BejáratLineáris egyenletek paraméterrel. Lineáris egyenletrendszer megoldásainak száma az ismeretlenek számától és a rendszer mátrixának és kiterjesztett mátrixának rangjától függően
Tétel. Egy lineáris egyenletrendszer csak akkor konzisztens, ha a kiterjesztett mátrix rangja megegyezik magának a rendszermátrixnak a rangjával.
Lineáris egyenletrendszerek
Konzisztens r(A)=r() és inkompatibilis r(A)≠r().
Így a lineáris egyenletrendszereknek vagy végtelen sok megoldásuk van, vagy egy megoldásuk van, vagy egyáltalán nincs megoldásuk.
Munka vége -
Ez a téma a következő részhez tartozik:
Elemi mátrix transzformációk. Cramer módszere. Vektor meghatározás
Egy permutáció két eleme inverziót képez, ha a permutáció jelölésében a nagyobb elem megelőzi a kisebbet.. n szám n-edik fokának n különböző permutációja van.. permutációt akkor is hívunk, ha a teljes Az inverziók száma páros szám, és ennek megfelelően páratlan, ha..
Ha szükséged van kiegészítő anyag ebben a témában, vagy nem találta meg, amit keresett, javasoljuk, hogy használja a munkaadatbázisunkban található keresést:
Mit csinálunk a kapott anyaggal:
Ha ez az anyag hasznos volt az Ön számára, elmentheti az oldalára a közösségi hálózatokon:
| Csipog |
Az összes téma ebben a részben:
Kronecker-Capelli tétel
Tekintsünk egy lineáris egyenletrendszert n ismeretlennel: Hozzunk létre egy mátrixot és egy kiterjesztett mátrixot
A homogén lineáris egyenletrendszer fogalma
Lineáris egyenletrendszer, amelyben minden szabad tag egyenlő 0-val, azaz. egy formarendszert homogénnek nevezünk
A homogén SLE megoldásainak tulajdonságai
Egy homogén egyenletrendszer megoldásainak lineáris kombinációja maga is megoldása ennek a rendszernek. x=és y=
Homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldásainak kapcsolata
Tekintsük mindkét rendszert: I és
Axiomatikus megközelítés a lineáris tér meghatározásához
Korábban az n-dimenziós vektortér fogalmát n-valós számok rendezett rendszereinek gyűjteményeként vezették be, amelyekhez bevezették a valós számmal való összeadás és szorzás műveleteit.
Következmények az axiómákból
1. A nulla vektor egyedisége 2. Az ellentétes vektor egyedisége
A következmények bizonyítása
1. Tegyük fel, hogy. -nulla
Alap. Dimenzió. Koordináták
Definíció 1. Az L lineáris tér bázisa L-hez tartozó elemrendszer, amely két feltételnek eleget tesz: 1) a rendszer
c) (xe+y"=1, d) (x"+y"=2a-1,
(xy=a; (xy=a - 1?
9.198. Határozza meg a megoldások számát az egyenletrendszerre ((x(+)y~=!,
a paramétertől függően.
9.199. Hány megoldása van az egyenletrendszernek attól függően, hogy:
a) (x"+y"=9, b) (x"+y"+!Ox=0,
(~x~ =y - a; (y=~x - a~?
9.200. Az a paraméter mely értékeinél működik az egyenletrendszer
három megoldása van? Keresse meg ezeket a megoldásokat.
9.201. A p paraméter mely értékeinél működik az egyenletrendszer
(ру+х) (х - р УЗ)=О
három megoldása van?
9.202. A b paraméter mely értékeinél működik az egyenletrendszer
a) 1 ~x~ +4)y~ = b, b) 1 x~ +2 ~y(= 1, c) (~y! +x =4
! ~y!+xr=1 ! ~y!+xr=b (x +Y =b
négy különböző megoldása van?
9.208. A c paraméter mely értékeinél működik az egyenletrendszer
nyolc különböző megoldása van?
9.204. Oldja meg az egyenletrendszert!
ahol a)O, és bizonyítsa be, hogy ha a egész szám, akkor for
egy adott rendszer minden megoldásának (x; y) az 1+xy szám egy egész szám négyzete.
9.205. Az a paraméter mely értékeinél működik az egyenletrendszer
x"+ y"+ 2xy - bx - bu+ 10 - a = O,
x"+ y" - 2xy - 2x+ 2Y+ a = O
van legalább egy megoldás?
Oldja meg a rendszert a talált értékekre.
9.206. Keresse meg az a paraméter összes értékét, amelyhez a rendszer
egyenletek (x"+(y - 2)"=1, van legalább egy megoldása.
9.207. Keresse meg az a paraméter összes értékét, amelyre az x" + d" = 1 és (x - a) " + d" = 4 körök érintik.
9.208. Keresse meg az a (a>O) paraméter összes értékét, amelynél az x"+d"=1 és (x - 3)"+(d - 4)"=a" körök érintik.
Keresse meg az érintkezési pont koordinátáit.
