ทางเข้าสมการเชิงเส้นพร้อมพารามิเตอร์ จำนวนคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น ขึ้นอยู่กับจำนวนสิ่งที่ไม่ทราบและอันดับของเมทริกซ์และเมทริกซ์ขยายของระบบ การแปลงเมทริกซ์เบื้องต้น
ทฤษฎีบท. ระบบสมการเชิงเส้นจะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์แบบขยายเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ระบบนั้นเอง
ระบบสมการเชิงเส้น
r(A)=r() สอดคล้องกันและเข้ากันไม่ได้ r(A)≠r()
ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นจึงมีคำตอบจำนวนอนันต์ มีคำตอบเดียว หรือไม่มีคำตอบเลยก็ได้
สิ้นสุดการทำงาน -
หัวข้อนี้เป็นของส่วน:
การแปลงเมทริกซ์เบื้องต้น วิธีการของแครมเมอร์ คำจำกัดความของเวกเตอร์
องค์ประกอบสองประการของการเรียงสับเปลี่ยนจะก่อให้เกิดการผกผันหากในสัญกรณ์ของการเรียงสับเปลี่ยนองค์ประกอบที่ใหญ่กว่าอยู่ข้างหน้าองค์ประกอบที่เล็กกว่า.. มีการเรียงสับเปลี่ยนระดับที่ n ของตัวเลข n ที่แตกต่างกัน จำนวนการผกผันเป็นเลขคู่ ดังนั้น ถ้าเป็นเลขคี่
ถ้าคุณต้องการ วัสดุเพิ่มเติมในหัวข้อนี้หรือคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหาเราขอแนะนำให้ใช้การค้นหาในฐานข้อมูลผลงานของเรา:
เราจะทำอย่างไรกับเนื้อหาที่ได้รับ:
หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในเพจของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก:
| ทวีต |
หัวข้อทั้งหมดในส่วนนี้:
ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี
ลองพิจารณาระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่มีค่าไม่ทราบ มาสร้างเมทริกซ์และเมทริกซ์ขยายกันดีกว่า
แนวคิดของระบบสมการเชิงเส้นแบบเอกพันธ์
ระบบสมการเชิงเส้นซึ่งพจน์อิสระทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 0 กล่าวคือ ระบบของรูปแบบเรียกว่าเอกพันธ์
คุณสมบัติของสารละลายสำหรับ SLE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน
ผลรวมเชิงเส้นของคำตอบของระบบสมการเอกพันธ์ก็เป็นคำตอบของระบบนี้เช่นกัน x=และ y=
ความสัมพันธ์ระหว่างคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นแบบเอกพันธ์และแบบไม่เอกพันธ์
ลองพิจารณาทั้งสองระบบ: ฉันและ
แนวทางเชิงสัจพจน์เพื่อกำหนดปริภูมิเชิงเส้น
ก่อนหน้านี้ แนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติถูกนำมาใช้เป็นกลุ่มของระบบเรียงลำดับของจำนวนจริง n ซึ่งนำการดำเนินการของการบวกและการคูณด้วยจำนวนจริงมาใช้
ข้อพิสูจน์จากสัจพจน์
1. เอกลักษณ์ของเวกเตอร์ศูนย์ 2. เอกลักษณ์ของเวกเตอร์ตรงข้าม
หลักฐานของผลที่ตามมา
1. สมมุติว่า. -ศูนย์
พื้นฐาน มิติ. พิกัด
คำจำกัดความ 1. พื้นฐานของปริภูมิเชิงเส้น L คือระบบขององค์ประกอบที่เป็นของ L ที่ตรงตามเงื่อนไขสองประการ: 1) ระบบ
ค) (xe+y"=1, d) (x"+y"=2a - 1,
(xy=a; (xy=a - 1?
9.198. ค้นหาจำนวนคำตอบของระบบสมการ ((x(+)y~=!,
ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์
9.199. ระบบสมการจะมีคำตอบได้กี่ข้อ ขึ้นอยู่กับ:
ก) (x"+y"=9, ข) (x"+y"+!Ox=0,
(~x~ =y - ก; (y=~x - a~?
9.200. ระบบสมการมีค่าพารามิเตอร์เท่าใด
มีสามวิธีใช่ไหม? ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้
9.201. ค่าของพารามิเตอร์ p ใดที่ระบบสมการ
(ру+х) (х - р УЗ)=О
มีสามวิธีใช่ไหม?
9.202. ระบบสมการมีค่าพารามิเตอร์ b เท่าใด
ก) 1 ~x~ +4)y~ = b, b) 1 x~ +2 ~y(= 1, c) (~y! +x =4
- ~ย!+xr=1 ! ~y!+xr=b (x +Y =b
มีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันสี่แบบใช่ไหม?
9.208. ค่าของพารามิเตอร์ c ใดที่ระบบสมการ
มีวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างกันแปดแบบใช่ไหม
9.204. แก้ระบบสมการ
โดยที่ a)O และพิสูจน์ว่าถ้า a เป็นจำนวนเต็ม แล้วสำหรับ
ของแต่ละคำตอบ (x; y) ของระบบที่กำหนด ตัวเลข 1+xy คือกำลังสองของจำนวนเต็ม
9.205. ระบบสมการมีค่าพารามิเตอร์เท่าใด
x"+ y"+ 2xy - bx - bu+ 10 - a = O,
x"+ y" - 2xy - 2x+ 2Y+ a = O
มีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธีใช่ไหม
แก้ระบบหาค่าที่พบของ a
9.206. ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a ที่ระบบ
สมการ (x"+(y - 2)"=1 มีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งข้อ
9.207. ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a ซึ่งวงกลม x" + d" = 1 และ (x - a) " + d" = 4 สัมผัส
9.208. ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a (a>O) ซึ่งวงกลม x"+d"=1 และ (x - 3)"+(d - 4)"=a" สัมผัส
ค้นหาพิกัดของจุดติดต่อ
9.209. ค้นหาค่าทั้งหมดของ (a>0) ที่เป็นวงกลม
x"+d"=a" แตะเส้น 3x+4d=12 ค้นหาพิกัดของจุดสัมผัส
D" - 2x+ 4d = 21 ค้นหาพิกัดของจุดตัด
เส้นตรงและวงกลม
9.211. เส้นตรง ed=x+1 จะเป็นค่าเท่าใดของพารามิเตอร์ a
ผ่านจุดศูนย์กลางวงกลม (x - 1) + (d - a)"=8?
