folyamatának újragondolásával.