9.209. Keresse meg a (a>0) összes értékét, amelyre a kör
x"+d"=a" érinti a 3x+4d=12 egyenest. Keresse meg az érintkezési pont koordinátáit.
D" - 2x+ 4d = 21. Keresse meg a metszéspontok koordinátáit!
egyenes vonal és kör.
9.211. Az a paraméter melyik értékénél lesz az ed=x+1 egyenes
átmennek a kör középpontján (x - 1) + (d - a)"=8?
Keresse meg az egyenes és a kör metszéspontjainak koordinátáit!
9 212. Ismeretes, hogy a d = 12x - 9 egyenes és a d = ax" parabola
csak egy közös pont. Keresse meg ennek a pontnak a koordinátáit.
9.213. Milyen b és z értékekkel (b>0, z>0) áll a kör
(x - 1)"+(d - b)"=g" érinti a d=0 és d= - x egyeneseket?
Keresse meg az érintési pontok koordinátáit.
9.214. Rajzolj egy ponthalmazt a koordinátasíkra -val
koordináták (a; b), hogy az egyenletrendszer
van legalább egy megoldása.
9.215. Az a paraméter mely értékeinél működik az egyenletrendszer
a (x"+ 1) = d - ~ x ~ + 1,
van egyetlen megoldás?
9 1O. SZÖVEG PROBLÉMÁK
A szöveges feladatok megoldása általában a következő séma szerint történik: az ismeretlenek kiválasztása; alkot egy egyenletet vagy egyenletrendszert, és bizonyos problémák esetén egyenlőtlenséget vagy egyenlőtlenségrendszert; oldja meg a kapott rendszert (néha elég, ha a rendszerből találunk valamilyen ismeretlen kombinációt, és nem a szokásos értelemben oldjuk meg).
NAK NEK feladatok paraméterrel magában foglalhatja például a megoldások keresését a lineáris és másodfokú egyenletek V Általános nézet, a rendelkezésre álló gyökszám egyenletének tanulmányozása a paraméter értékétől függően.
Részletes definíciók megadása nélkül tekintse meg példaként a következő egyenleteket:
y = kx, ahol x, y változók, k egy paraméter;
y = kx + b, ahol x, y változók, k és b paraméterek;
ax 2 + bx + c = 0, ahol x változók, a, b és c egy paraméter.
Egy egyenlet (egyenlőtlenség, rendszer) paraméterrel történő megoldása főszabály szerint végtelen egyenlethalmaz (egyenlőtlenség, rendszer) megoldását jelenti.
A paraméteres feladatok két típusra oszthatók:
A) a feltétel azt mondja: oldja meg az egyenletet (egyenlőtlenség, rendszer) - ez azt jelenti, hogy a paraméter minden értékére megtalálja az összes megoldást. Ha legalább egy eset kivizsgálatlan marad, egy ilyen megoldás nem tekinthető kielégítőnek.
b) meg kell adni lehetséges értékek paraméterek, amelyek mellett az egyenlet (egyenlőtlenség, rendszer) bizonyos tulajdonságokkal rendelkezik. Például van egy megoldása, nincsenek megoldásai, vannak az intervallumhoz tartozó megoldások stb. Az ilyen feladatoknál egyértelműen jelezni kell, hogy a kívánt feltétel milyen paraméterértéknél teljesül.
A paraméter, mivel egy ismeretlen fix szám, egyfajta sajátos kettősséggel bír. Először is figyelembe kell venni, hogy a feltételezett népszerűség azt jelzi, hogy a paramétert számként kell felfogni. Másodszor, a paraméter manipulálásának szabadságát korlátozza annak homálya. Előzetes kutatást igényelnek például azok a műveletek, amelyek egy paramétert tartalmazó kifejezéssel osztanak, vagy egy ilyen kifejezésből egy páros fok gyökerét vonják ki. Ezért óvatosan kell kezelni a paramétert.
Például két -6a és 3a szám összehasonlításához három esetet kell figyelembe vennie:
1) -6a nagyobb lesz 3a-nál, ha a negatív szám;
2) -6a = 3a abban az esetben, ha a = 0;
3) -6a kisebb lesz, mint 3a, ha a pozitív szám 0.
A megoldás lesz a válasz.
Legyen adott a kx = b egyenlet. Ez az egyenlet végtelen számú, egy változós egyenlet rövid alakja.
Az ilyen egyenletek megoldása során előfordulhatnak esetek:
1. Legyen k tetszőleges valós szám, amely nem egyenlő nullával, b pedig tetszőleges szám R-ből, akkor x = b/k.
2. Legyen k = 0 és b ≠ 0, az eredeti egyenlet 0 x = b alakot ölt. Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek nincs megoldása.