ค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นตรงและวงกลม
9 212 เป็นที่รู้กันว่าเส้นตรง d = 12x - 9 และพาราโบลา d = ax" มี
มีเพียงจุดเดียวเท่านั้น ค้นหาพิกัดของจุดนี้
9.213. วงกลมมีค่า b และ z (b>0, z>0) เท่าใด
(x - 1)"+(d - b)"=g" จะแตะเส้นตรง d=0 และ d= - x?
ค้นหาพิกัดของจุดสัมผัส
9.214. วาดเซตของจุดบนระนาบพิกัดด้วย
พิกัด (ก; ข) เช่น ระบบสมการ
มีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธี
9.215. ระบบสมการมีค่าพารามิเตอร์เท่าใด
ก (x"+ 1) = d - ~ x ~ + 1,
มีวิธีแก้ปัญหาเดียวเหรอ?
9 1อ. ปัญหาเกี่ยวกับข้อความ
โดยปกติปัญหาคำศัพท์จะได้รับการแก้ไขตามรูปแบบต่อไปนี้: เลือกสิ่งที่ไม่รู้จัก สร้างสมการหรือระบบสมการและในปัญหาบางอย่าง - ความไม่เท่าเทียมกันหรือระบบความไม่เท่าเทียมกัน แก้ระบบผลลัพธ์ (บางครั้งก็เพียงพอที่จะค้นหาชุดค่าผสมของสิ่งที่ไม่รู้จักจากระบบ และไม่ได้แก้ไขด้วยวิธีปกติ)
ถึง งานที่มีพารามิเตอร์อาจรวมถึงการค้นหาวิธีแก้ปัญหาเชิงเส้นและ สมการกำลังสองวี ปริทัศน์, การศึกษาสมการสำหรับจำนวนรากที่มีอยู่ขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์
พิจารณาสมการต่อไปนี้เป็นตัวอย่างโดยไม่ต้องให้คำจำกัดความโดยละเอียด
y = kx โดยที่ x, y เป็นตัวแปร, k คือพารามิเตอร์
y = kx + b โดยที่ x, y เป็นตัวแปร k และ b เป็นพารามิเตอร์
ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นพารามิเตอร์
การแก้สมการ (อสมการ, ระบบ) ด้วยค่าเฉลี่ยของพารามิเตอร์, การแก้ชุดสมการอนันต์ (อสมการ, ระบบ)
งานที่มีพารามิเตอร์สามารถแบ่งออกเป็นสองประเภท:
ก)เงื่อนไขบอกว่า: แก้สมการ (อสมการ, ระบบ) - นี่หมายความว่าสำหรับค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ให้ค้นหาคำตอบทั้งหมด หากมีอย่างน้อยหนึ่งกรณียังคงไม่ได้รับการตรวจสอบ การแก้ปัญหาดังกล่าวจะไม่ถือว่าน่าพอใจ
ข)จำเป็นต้องระบุ ค่าที่เป็นไปได้พารามิเตอร์ที่สมการ (อสมการ, ระบบ) มีคุณสมบัติบางอย่างอยู่ภายใต้สมการ ตัวอย่างเช่น มีวิธีแก้ปัญหาเดียว ไม่มีวิธีแก้ปัญหา มีวิธีแก้ปัญหาตามช่วงเวลา เป็นต้น ในงานดังกล่าว จำเป็นต้องระบุอย่างชัดเจนว่าค่าพารามิเตอร์ใดที่เงื่อนไขที่ต้องการเป็นไปตาม
พารามิเตอร์ซึ่งเป็นตัวเลขคงที่ที่ไม่รู้จัก มีลักษณะเป็นคู่พิเศษ ก่อนอื่น จำเป็นต้องคำนึงว่าชื่อเสียงที่สันนิษฐานนั้นบ่งชี้ว่าพารามิเตอร์จะต้องถูกมองว่าเป็นตัวเลข ประการที่สอง เสรีภาพในการจัดการกับพารามิเตอร์นั้นถูกจำกัดด้วยความสับสน ตัวอย่างเช่น การดำเนินการหารด้วยนิพจน์ที่มีพารามิเตอร์หรือการแยกรากของดีกรีคู่ออกจากนิพจน์ดังกล่าวจำเป็นต้องมีการวิจัยเบื้องต้น ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีความระมัดระวังในการจัดการพารามิเตอร์
ตัวอย่างเช่น หากต้องการเปรียบเทียบตัวเลขสองตัว -6a และ 3a คุณต้องพิจารณาสามกรณี:
1) -6a จะมากกว่า 3a ถ้า a เป็นจำนวนลบ
2) -6a = 3a ในกรณีที่ a = 0;
3) -6a จะน้อยกว่า 3a ถ้า a เป็นเลขบวก 0
การแก้ปัญหาจะเป็นคำตอบ
ให้สมการ kx = b ออกมา สมการนี้เป็นการจดชวเลขของสมการจำนวนอนันต์ที่มีตัวแปรตัวเดียว
เมื่อแก้สมการดังกล่าวอาจมีกรณี:
1. ให้ k เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ และ b เป็นจำนวนใดๆ จาก R แล้ว x = b/k
2. ให้ k = 0 และ b ≠ 0 สมการเดิมจะอยู่ในรูปแบบ 0 x = b แน่นอนว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ
3. ให้ k และ b เป็นตัวเลขเท่ากับศูนย์ แล้วเราจะมีค่าเท่ากัน 0 x = 0 ผลเฉลยของมันคือจำนวนจริงใดๆ
อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการประเภทนี้:
1. กำหนดค่า "ควบคุม" ของพารามิเตอร์
2. แก้สมการเดิมของ x สำหรับค่าพารามิเตอร์ที่กำหนดในย่อหน้าแรก
3. แก้สมการเดิมของ x สำหรับค่าพารามิเตอร์ที่แตกต่างจากที่เลือกไว้ในย่อหน้าแรก
4. คุณสามารถเขียนคำตอบในรูปแบบต่อไปนี้:
1) สำหรับ ... (ค่าพารามิเตอร์) สมการมีราก ...;
2) สำหรับ ... (ค่าพารามิเตอร์) จะไม่มีรากในสมการ
ตัวอย่างที่ 1
แก้สมการด้วยพารามิเตอร์ |6 – x| = ก.
สารละลาย.
มันง่ายที่จะเห็นว่า ≥ 0 ตรงนี้
ตามกฎของโมดูล 6 – x = ±a เราจะแสดง x:
คำตอบ: x = 6 ± a โดยที่ ≥ 0
ตัวอย่างที่ 2
แก้สมการ a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 เทียบกับตัวแปร x
สารละลาย.