3. Legyen k és b nullával egyenlő számok, akkor 0 x = 0 egyenlőségünk lesz. Megoldása tetszőleges valós szám.
Egy algoritmus az ilyen típusú egyenlet megoldására:
1. Határozza meg a paraméter „kontroll” értékeit.
2. Oldja meg az x eredeti egyenletét az első bekezdésben meghatározott paraméterértékekre.
3. Oldja meg az x eredeti egyenletét az első bekezdésben kiválasztottaktól eltérő paraméterértékekre.
4. A választ az alábbi formában írhatja meg:
1) ... (paraméterértékek) esetén az egyenletnek ... gyöke van;
2) ... (paraméterértékek) esetén nincs gyök az egyenletben.
1. példa
Oldja meg az egyenletet a |6 – x| paraméterrel = a.
Megoldás.
Könnyen belátható, hogy itt a ≥ 0.
A 6. modul szabálya szerint – x = ±a, x-et fejezünk ki:
Válasz: x = 6 ± a, ahol a ≥ 0.
2. példa
Oldja meg az a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 egyenletet az x változóra vonatkozóan!
Megoldás.
Nyissuk ki a zárójeleket: aх – а + 2х – 2 = 0
Írjuk fel az egyenletet szabványos formában: x(a + 2) = a + 2.
Ha az a + 2 kifejezés nem nulla, azaz ha a ≠ -2, akkor az x = (a + 2) / (a + 2) megoldást kapjuk, azaz. x = 1.
Ha a + 2 egyenlő nullával, azaz. a = -2, akkor megvan a helyes 0 x = 0 egyenlőség, tehát x tetszőleges valós szám.
Válasz: x = 1, ha a ≠ -2, és x € R, ha a = -2.
3. példa
Oldja meg az x/a + 1 = a + x egyenletet az x változóra vonatkozóan!
Megoldás.
Ha a = 0, akkor az egyenletet a + x = a 2 + ax vagy (a – 1)x = -a(a – 1) alakra alakítjuk. Az a = 1 utolsó egyenlete 0 x = 0, ezért x tetszőleges szám.
Ha a ≠ 1, akkor az utolsó egyenlet x = -a formában lesz.
Ezt a megoldást a koordináta egyenesen lehet szemléltetni (1. ábra)
Válasz: a = 0-ra nincs megoldás; x – tetszőleges szám, amelynek a = 1; x = -a, ha a ≠ 0 és a ≠ 1.
Grafikus módszer
Nézzünk egy másik módot az egyenletek paraméterrel történő megoldására - grafikusan. Ezt a módszert meglehetősen gyakran használják.
4. példa
Az a paramétertől függően hány gyökből áll az ||x| egyenlet – 2| = a?
Megoldás.
A grafikus módszerrel történő megoldáshoz az y = ||x| függvények gráfjait készítjük – 2| és y = a (2. ábra).
A rajzon jól láthatóak az y = a egyenes helyének lehetséges esetei és az egyes gyökök száma.
Válasz: az egyenletnek nem lesz gyöke, ha a< 0; два корня будет в случае, если a >2 és a = 0; az egyenletnek három gyöke lesz a = 2 esetén; négy gyökér – 0-nál< a < 2.
5. példa
Milyen esetben a 2|x| egyenlet + |x – 1| = a-nak egyetlen gyöke van?
Megoldás.
Ábrázoljuk az y = 2|x| függvények grafikonjait + |x – 1| és y = a. Ha y = 2|x| + |x – 1|, a modulokat az intervallum módszerrel kibővítve kapjuk:
(-3x + 1, x-nél< 0,
y = (x + 1, ha 0 ≤ x ≤ 1,
(3x – 1, ha x > 1.
Tovább 3. ábra jól látható, hogy az egyenletnek csak akkor lesz egyetlen gyöke, ha a = 1.
Válasz: a = 1.
6. példa.
Határozza meg az |x + 1| egyenlet megoldásainak számát! + |x + 2| = a az a paramétertől függően?
Megoldás.
Az y = |x + 1| függvény grafikonja + |x + 2| szaggatott vonal lesz. Csúcsai a (-2; 1) és (-1; 1) pontokban helyezkednek el. (4. ábra).
Válasz: ha az a paraméter kisebb egynél, akkor az egyenletnek nem lesz gyöke; ha a = 1, akkor az egyenlet megoldása egy végtelen számhalmaz a [-2; -1]; ha az a paraméter értéke nagyobb, mint egy, akkor az egyenletnek két gyöke lesz.
Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell egyenleteket megoldani paraméterekkel?
Segítséget kérni egy oktatótól -.
Az első óra ingyenes!
blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.
A gyakorlatban azonban két további eset is elterjedt:
– A rendszer inkonzisztens (nincs megoldása);
– A rendszer konzisztens, és végtelenül sok megoldása van.
jegyzet : A „konzisztencia” kifejezés azt jelenti, hogy a rendszernek van legalább valamilyen megoldása. Számos probléma esetén először meg kell vizsgálni a rendszer kompatibilitását, lásd a cikket mátrixok rangja.
Ezeknél a rendszereknél a leguniverzálisabb megoldási módszereket alkalmazzák - Gauss módszer. Valójában az „iskola” módszer is elvezet a válaszhoz, de a felsőbb matematikában az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölésének Gauss-módszerét szokás használni. Aki nem ismeri a Gauss-módszer algoritmust, kérem, először tanulmányozza át a leckét Gauss-módszer próbabábukhoz.
Maguk az elemi mátrixtranszformációk pontosan ugyanazok, a különbség a megoldás végén lesz. Először nézzünk meg néhány példát, amikor a rendszernek nincs megoldása (inkonzisztens).
1. példa
Mi az, ami azonnal megakad ebben a rendszerben? Az egyenletek száma kevesebb, mint a változók száma. Ha az egyenletek száma kisebb, mint a változók száma, akkor azonnal kijelenthetjük, hogy a rendszer vagy inkonzisztens, vagy végtelen sok megoldása van. És már csak ki kell deríteni.
A megoldás eleje teljesen hétköznapi - felírjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal lépésenkénti formába hozzuk:
(1) A bal felső lépésben +1-et vagy –1-et kell kapnunk. Az első oszlopban nincsenek ilyen számok, így a sorok átrendezése nem ad semmit. Az egységnek meg kell szerveznie magát, és ezt többféleképpen megteheti. Ezt tettem: Az első sorhoz hozzáadjuk a harmadik sort, megszorozva -1-gyel.
(2) Most két nullát kapunk az első oszlopban. A második sorhoz hozzáadjuk az első sort 3-mal szorozva. A harmadik sorhoz hozzáadjuk az első sort 5-tel szorozva.
(3) A transzformáció befejezése után mindig célszerű megnézni, hogy lehetséges-e egyszerűsíteni a kapott karakterláncokat? Tud. A második sort elosztjuk 2-vel, ezzel egyidejűleg a második lépésben megkapjuk a szükséges –1-et. Osszuk el a harmadik sort –3-mal.
(4) Adja hozzá a második sort a harmadikhoz.
Valószínűleg mindenki észrevette az elemi átalakulásokból eredő rossz vonalat: 
. Nyilvánvaló, hogy ez nem lehet így. Valóban, írjuk át a kapott mátrixot 
vissza a lineáris egyenletrendszerhez: 
Ha az elemi transzformációk eredményeként olyan alakú karakterláncot kapunk, ahol nem nulla szám, akkor a rendszer inkonzisztens (nincs megoldása).
Hogyan írjuk le egy feladat végét? Rajzoljuk le fehér krétával: „elemi transzformációk eredményeként egy , ahol ” alakú sztringet kapunk, és adjuk meg a választ: a rendszernek nincsenek megoldásai (inkonzisztens).
Ha a feltétel szerint szükséges a rendszer kompatibilitási KUTATÁSA, akkor a megoldást szilárdabb stílusban kell formalizálni a koncepció segítségével. mátrix rang és a Kronecker-Capelli tétel.
Kérjük, vegye figyelembe, hogy itt nincs megfordítása a Gauss-algoritmusnak - nincsenek megoldások, és egyszerűen nincs mit találni.
2. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert! 
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. Ismételten emlékeztetem Önt, hogy az Ön megoldása eltérhet az én megoldásomtól, a Gauss-algoritmusnak nincs erős „merevsége”.
Másik műszaki jellemző megoldások: az elemi transzformációk leállíthatók Egyszerre, amint egy olyan sort, mint , hol . Vegyünk egy feltételes példát: tegyük fel, hogy az első transzformáció után megkapjuk a mátrixot 
. A mátrix még nem redukálódott echelon alakra, de nincs szükség további elemi átalakításokra, hiszen megjelent a forma egy sora, ahol . Azonnal meg kell válaszolni, hogy a rendszer nem kompatibilis.
Ha egy lineáris egyenletrendszernek nincs megoldása, ez szinte ajándék, mivel rövid megoldást kapunk, néha szó szerint 2-3 lépésben.
De ezen a világon minden kiegyensúlyozott, és az a probléma, amelyre a rendszernek végtelenül sok megoldása van, csak hosszabb.
3. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert! 
4 egyenlet és 4 ismeretlen, tehát a rendszernek vagy egyetlen megoldása lehet, vagy nincs megoldása, vagy végtelen sok megoldása lehet. Bárhogy is legyen, a Gauss-módszer mindenképpen elvezet bennünket a válaszhoz. Ez a sokoldalúsága.
Az eleje ismét szabványos. Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába: 
Ez minden, és féltél.
(1) Vegye figyelembe, hogy az első oszlopban lévő összes szám osztható 2-vel, így a 2 megfelelő a bal felső lépésben. A második sorhoz hozzáadjuk az első sort –4-gyel megszorozva. A harmadik sorhoz hozzáadjuk az első sort –2-vel megszorozva. A negyedik sorhoz hozzáadjuk az első sort –1-gyel megszorozva.