ลองเปิดวงเล็บ: aх – а + 2х – 2 = 0
ลองเขียนสมการในรูปแบบมาตรฐาน: x(a + 2) = a + 2
หากนิพจน์ a + 2 ไม่เป็นศูนย์ เช่น ถ้า a ≠ -2 เรามีวิธีแก้ปัญหา x = (a + 2) / (a + 2) เช่น x = 1
ถ้า a + 2 เท่ากับศูนย์ นั่นคือ a = -2 แล้วเราจะมีความเสมอภาคที่ถูกต้อง 0 x = 0 ดังนั้น x จึงเป็นจำนวนจริงใดๆ
คำตอบ: x = 1 สำหรับ ≠ -2 และ x € R สำหรับ a = -2
ตัวอย่างที่ 3
แก้สมการ x/a + 1 = a + x เทียบกับตัวแปร x
สารละลาย.
ถ้า a = 0 เราจะแปลงสมการเป็นรูปแบบ a + x = a 2 + ax หรือ (a – 1)x = -a(a – 1) สมการสุดท้ายของ a = 1 มีรูปแบบ 0 x = 0 ดังนั้น x จึงเป็นตัวเลขใดๆ
ถ้า ≠ 1 สมการสุดท้ายจะอยู่ในรูปแบบ x = -a
วิธีนี้สามารถแสดงตัวอย่างได้บนเส้นพิกัด (รูปที่ 1)
คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหาสำหรับ a = 0; x – ตัวเลขใดๆ ที่มี a = 1; x = -a สำหรับ ≠ 0 และ ≠ 1
วิธีการแบบกราฟิก
ลองพิจารณาอีกวิธีหนึ่งในการแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ - แบบกราฟิก วิธีนี้ใช้ค่อนข้างบ่อย
ตัวอย่างที่ 4
ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ a สมการ ||x| มีกี่ราก – 2| = ก?
สารละลาย.
ในการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีกราฟิก เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = ||x| – 2| และ y = ก (รูปที่ 2).
ภาพวาดแสดงให้เห็นกรณีที่เป็นไปได้อย่างชัดเจนของตำแหน่งของเส้นตรง y = a และจำนวนรากในแต่ละเส้น
คำตอบ: สมการจะไม่มีรากถ้า a< 0; два корня будет в случае, если a >2 และ ก = 0; สมการจะมีสามรากในกรณีของ a = 2; สี่ราก – ที่ 0< a < 2.
ตัวอย่างที่ 5
สมการ 2|x| คืออะไร + |x – 1| = a มีรูตเดียวเหรอ?
สารละลาย.
ให้เราพรรณนากราฟของฟังก์ชัน y = 2|x| + |x – 1| และ y = ก สำหรับ y = 2|x| + |x – 1| ขยายโมดูลโดยใช้วิธีช่วงเวลา เราได้รับ:
(-3x + 1 ที่ x< 0,
y = (x + 1, สำหรับ 0 ≤ x ≤ 1,
(3x – 1, สำหรับ x > 1
บน รูปที่ 3จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าสมการจะมีรากเดียวก็ต่อเมื่อ a = 1
คำตอบ: ก = 1
ตัวอย่างที่ 6
หาจำนวนคำตอบของสมการ |x + 1| + |x + 2| = a ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ a?
สารละลาย.
กราฟของฟังก์ชัน y = |x + 1| + |x + 2| จะเป็นเส้นขาด จุดยอดจะอยู่ที่จุด (-2; 1) และ (-1; 1) (ภาพที่ 4).
คำตอบ: ถ้าพารามิเตอร์ a น้อยกว่าหนึ่ง สมการก็จะไม่มีราก ถ้า a = 1 ดังนั้นคำตอบของสมการคือชุดตัวเลขจำนวนอนันต์จากเซ็กเมนต์ [-2; -1]; หากค่าของพารามิเตอร์ a มากกว่าหนึ่งสมการจะมีสองราก
ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่ทราบวิธีแก้สมการด้วยพารามิเตอร์ใช่ไหม
เพื่อขอความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ -.
บทเรียนแรกฟรี!
blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม
อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติมีกรณีเกิดขึ้นอีกสองกรณี:
– ระบบไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ไข)
– ระบบมีความสม่ำเสมอและมีโซลูชั่นมากมายไม่สิ้นสุด
บันทึก : คำว่า "ความสม่ำเสมอ" หมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยที่สุด ในปัญหาหลายประการ จำเป็นต้องตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบก่อน วิธีการทำเช่นนี้ ดูบทความใน อันดับของเมทริกซ์.
สำหรับระบบเหล่านี้จะใช้วิธีการแก้ปัญหาที่เป็นสากลมากที่สุด - วิธีเกาส์เซียน- ในความเป็นจริงวิธี "โรงเรียน" จะนำไปสู่คำตอบด้วย แต่ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงเป็นเรื่องปกติที่จะใช้วิธีการแบบเกาส์เซียนในการกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบตามลำดับ ผู้ที่ไม่คุ้นเคยกับอัลกอริธึมวิธีแบบเกาส์เซียนโปรดศึกษาบทเรียนก่อน วิธีเกาส์เซียนสำหรับหุ่นจำลอง.