Figyelem! Sokakat megkísérthet a negyedik sor kivonni első sor. Ezt meg lehet tenni, de nem szükséges, a tapasztalat azt mutatja, hogy a számítási hiba valószínűsége többszörösére nő. Csak add hozzá: a negyedik sorhoz add hozzá az első sort szorozva -1-gyel pontosan!
(2) Az utolsó három sor arányos, ebből kettő törölhető.
Itt ismét meg kell mutatnunk fokozott figyelem, de tényleg arányosak a vonalak? A biztonság kedvéért (különösen egy teáskannánál) célszerű a második sort –1-gyel megszorozni, a negyedik sort pedig elosztani 2-vel, így három egyforma sort kapunk. És csak ezután távolítson el kettőt.
Az elemi átalakítások eredményeként a rendszer kiterjesztett mátrixa lépcsőzetes formára redukálódik: 
Feladat füzetbe írásakor az áttekinthetőség kedvéért célszerű ugyanezeket a jegyzeteket ceruzával elkészíteni.
Írjuk át a megfelelő egyenletrendszert: 
Itt a rendszer „hétköznapi” egyetlen megoldásának szaga sincs. Nincs rossz sor sem. Ez azt jelenti, hogy ez a harmadik fennmaradó eset – a rendszernek végtelen sok megoldása van. Néha, a feltételnek megfelelően, szükséges a rendszer kompatibilitásának vizsgálata (vagyis annak bizonyítása, hogy egyáltalán létezik megoldás), erről a cikk utolsó bekezdésében olvashat. Hogyan lehet megtalálni a mátrix rangját? De most nézzük az alapokat:
Egy rendszer megoldásainak végtelen halmazát röviden az ún a rendszer általános megoldása .
A rendszer általános megoldását a Gauss-módszer inverzével találjuk meg.
Először is meg kell határoznunk, hogy milyen változóink vannak alapvető, és milyen változók ingyenes. Nem kell foglalkoznia a lineáris algebra feltételeivel, csak ne feledje, hogy vannak ilyenek alapvető változókÉs szabad változók.
Az alapváltozók mindig szigorúan a mátrix lépcsőin „ülnek”..
Ebben a példában az alapváltozók és
A szabad változók minden többi változók, amelyek nem kaptak lépést. Esetünkben ezek közül kettő van: – szabad változók.
Most kell Minden alapvető változók Expressz csak keresztül szabad változók.
A Gauss-algoritmus fordítottja hagyományosan alulról felfelé működik.
A rendszer második egyenletéből az alapváltozót fejezzük ki:
Most nézzük meg az első egyenletet: 
. Először behelyettesítjük a talált kifejezést: 
Az alapváltozót szabad változókkal kell kifejezni: 
Végül megkaptuk, amire szükségünk volt... Minden alapváltozók ( és ) vannak kifejezve csak keresztül szabad változók: 
Valójában az általános megoldás készen áll: 
Hogyan kell helyesen írni az általános megoldást?
A szabad változók „önmaguktól” és szigorúan a helyükre íródnak az általános megoldásba. Ebben az esetben a szabad változókat a második és a negyedik pozícióba kell írni: 
.
Az eredményül kapott kifejezések az alapváltozókhoz 
és nyilván az első és a harmadik pozícióba kell írni: 
Szabad változók megadása tetszőleges értékek, végtelenül sokat találhatsz privát megoldások. A legnépszerűbb értékek a nullák, mivel az adott megoldás a legkönnyebben beszerezhető. Helyettesítsük be az általános megoldásra: 
– privát megoldás.
Egy másik édes pár is van, ezeket cseréljük be az általános megoldásba: 
– egy másik privát megoldás.
Könnyen belátható, hogy az egyenletrendszer rendelkezik végtelenül sok megoldás(mivel szabad változókat adhatunk Bármiértékek)
Minden egyes az adott megoldásnak meg kell felelnie mindenkinek a rendszer egyenlete. Ez az alapja a megoldás helyességének „gyors” ellenőrzésének. Vegyünk például egy adott megoldást, és cseréljük be az eredeti rendszer minden egyenletének bal oldalába: 
Mindennek össze kell jönnie. És minden kapott megoldásnál mindennek egyeznie kell.
De szigorúan véve egy adott megoldás ellenőrzése néha megtévesztő, pl. egy adott megoldás kielégítheti a rendszer minden egyenletét, de magát az általános megoldást valójában helytelenül találjuk meg.
Ezért az általános megoldás ellenőrzése alaposabb és megbízhatóbb. Hogyan ellenőrizhető a kapott általános megoldás 
?
Nem nehéz, de elég fárasztó. Kifejezéseket kell vennünk alapvető változók, ebben az esetben 
és , és cserélje be őket a rendszer minden egyenletének bal oldalára.
A rendszer első egyenletének bal oldalán: 
A rendszer második egyenletének bal oldalán: 
Az eredeti egyenlet jobb oldalát kapjuk.
4. példa
Oldja meg a rendszert Gauss-módszerrel! Keresse meg az általános és két konkrét megoldást. Ellenőrizze az általános megoldást. 
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Itt egyébként az egyenletek száma ismét kevesebb, mint az ismeretlenek száma, ami azt jelenti, hogy azonnal világos, hogy a rendszer vagy inkonzisztens lesz, vagy végtelen számú megoldása lesz. Mi a fontos magában a döntési folyamatban? Figyelem, és még egyszer figyelem. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
És még néhány példa az anyag megerősítésére
5. példa
Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert! Ha a rendszernek végtelen sok megoldása van, keressen két konkrét megoldást, és ellenőrizze az általános megoldást 
Megoldás: Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába: 
(1) Adja hozzá az első sort a másodikhoz. A harmadik sorhoz hozzáadjuk az első sort 2-vel szorozva. A negyedik sorhoz hozzáadjuk az első sort 3-mal szorozva.
(2) A harmadik sorhoz hozzáadjuk a második sort –5-tel megszorozva. A negyedik sorhoz hozzáadjuk a második sort, megszorozva –7-tel.
(3) A harmadik és a negyedik sor megegyezik, az egyiket töröljük.
Ez ilyen szépség: 
Az alapváltozók a lépcsőkön ülnek, ezért - alapváltozók.
Csak egy szabad változó van, amely nem kapott lépést:
Fordított:
Fejezzük ki az alapváltozókat egy szabad változón keresztül:
A harmadik egyenletből: 
Tekintsük a második egyenletet, és helyettesítsük bele a talált kifejezést: 
Tekintsük az első egyenletet, és helyettesítsük be a talált kifejezéseket: 
Igen, a közönséges törteket kiszámító számológép továbbra is kényelmes.
Tehát az általános megoldás: 
Még egyszer, hogy sikerült? A szabad változó egyedül a jogos negyedik helyen áll. Az alapváltozókra kapott kifejezések is elfoglalták rendes helyüket.
Azonnal ellenőrizzük az általános megoldást. A munka feketéknek szól, de én már megcsináltam, szóval fogd meg =)
A rendszer minden egyenletének bal oldalába behelyettesítünk három hőst , :
Az egyenletek megfelelő jobb oldalait megkapjuk, így az általános megoldás helyesen található.
Most a megtalált általános megoldásból 
két konkrét megoldást kapunk. Az egyetlen szabad változó itt a séf. Nem kell törni az agyát.
Akkor legyen 
– privát megoldás.
Akkor legyen 
– egy másik privát megoldás.
Válasz: Közös döntés: 
, privát megoldások: 
, .
Nem kellett volna emlékeznem a feketékre... ...mert mindenféle szadista motívumok jártak a fejemben, és eszembe jutott a híres photoshop, amiben a Ku Klux Klansmen fehér köpenyes futballozó után rohangál a pályán. Ülök és csendesen mosolygok. Tudod milyen zavaró...
Sok matematika káros, ezért egy hasonló utolsó példa a saját megoldáshoz.
6. példa
Keresse meg a lineáris egyenletrendszer általános megoldását! 
Az általános megoldást már megnéztem, a válaszban meg lehet bízni. Az Ön megoldása eltérhet az én megoldásomtól, a lényeg, hogy az általános megoldások egybeesjenek.
Valószínűleg sokan észrevettek egy kellemetlen momentumot a megoldásokban: a Gauss-módszer megfordításakor nagyon gyakran kellett bütykölni közönséges törtek. A gyakorlatban ez valóban így van, sokkal kevésbé gyakoriak az esetek, amikor nincs tört. Legyen felkészült lelkileg, és ami a legfontosabb, technikailag.
Kitérek a megoldás néhány olyan jellemzőjére, amelyek nem szerepeltek a megoldott példákban.
A rendszer általános megoldása néha tartalmazhat konstanst (vagy állandókat), például: . Itt az egyik alapváltozó egy állandó számmal egyenlő: . Ebben nincs semmi egzotikus, előfordul. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben minden konkrét megoldás ötöst tartalmaz az első helyen.
Ritkán, de vannak olyan rendszerek, amelyekben az egyenletek száma nagyobb, mint a változók száma. A Gauss-módszer a legsúlyosabb körülmények között is működik. Egy ilyen rendszer inkonzisztens lehet, végtelen sok megoldást tartalmazhat, és furcsa módon egyetlen megoldása is lehet.
Lineáris öregségi egyenletek (SLAE) rendszerének tanulmányozása a konzisztencia érdekében azt jelenti, hogy megtudjuk, hogy ennek a rendszernek vannak-e megoldásai, vagy nincsenek. Nos, ha vannak megoldások, akkor jelezze, hány van.