การแปลงเมทริกซ์เบื้องต้นนั้นเหมือนกันทุกประการความแตกต่างจะอยู่ที่จุดสิ้นสุดของการแก้ปัญหา ขั้นแรก มาดูตัวอย่างสองสามตัวอย่างเมื่อระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่สอดคล้องกัน)
ตัวอย่างที่ 1
อะไรดึงดูดสายตาคุณเกี่ยวกับระบบนี้ในทันที? จำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนตัวแปร ถ้าจำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนตัวแปรแล้วเราก็บอกได้ทันทีว่าระบบไม่สอดคล้องกันหรือมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด และสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการค้นหา
จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหาเป็นเรื่องธรรมดาโดยสมบูรณ์ - เราเขียนเมทริกซ์แบบขยายของระบบและนำมันมาเป็นรูปแบบขั้นตอนโดยใช้การแปลงเบื้องต้น:
(1) ที่ขั้นตอนซ้ายบน เราต้องได้ +1 หรือ –1 ไม่มีตัวเลขดังกล่าวในคอลัมน์แรก ดังนั้นการจัดเรียงแถวใหม่จึงไม่ได้ผลอะไร หน่วยจะต้องจัดระเบียบตัวเองและสามารถทำได้หลายวิธี ฉันทำสิ่งนี้: เราเพิ่มบรรทัดที่สามคูณด้วย -1 ในบรรทัดแรก
(2) ตอนนี้เราได้ศูนย์สองตัวในคอลัมน์แรก ไปที่บรรทัดที่สองเราบวกบรรทัดแรกคูณด้วย 3 ไปที่บรรทัดที่สามเราบวกบรรทัดแรกคูณด้วย 5
(3) หลังจากการแปลงเสร็จสิ้น ขอแนะนำให้ดูว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะลดความซับซ้อนของสตริงผลลัพธ์? สามารถ. เราหารบรรทัดที่สองด้วย 2 ในขณะเดียวกันก็รับค่าที่ต้องการ –1 ในขั้นตอนที่สอง หารบรรทัดที่สามด้วย –3
(4) เพิ่มบรรทัดที่สองเข้ากับบรรทัดที่สาม
ทุกคนคงสังเกตเห็นเส้นที่ไม่ดีซึ่งเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น: 
- เป็นที่ชัดเจนว่าสิ่งนี้ไม่สามารถเป็นเช่นนั้นได้ อันที่จริง ขอให้เราเขียนเมทริกซ์ผลลัพธ์ใหม่ 
กลับไปสู่ระบบสมการเชิงเส้น: 
จากผลของการแปลงเบื้องต้น หากได้รับสตริงของแบบฟอร์ม โดยที่ตัวเลขไม่เป็นศูนย์ แสดงว่าระบบไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา)
จะเขียนการสิ้นสุดของงานได้อย่างไร? มาวาดด้วยชอล์กสีขาวกันเถอะ: “ อันเป็นผลมาจากการแปลงเบื้องต้นจะได้สตริงของแบบฟอร์ม โดยที่ ” ได้รับและให้คำตอบ: ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่สอดคล้องกัน)
หากตามเงื่อนไข หากจำเป็นต้องวิจัยระบบเพื่อความเข้ากันได้ ก็จำเป็นต้องจัดทำโซลูชันอย่างเป็นทางการในรูปแบบที่มั่นคงมากขึ้นโดยใช้แนวคิด อันดับเมทริกซ์และทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี.
โปรดทราบว่าไม่มีการกลับรายการอัลกอริธึมเกาส์เซียนที่นี่ - ไม่มีวิธีแก้ปัญหาและไม่มีอะไรให้ค้นหา
ตัวอย่างที่ 2
แก้ระบบสมการเชิงเส้น 
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน ฉันขอเตือนคุณอีกครั้งว่าโซลูชันของคุณอาจแตกต่างจากโซลูชันของฉัน อัลกอริธึมแบบเกาส์ไม่มี "ความแข็งแกร่ง" มากนัก
อีกอันหนึ่ง คุณสมบัติทางเทคนิควิธีแก้ปัญหา: สามารถหยุดการแปลงเบื้องต้นได้ ในครั้งเดียวทันทีที่บรรทัดเช่นที่ไหน ลองพิจารณาตัวอย่างที่มีเงื่อนไข: สมมติว่าหลังจากการแปลงครั้งแรกจะได้รับเมทริกซ์ 
- เมทริกซ์ยังไม่ได้ถูกลดขนาดเป็นรูปแบบระดับ แต่ไม่จำเป็นต้องทำการแปลงเบื้องต้นเพิ่มเติม เนื่องจากมีเส้นของแบบฟอร์มปรากฏขึ้น โดยที่ ควรตอบทันทีว่าระบบเข้ากันไม่ได้
เมื่อระบบสมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบ ก็แทบจะเป็นของขวัญเลยเพราะว่าได้คำตอบสั้นๆ ซึ่งบางครั้งอาจใช้เวลา 2-3 ขั้นตอนจริงๆ
แต่ทุกสิ่งในโลกนี้มีความสมดุล และปัญหาที่ระบบมีวิธีแก้ไขมากมายอย่างไม่สิ้นสุดนั้นยาวนานกว่านั้น
ตัวอย่างที่ 3
แก้ระบบสมการเชิงเส้น 
มี 4 สมการและ 4 ไม่ทราบ ดังนั้นระบบอาจมีคำตอบเดียวหรือไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน อย่างไรก็ตาม วิธีเกาส์เซียนจะนำเราไปสู่คำตอบไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม นี่คือความเก่งกาจของมัน
จุดเริ่มต้นเป็นมาตรฐานอีกครั้ง ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ และนำมันมาอยู่ในรูปแบบขั้นตอนโดยใช้การแปลงเบื้องต้น: 
เพียงเท่านี้คุณก็กลัว
(1) โปรดทราบว่าตัวเลขทั้งหมดในคอลัมน์แรกหารด้วย 2 ลงตัว ดังนั้น 2 ก็ใช้ได้ที่ขั้นตอนบนซ้าย ไปที่บรรทัดที่สองเราบวกบรรทัดแรกคูณด้วย –4 ไปที่บรรทัดที่สามเราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย –2 ไปที่บรรทัดที่สี่เราเพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย –1
ความสนใจ!หลายคนอาจถูกล่อลวงโดยบรรทัดที่สี่ ลบเส้นแรก. สามารถทำได้ แต่ไม่จำเป็น ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดในการคำนวณเพิ่มขึ้นหลายครั้ง เพียงเพิ่ม: ไปที่บรรทัดที่สี่ให้เพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย –1 – อย่างแน่นอน!
(2) สามบรรทัดสุดท้ายเป็นสัดส่วน สามารถลบสองบรรทัดได้
นี่เราต้องโชว์อีกแล้ว เพิ่มความสนใจแต่เส้นเป็นสัดส่วนจริงหรือ? เพื่อความปลอดภัย (โดยเฉพาะสำหรับกาน้ำชา) เป็นความคิดที่ดีที่จะคูณบรรทัดที่สองด้วย –1 และหารบรรทัดที่สี่ด้วย 2 ทำให้ได้บรรทัดที่เหมือนกันสามบรรทัด และหลังจากนั้นก็ถอดสองตัวออก
จากผลของการแปลงเบื้องต้น เมทริกซ์ขยายของระบบจะลดลงเป็นรูปแบบขั้นตอน: 
เมื่อเขียนงานลงในสมุดบันทึกขอแนะนำให้จดบันทึกเดียวกันด้วยดินสอเพื่อความชัดเจน
ให้เราเขียนระบบสมการที่เกี่ยวข้องใหม่: 
ไม่มีกลิ่นของสารละลายเดี่ยว "ธรรมดา" ในระบบที่นี่ ไม่มีเส้นที่ไม่ดีเช่นกัน ซึ่งหมายความว่านี่เป็นกรณีที่สามที่เหลืออยู่ - ระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด บางครั้ง ตามเงื่อนไข จำเป็นต้องตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบ (เช่น พิสูจน์ว่ามีวิธีแก้ปัญหาอยู่เลย) คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในย่อหน้าสุดท้ายของบทความ จะค้นหาอันดับของเมทริกซ์ได้อย่างไร?แต่สำหรับตอนนี้เรามาดูข้อมูลพื้นฐานกันดีกว่า:
ชุดวิธีแก้ปัญหาที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับระบบนั้นเขียนโดยย่อในรูปแบบของสิ่งที่เรียกว่า วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ .
เราค้นหาคำตอบทั่วไปของระบบโดยใช้วิธีผกผันของวิธีเกาส์เซียน
ก่อนอื่นเราต้องกำหนดตัวแปรที่เรามี ขั้นพื้นฐานและตัวแปรใดบ้าง ฟรี- คุณไม่จำเป็นต้องกังวลกับเงื่อนไขของพีชคณิตเชิงเส้น เพียงจำไว้ว่ามีเงื่อนไขดังกล่าวอยู่ ตัวแปรพื้นฐานและ ตัวแปรอิสระ.
ตัวแปรพื้นฐานจะ “นั่ง” ตามขั้นตอนของเมทริกซ์อย่างเคร่งครัดเสมอ.
ในตัวอย่างนี้ ตัวแปรพื้นฐานคือ และ
ตัวแปรอิสระคือทุกสิ่ง ที่เหลืออยู่ตัวแปรที่ไม่ได้รับขั้นตอน ในกรณีของเรามีอยู่สองตัว: – ตัวแปรอิสระ
ตอนนี้คุณต้องการ ทั้งหมด ตัวแปรพื้นฐานด่วน ผ่านเท่านั้น ตัวแปรอิสระ.
การย้อนกลับของอัลกอริธึมแบบเกาส์เซียนมักจะทำงานจากล่างขึ้นบน
จากสมการที่สองของระบบเราแสดงตัวแปรพื้นฐาน:
ตอนนี้ดูสมการแรก: 
- ขั้นแรกเราแทนที่นิพจน์ที่พบลงไป: 
ยังคงแสดงตัวแปรพื้นฐานในแง่ของตัวแปรอิสระ: 
ในที่สุดเราก็ได้สิ่งที่ต้องการ- ทั้งหมดตัวแปรพื้นฐาน ( และ ) จะถูกแสดงออกมา ผ่านเท่านั้นตัวแปรอิสระ: 
ที่จริงแล้วโซลูชันทั่วไปพร้อมแล้ว: 
จะเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้อย่างไร?
ตัวแปรอิสระจะถูกเขียนลงในโซลูชันทั่วไป "ด้วยตัวเอง" และแทนที่อย่างเคร่งครัด ในกรณีนี้ ควรเขียนตัวแปรอิสระในตำแหน่งที่สองและสี่: 
.
นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับตัวแปรพื้นฐาน 
และจำเป็นต้องเขียนในตำแหน่งที่หนึ่งและสามอย่างชัดเจน: 
ให้ตัวแปรอิสระ ค่าที่กำหนดเองคุณจะพบมากมายนับไม่ถ้วน โซลูชั่นส่วนตัว- ค่าที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคือศูนย์เนื่องจากโซลูชันเฉพาะนั้นหาได้ง่ายที่สุด ลองใช้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปแทน: 
– โซลูชั่นส่วนตัว
คู่หวานอีกคู่คือคู่หนึ่ง ลองแทนที่มันลงในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป: 
– อีกหนึ่งโซลูชั่นส่วนตัว
จะเห็นได้ง่ายว่าระบบสมการนั้นมี โซลูชั่นมากมายอนันต์(เนื่องจากเราสามารถให้ตัวแปรอิสระได้ ใดๆค่า)
แต่ละวิธีแก้ปัญหาเฉพาะจะต้องเป็นไปตามนั้น ถึงแต่ละคนสมการของระบบ นี่เป็นพื้นฐานสำหรับการตรวจสอบความถูกต้องของโซลูชัน "อย่างรวดเร็ว" ตัวอย่างเช่น ใช้วิธีแก้ปัญหาเฉพาะและแทนที่มันทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบเดิม: 
ทุกอย่างต้องมาคู่กัน และด้วยวิธีแก้ปัญหาเฉพาะใดๆ ที่คุณได้รับ ทุกอย่างก็ควรจะตกลงเช่นกัน
แต่พูดอย่างเคร่งครัด การตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะบางครั้งก็เป็นการหลอกลวง เช่น วิธีแก้ปัญหาบางอย่างอาจเป็นไปตามแต่ละสมการของระบบ แต่จริงๆ แล้ววิธีแก้ปัญหาทั่วไปกลับพบว่าไม่ถูกต้อง
ดังนั้นการตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจึงมีความละเอียดถี่ถ้วนและเชื่อถือได้มากขึ้น วิธีตรวจสอบผลลัพธ์วิธีแก้ปัญหาทั่วไป 
?
มันไม่ใช่เรื่องยากแต่ค่อนข้างน่าเบื่อ เราจำเป็นต้องใช้การแสดงออก ขั้นพื้นฐานตัวแปรในกรณีนี้ 
และ และแทนที่มันทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ
ทางด้านซ้ายของสมการแรกของระบบ: 
ทางด้านซ้ายของสมการที่สองของระบบ: 
จะได้ด้านขวาของสมการดั้งเดิม
ตัวอย่างที่ 4
แก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปและวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสองข้อ ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป 
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ จำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนไม่ทราบ ซึ่งหมายความว่าชัดเจนทันทีว่าระบบจะไม่สอดคล้องกันหรือมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด อะไรคือสิ่งสำคัญในกระบวนการตัดสินใจ? ให้ความสนใจและความสนใจอีกครั้ง- เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน
และอีกสองสามตัวอย่างเพื่อเสริมกำลังวัสดุ
ตัวอย่างที่ 5
แก้ระบบสมการเชิงเส้น หากระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน ให้ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสองข้อ และตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไป 
สารละลาย: ลองเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบแล้วใช้การแปลงเบื้องต้น ทำให้มันอยู่ในรูปแบบขั้นตอน: 
(1) เพิ่มบรรทัดแรกลงในบรรทัดที่สอง ไปที่บรรทัดที่สามเราบวกบรรทัดแรกคูณด้วย 2 ไปที่บรรทัดที่สี่เราบวกบรรทัดแรกคูณด้วย 3
(2) ไปที่บรรทัดที่สาม เราบวกบรรทัดที่สอง คูณด้วย –5 ไปที่บรรทัดที่สี่เราเพิ่มบรรทัดที่สองคูณด้วย –7
(3) บรรทัดที่สามและสี่เหมือนกัน เราจะลบบรรทัดใดบรรทัดหนึ่งออก
นี่คือความงามเช่นนี้: 
ตัวแปรพื้นฐานขึ้นอยู่กับขั้นตอน ดังนั้น - ตัวแปรพื้นฐาน
มีตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียวที่ไม่ได้รับขั้นตอน:
ย้อนกลับ:
เรามาแสดงตัวแปรพื้นฐานผ่านตัวแปรอิสระกันดีกว่า:
จากสมการที่สาม: 
ลองพิจารณาสมการที่สองและแทนที่นิพจน์ที่พบลงไป: 
ลองพิจารณาสมการแรกและแทนที่นิพจน์ที่พบแล้วลงในสมการนั้น: 
ใช่แล้ว เครื่องคิดเลขที่คำนวณเศษส่วนธรรมดาก็ยังสะดวกอยู่
ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ: 
เกิดขึ้นอีกครั้งได้อย่างไร? ตัวแปรอิสระอยู่เพียงลำพังในตำแหน่งที่สี่ที่ถูกต้อง นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับตัวแปรพื้นฐานยังอยู่ในลำดับด้วย
ให้เราตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปทันที งานเพื่อคนผิวดำแต่ทำไปแล้วก็รับไว้ =)
เราแทนที่ฮีโร่สามตัว , , ลงในด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ:
จะได้ทางด้านขวามือของสมการที่สอดคล้องกัน ดังนั้นจึงสามารถหาคำตอบทั่วไปได้ถูกต้อง
ตอนนี้จากวิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่พบ 
เราได้รับวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสองประการ ตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียวที่นี่คือพ่อครัว ไม่จำเป็นต้องเก็บสมองของคุณ
ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น 
– โซลูชั่นส่วนตัว
ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น 
– อีกหนึ่งโซลูชั่นส่วนตัว
คำตอบ: การตัดสินใจร่วมกัน: 
, โซลูชั่นส่วนตัว: 
, .
ฉันไม่ควรจำเรื่องคนผิวดำ... ...เพราะแรงจูงใจซาดิสม์ทุกประเภทเข้ามาในหัวของฉัน และฉันจำภาพโฟโต้ช็อปอันโด่งดังซึ่งมี Ku Klux Klansmen ในชุดคลุมสีขาววิ่งข้ามสนามตามนักฟุตบอลผิวดำคนหนึ่ง ฉันนั่งยิ้มเงียบๆ รู้ไหมว่ากวนใจแค่ไหน...
คณิตศาสตร์จำนวนมากเป็นอันตราย ดังนั้นจึงเป็นตัวอย่างสุดท้ายที่คล้ายกันสำหรับการแก้ปัญหาด้วยตัวเอง
ตัวอย่างที่ 6
หาคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น 
ฉันได้ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปแล้ว คำตอบที่เชื่อถือได้ วิธีแก้ปัญหาของคุณอาจแตกต่างจากวิธีแก้ปัญหาของฉัน สิ่งสำคัญคือวิธีแก้ปัญหาทั่วไปตรงกัน
หลายๆ คนอาจสังเกตเห็นช่วงเวลาที่ไม่พึงประสงค์ในการแก้ปัญหา บ่อยครั้งมากเมื่อย้อนกลับวิธีเกาส์ เราต้องแก้ไข เศษส่วนสามัญ- ในทางปฏิบัติ เป็นเช่นนี้จริง ๆ กรณีที่ไม่มีเศษส่วนพบได้น้อยกว่ามาก เตรียมตัวให้พร้อมทั้งจิตใจและที่สำคัญที่สุดคือทางเทคนิค
ฉันจะอาศัยคุณลักษณะบางอย่างของโซลูชันที่ไม่พบในตัวอย่างที่แก้ไขแล้ว
วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบบางครั้งอาจมีค่าคงที่ (หรือค่าคงที่) เช่น: ตัวแปรพื้นฐานตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับจำนวนคงที่: ไม่มีอะไรแปลกใหม่เกี่ยวกับเรื่องนี้ มันเกิดขึ้น แน่นอนว่าในกรณีนี้ ผลเฉลยใดๆ จะมีเลข 5 อยู่ในตำแหน่งแรก
ไม่ค่อยมี แต่มีระบบที่ จำนวนสมการมากกว่าจำนวนตัวแปร- วิธีเกาส์เซียนทำงานในสภาวะที่รุนแรงที่สุด ควรลดเมทริกซ์ที่ขยายของระบบให้อยู่ในรูปแบบขั้นตอนโดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน ระบบดังกล่าวอาจไม่สอดคล้องกัน อาจมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด และที่น่าแปลกก็คืออาจมีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียว
การศึกษาระบบสมการอายุเชิงเส้นเชิงเส้น (SLAE) เพื่อความสอดคล้องหมายถึงการค้นหาว่าระบบนี้มีคำตอบหรือไม่มีคำตอบ ถ้ามีวิธีแก้ปัญหาก็ให้ระบุว่ามีกี่วิธี
เราต้องการข้อมูลจากหัวข้อ "ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น เงื่อนไขพื้นฐาน รูปแบบเมทริกซ์ของสัญกรณ์" โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แนวคิดต่างๆ เช่น เมทริกซ์ระบบและเมทริกซ์ระบบแบบขยายมีความจำเป็น เนื่องจากการกำหนดทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลีมีพื้นฐานมาจากแนวคิดเหล่านี้ ตามปกติ เราจะแสดงเมทริกซ์ระบบด้วยตัวอักษร $A$ และเมทริกซ์ขยายของระบบด้วยตัวอักษร $\widetilde(A)$
ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี
ระบบเชิงเส้นตรง สมการพีชคณิตมีความสอดคล้องถ้าหากอันดับของเมทริกซ์ระบบเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยายของระบบนั่นคือ $\rang A=\rang\widetilde(A)$.