Információkra lesz szükségünk a "Lineáris algebrai egyenletrendszer. Alapfogalmak. Mátrixos jelölési forma" témakörből. Különösen olyan fogalmakra van szükség, mint a rendszermátrix és a kiterjesztett rendszermátrix, mivel a Kronecker-Capelli tétel megfogalmazása ezeken alapul. Szokás szerint a rendszermátrixot $A$, a kiterjesztett rendszermátrixot pedig a $\widetilde(A)$ betűvel jelöljük.
Kronecker-Capelli tétel
Lineáris rendszer algebrai egyenletek akkor és csak akkor konzisztens, ha a rendszermátrix rangja egyenlő a rendszer kiterjesztett mátrixának rangjával, pl. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.
Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy rendszert akkor nevezünk kötésnek, ha van legalább egy megoldása. A Kronecker-Capelli tétel ezt mondja: ha $\rang A=\rang\widetilde(A)$, akkor van megoldás; ha $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, akkor ennek a SLAE-nek nincs megoldása (inkonzisztens). A megoldások számára vonatkozó kérdésre a Kronecker-Capelli-tétel következménye adja meg a választ. A következmény megfogalmazásánál a $n$ betűt használjuk, ami megegyezik az adott SLAE változóinak számával.
Következmény a Kronecker-Capelli tételhez
- Ha $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, akkor a SLAE inkonzisztens (nincs megoldása).
- Ha $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
- Ha $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, akkor az SLAE határozott (pontosan egy megoldása van).
Kérjük, vegye figyelembe, hogy a megfogalmazott tétel és következményei nem jelzik, hogyan kell megoldást találni az SLAE-re. Segítségükkel csak azt lehet megtudni, hogy ezek a megoldások léteznek-e vagy sem, és ha vannak, akkor hányan.
1. számú példa
SLAE felfedezése $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned) )\right.$ a kompatibilitásért Ha az SLAE kompatibilis, adja meg a megoldások számát.
Egy adott SLAE megoldásának megtudásához a Kronecker-Capelli tételt használjuk. Szükségünk lesz a $A$ rendszer mátrixára és a $\widetilde(A)$ rendszer kiterjesztett mátrixára, ezeket írjuk:
$$ A=\left(\begin(tömb) (cccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(tömb) (cccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(tömb) \jobbra). $$
Meg kell találnunk a következőt: $\rang A$ és $\rang\widetilde(A)$. Ennek számos módja van, amelyek közül néhányat a Mátrix Rank szakaszban találunk. Általában két módszert használnak az ilyen rendszerek tanulmányozására: „A mátrix rangjának kiszámítása definíció szerint” vagy „A mátrix rangjának kiszámítása elemi transzformációk módszerével”.
1. számú módszer. A számítástechnika definíció szerint rangsorol.
A definíció szerint a rang egy mátrix minorjainak legmagasabb rendje, amelyek között van legalább egy nullától eltérő. Általában a vizsgálat elsőrendű mollokkal kezdődik, de itt kényelmesebb azonnal elkezdeni a $A$ mátrix harmadrendű molljának kiszámítását. A harmadrendű mellékelemek a kérdéses mátrix három sorának és három oszlopának metszéspontjában helyezkednek el. Mivel az $A$ mátrix csak 3 sort és 3 oszlopot tartalmaz, ezért az $A$ mátrix harmadrendű minora a $A$ mátrix determinánsa, azaz. $\Delta A$. A determináns kiszámításához a „Másod- és harmadrendű determinánsok számítási képlete” témakör 2. képletét alkalmazzuk:
$$ \Delta A=\left| \begin(tömb) (cc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(tömb) \right|=-21. $$
Tehát van a $A$ mátrixnak egy harmadrendű mollja, amely nem egyenlő nullával. Lehetetlen negyedrendű moll összeállítása, mivel ehhez 4 sor és 4 oszlop szükséges, az $A$ mátrixnak pedig csak 3 sora és 3 oszlopa van. Tehát a $A$ mátrix molljainak legmagasabb rendje, amelyek között van legalább olyan, amelyik nem egyenlő nullával, egyenlő 3-mal. Ezért $\rang A=3$.
Meg kell találnunk a $\rang\widetilde(A)$-t is. Nézzük meg a $\widetilde(A)$ mátrix szerkezetét. A $\widetilde(A)$ mátrixban a $\widetilde(A)$ sorig vannak a $A$ mátrix elemei, és azt találtuk, hogy $\Delta A\neq 0$. Következésképpen a $\widetilde(A)$ mátrixnak van egy harmadrendű mollja, amely nem egyenlő nullával. A $\widetilde(A)$ mátrix negyedrendű minorjait nem tudjuk megszerkeszteni, ezért a következő következtetést vonjuk le: $\rang\widetilde(A)=3$.