ฉันขอเตือนคุณว่าระบบเรียกว่าข้อต่อหากมีอย่างน้อยหนึ่งวิธี ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลีบอกว่า: หาก $\rang A=\rang\widetilde(A)$ แสดงว่ามีวิธีแก้ ถ้า $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ ดังนั้น SLAE นี้จะไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่สอดคล้องกัน) คำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับจำนวนของคำตอบเหล่านี้ได้รับจากข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี ในการกำหนดข้อพิสูจน์ จะใช้ตัวอักษร $n$ ซึ่งเท่ากับจำนวนตัวแปรของ SLAE ที่กำหนด
ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี
- หาก $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ แสดงว่า SLAE นั้นไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ไข)
- ถ้า $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
- ถ้า $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$ ดังนั้น SLAE จะเป็นค่าที่แน่นอน (มีคำตอบเดียวเท่านั้น)
โปรดทราบว่าทฤษฎีบทที่จัดทำขึ้นและข้อพิสูจน์ไม่ได้ระบุวิธีหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับ SLAE ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณจะสามารถทราบได้ว่าโซลูชันเหล่านี้มีอยู่จริงหรือไม่ และถ้ามีอยู่ ก็มีเท่าใด
ตัวอย่างหมายเลข 1
สำรวจ SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned )\right.$ สำหรับความเข้ากันได้ หาก SLAE เข้ากันได้ ให้ระบุจำนวนวิธีแก้ไข
ในการค้นหาการมีอยู่ของคำตอบสำหรับ SLAE ที่กำหนด เราใช้ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี เราจะต้องมีเมทริกซ์ของระบบ $A$ และเมทริกซ์ขยายของระบบ $\widetilde(A)$ เราจะเขียนมัน:
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(อาร์เรย์) \right) -
เราจำเป็นต้องค้นหา $\rang A$ และ $\rang\widetilde(A)$ มีหลายวิธีในการดำเนินการนี้ ซึ่งบางวิธีจะแสดงอยู่ในส่วนอันดับเมทริกซ์ โดยทั่วไปแล้ว ในการศึกษาระบบดังกล่าวจะใช้สองวิธี: "การคำนวณอันดับของเมทริกซ์ตามคำจำกัดความ" หรือ "การคำนวณอันดับของเมทริกซ์โดยวิธีการแปลงเบื้องต้น"
วิธีที่ 1 อันดับการคำนวณตามคำจำกัดความ
ตามคำจำกัดความ อันดับคือลำดับสูงสุดของเมทริกซ์รอง ซึ่งมีอย่างน้อยหนึ่งรายการที่แตกต่างจากศูนย์ โดยปกติแล้ว การศึกษาจะเริ่มต้นด้วยผู้เยาว์ลำดับที่ 1 แต่ในที่นี้จะสะดวกกว่าที่จะเริ่มคำนวณผู้เยาว์ลำดับที่ 3 ของเมทริกซ์ $A$ ทันที องค์ประกอบย่อยลำดับที่สามจะอยู่ที่จุดตัดของสามแถวและสามคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่ต้องการ เนื่องจากเมทริกซ์ $A$ มีเพียง 3 แถวและ 3 คอลัมน์ ลำดับที่สามรองของเมทริกซ์ $A$ จึงเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ $A$ กล่าวคือ $\เดลต้า A$. ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์เราใช้สูตรหมายเลข 2 จากหัวข้อ "สูตรสำหรับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของลำดับที่สองและสาม":
$$ \เดลต้า A=\ซ้าย| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. -
ดังนั้น มีลำดับที่สามรองของเมทริกซ์ $A$ ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างรายการย่อยลำดับที่สี่ เนื่องจากต้องใช้ 4 แถวและ 4 คอลัมน์ และเมทริกซ์ $A$ มีเพียง 3 แถวและ 3 คอลัมน์เท่านั้น ดังนั้น ลำดับสูงสุดของตัวรองของเมทริกซ์ $A$ ซึ่งมีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ไม่เท่ากับศูนย์ จะเท่ากับ 3 ดังนั้น $\rang A=3$
เรายังต้องหา $\rang\widetilde(A)$ ด้วย ลองดูที่โครงสร้างของเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ จนถึงบรรทัดในเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ มีองค์ประกอบของเมทริกซ์ $A$ และเราพบว่า $\Delta A\neq 0$ ดังนั้น เมทริกซ์ $\widetilde(A)$ จึงมีลำดับรองที่สาม ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ เราไม่สามารถสร้างตัวรองลำดับที่สี่ของเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ ได้ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า: $\rang\widetilde(A)=3$
เนื่องจาก $\rang A=\rang\widetilde(A)$ ดังนั้น ตามทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี ระบบจึงมีความสอดคล้อง กล่าวคือ มีวิธีแก้ปัญหา (อย่างน้อยหนึ่งรายการ) เพื่อระบุจำนวนวิธีแก้ปัญหา เราพิจารณาว่า SLAE ของเรามี 3 สิ่งที่ไม่ทราบ: $x_1$, $x_2$ และ $x_3$ เนื่องจากจำนวนสิ่งที่ไม่ทราบคือ $n=3$ เราจึงสรุปได้ว่า: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$ ดังนั้น ตามข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี ระบบจึงมีความแน่นอน กล่าวคือ มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร
ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว วิธีนี้มีข้อเสียและข้อดีอะไรบ้าง? ก่อนอื่นเรามาพูดถึงข้อดีกันก่อน ประการแรก เราต้องหาดีเทอร์มิแนนต์เพียงตัวเดียวเท่านั้น หลังจากนั้นเราก็ได้ข้อสรุปทันทีเกี่ยวกับจำนวนวิธีแก้ไข โดยทั่วไปแล้ว การคำนวณมาตรฐานมาตรฐานจะให้ระบบสมการที่ประกอบด้วยค่าที่ไม่รู้จักสามค่าและมีคำตอบเฉพาะ สำหรับระบบดังกล่าว วิธีนี้สะดวกมาก เพราะเรารู้ล่วงหน้าว่ามีทางแก้ไข (ไม่เช่นนั้นตัวอย่างคงไม่มีในการคำนวณมาตรฐาน) เหล่านั้น. สิ่งที่เราต้องทำคือแสดงการมีอยู่ของวิธีแก้ปัญหาให้มากที่สุด อย่างรวดเร็ว- ประการที่สอง ค่าที่คำนวณได้ของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ระบบ (เช่น $\Delta A$) จะมีประโยชน์ในภายหลัง เมื่อเราเริ่มแก้ระบบที่กำหนดโดยใช้วิธี Cramer หรือใช้เมทริกซ์ผกผัน
อย่างไรก็ตาม วิธีการคำนวณอันดับนั้นตามคำจำกัดความแล้ว ไม่พึงประสงค์ที่จะใช้หากเมทริกซ์ของระบบ $A$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ในกรณีนี้ ควรใช้วิธีที่สองซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่างจะดีกว่า นอกจากนี้ หาก $\Delta A=0$ เราไม่สามารถพูดอะไรเกี่ยวกับจำนวนคำตอบของ SLAE ที่ไม่เหมือนกันได้ บางที SLAE อาจมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนไม่สิ้นสุด หรืออาจจะไม่มีเลยก็ได้ หาก $\Delta A=0$ ก็จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม ซึ่งมักจะยุ่งยาก
เพื่อสรุปสิ่งที่กล่าวไว้ ฉันทราบว่าวิธีแรกนั้นดีสำหรับ SLAE ที่มีเมทริกซ์ระบบเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส นอกจากนี้ SLAE เองยังมีสิ่งที่ไม่ทราบสามหรือสี่รายการ และนำมาจากการคำนวณหรือการทดสอบมาตรฐานมาตรฐาน
วิธีที่ 2 การคำนวณอันดับโดยวิธีการแปลงเบื้องต้น
วิธีการนี้จะอธิบายโดยละเอียดในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง เราจะเริ่มคำนวณอันดับของเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ ทำไมเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ ไม่ใช่ $A$? ความจริงก็คือเมทริกซ์ $A$ เป็นส่วนหนึ่งของเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ ดังนั้น โดยการคำนวณอันดับของเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ เราก็จะค้นหาอันดับของเมทริกซ์ $A$ ไปพร้อมๆ กัน .
\begin(ชิด) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(สลับบรรทัดแรกและบรรทัดที่สอง)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) (ccc| c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(อาร์เรย์) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 ) \\ \phantom(0)\\ r_3-2r_2 \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right) \end(ชิด)
เราได้ลดเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ ให้อยู่ในรูปแบบระดับขั้นแล้ว เมทริกซ์ระดับผลลัพธ์จะมีแถวที่ไม่เป็นศูนย์สามแถว ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์คือ 3 ดังนั้น อันดับของเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ จะเท่ากับ 3 กล่าวคือ $\rang\widetilde(A)=3$. เมื่อทำการแปลงด้วยองค์ประกอบของเมทริกซ์ $\widetilde(A)$ เราได้แปลงองค์ประกอบของเมทริกซ์ $A$ ที่อยู่จนถึงบรรทัดไปพร้อมๆ กัน เมทริกซ์ $A$ ก็ถูกลดให้อยู่ในรูปแบบระดับชั้นด้วย: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \ขวา )$ สรุป: อันดับของเมทริกซ์ $A$ ก็คือ 3 เช่นกัน นั่นคือ $\รัง A=3$.
เนื่องจาก $\rang A=\rang\widetilde(A)$ ดังนั้น ตามทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี ระบบจึงมีความสอดคล้อง กล่าวคือ มีวิธีแก้ปัญหา เพื่อระบุจำนวนวิธีแก้ปัญหา เราพิจารณาว่า SLAE ของเรามี 3 สิ่งที่ไม่ทราบ: $x_1$, $x_2$ และ $x_3$ เนื่องจากจำนวนสิ่งที่ไม่ทราบคือ $n=3$ เราจึงสรุปได้ว่า: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$ ดังนั้น ตามข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี ระบบจึงถูกกำหนดไว้ กล่าวคือ มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร
ข้อดีของวิธีที่สองคืออะไร? ข้อได้เปรียบหลักคือความเก่งกาจของมัน ไม่สำคัญสำหรับเราว่าเมทริกซ์ของระบบจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือไม่ นอกจากนี้เรายังดำเนินการแปลงวิธีเกาส์เซียนไปข้างหน้าอีกด้วย เหลืออีกเพียงไม่กี่ขั้นตอน และเราจะได้รับวิธีแก้ปัญหาสำหรับ SLAE นี้ จริงๆ แล้วฉันชอบวิธีที่สองมากกว่าวิธีแรก แต่ตัวเลือกเป็นเรื่องของรสนิยม
คำตอบ: SLAE ที่กำหนดมีความสอดคล้องและกำหนดไว้
ตัวอย่างหมายเลข 2
สำรวจ SLAE $ \left\( \begin(ชิด) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4. \end(ชิด) \right.$ เพื่อความเข้ากันได้
เราจะค้นหาอันดับของเมทริกซ์ระบบและเมทริกซ์ระบบขยายโดยใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น เมทริกซ์ระบบเพิ่มเติม: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(อาร์เรย์) \right)$ มาหาอันดับที่ต้องการโดยการแปลงเมทริกซ์แบบขยายของระบบ:
$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end(อาร์เรย์) \right) \begin(อาร์เรย์) (l) \phantom(0)\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4 -3r_1\\r_5-2r_1\end(array)\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end(อาร์เรย์) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(array)\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(อาร์เรย์) \ ขวา) \begin(array) (l) \phantom(0)\\\phantom(0)\\\phantom(0)\\ r_4-r_3\\\phantom(0)\end(array)\rightarrow \left (\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right) $$
เมทริกซ์ขยายของระบบจะลดลงเป็นรูปแบบขั้นตอน อันดับของเมทริกซ์ระดับตำแหน่งเท่ากับจำนวนแถวที่ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้น $\rang\widetilde(A)=3$ เมทริกซ์ $A$ (ขึ้นอยู่กับบรรทัด) จะถูกลดให้เป็นรูปแบบระดับด้วย และอันดับของมันคือ 2, $\rang(A)=2$
เนื่องจาก $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ ดังนั้น ตามทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี ระบบจึงไม่สอดคล้องกัน (กล่าวคือ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา)
คำตอบ: ระบบไม่สอดคล้องกัน
ตัวอย่างหมายเลข 3
สำรวจ SLAE $ \left\( \begin(ชิด) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(aligned) \right.$ สำหรับความเข้ากันได้
เรานำเมทริกซ์ขยายของระบบมาเป็นรูปแบบขั้นตอน:
$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(อาร์เรย์) \right) \overset (r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90\\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end( array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & - 2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end(อาร์เรย์) \right) \begin( อาร์เรย์) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end(array) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin (อาร์เรย์)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 )\\ \phantom(0)\\\phantom(0) \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end (อาร์เรย์) \right) $$
เราได้นำเมทริกซ์ขยายของระบบและเมทริกซ์ของระบบมาเป็นรูปแบบขั้นตอน อันดับของเมทริกซ์ขยายของระบบเท่ากับ 3 อันดับของเมทริกซ์ของระบบก็เท่ากับ 3 เช่นกัน เนื่องจากระบบมี $n=5$ ไม่ทราบ เช่น $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$ ดังนั้นตามข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี ระบบนี้ไม่แน่นอน กล่าวคือ มีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน
คำตอบ: ระบบไม่แน่นอน
ในส่วนที่สอง เราจะวิเคราะห์ตัวอย่างที่มักรวมอยู่ในการคำนวณมาตรฐานหรือการทดสอบในคณิตศาสตร์ระดับสูง: การวิจัยความสอดคล้องและวิธีแก้ปัญหาของ SLAE ขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ที่รวมอยู่ในนั้น