Mivel $\rang A=\rang\widetilde(A)$, így a Kronecker-Capelli tétel szerint a rendszer konzisztens, azaz. van megoldása (legalább egy). A megoldások számának jelzéséhez figyelembe vesszük, hogy SLAE-nk 3 ismeretlent tartalmaz: $x_1$, $x_2$ és $x_3$. Mivel az ismeretlenek száma $n=3$, ezért következtetünk: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, ezért a Kronecker-Capelli tétel következménye szerint a rendszer határozott, i.e. egyedi megoldása van.
A probléma megoldódott. Milyen hátrányai és előnyei vannak ennek a módszernek? Először is beszéljünk az előnyeiről. Először is csak egy meghatározó tényezőt kellett találnunk. Ezek után azonnal levontuk a következtetést a megoldások számáról. Általában a szabványos standard számítások olyan egyenletrendszereket adnak, amelyek három ismeretlent tartalmaznak, és egyedi megoldással rendelkeznek. Az ilyen rendszereknél ez a módszer nagyon kényelmes, mert előre tudjuk, hogy van megoldás (különben a példa nem szerepelt volna a standard számításban). Azok. mindössze annyit kell tennünk, hogy a legtöbbben megmutassuk a megoldás létezését gyors módon. Másodszor, a rendszermátrix determinánsának (azaz $\Delta A$) számított értéke később hasznos lesz: amikor egy adott rendszert a Cramer módszerrel vagy az inverz mátrix segítségével kezdünk megoldani.
A rangszámítási módszer azonban értelemszerűen nem kívánatos, ha az $A$ rendszer mátrixa téglalap alakú. Ebben az esetben jobb a második módszert használni, amelyet az alábbiakban tárgyalunk. Ezen túlmenően, ha $\Delta A=0$, akkor egy adott inhomogén SLAE megoldásainak számáról nem tudunk semmit mondani. Lehet, hogy a SLAE-nek végtelen számú megoldása van, de lehet, hogy egyik sem. Ha $\Delta A=0$, akkor további kutatásra van szükség, ami gyakran nehézkes.
Összefoglalva az elmondottakat, megjegyzem, hogy az első módszer jó azoknak az SLAE-knek, amelyek rendszermátrixa négyzet. Sőt, maga az SLAE három vagy négy ismeretlent tartalmaz, és szabványos standard számításokból vagy tesztekből származik.
2. számú módszer. Rangsorszámítás elemi transzformációk módszerével.
Ezt a módszert a megfelelő témakörben ismertetjük részletesen. Elkezdjük kiszámítani a $\widetilde(A)$ mátrix rangját. Miért a $\widetilde(A)$ mátrixok és nem a $A$? A helyzet az, hogy az $A$ mátrix része a $\widetilde(A)$ mátrixnak, ezért a $\widetilde(A)$ mátrix rangjának kiszámításával egyidejűleg megtaláljuk a $A$ mátrix rangját is. .
\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(az első és a második sor felcserélése)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array) (ccc| c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 ) \\ \phantom(0)\\ r_3-2r_2 \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(tömb) \jobbra) \end(igazított)
A $\widetilde(A)$ mátrixot lépcsőzetes formára redukáltuk. A kapott echelon mátrixnak három nem nulla sora van, így a rangja 3. Következésképpen a $\widetilde(A)$ mátrix rangja egyenlő 3-mal, azaz. $\rang\widetilde(A)=3$. A $\widetilde(A)$ mátrix elemeivel végzett transzformációk során egyidejűleg transzformáltuk a $A$ mátrix vonalig elhelyezkedő elemeit. A $A$ mátrix szintén lépcsőzetes alakra redukálódik: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \jobbra )$. Következtetés: az $A$ mátrix rangja is 3, azaz. $\rang A=3$.
Mivel $\rang A=\rang\widetilde(A)$, így a Kronecker-Capelli tétel szerint a rendszer konzisztens, azaz. van megoldása. A megoldások számának jelzéséhez figyelembe vesszük, hogy SLAE-nk 3 ismeretlent tartalmaz: $x_1$, $x_2$ és $x_3$. Mivel az ismeretlenek száma $n=3$, ezért következtetünk: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, ezért a Kronecker-Capelli tétel következményének megfelelően a rendszer definiált, i.e. egyedi megoldása van.
Milyen előnyei vannak a második módszernek? A fő előnye a sokoldalúság. Számunkra nem mindegy, hogy a rendszer mátrixa négyzetes-e vagy sem. Emellett ténylegesen végrehajtottuk a Gauss-módszer forward transzformációit. Már csak néhány lépés van hátra, és megoldást találhatunk erre az SLAE-re. Őszintén szólva a második módszert jobban szeretem, mint az elsőt, de a választás ízlés dolga.
Válasz: Az adott SLAE konzisztens és definiált.
2. példa
SLAE felfedezése $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4 \end(igazított) \right.$ a kompatibilitás érdekében.
A rendszermátrix és a kiterjesztett rendszermátrix rangjait elemi transzformációk módszerével találjuk meg. Kibővített rendszermátrix: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Keressük meg a szükséges rangokat a rendszer kiterjesztett mátrixának átalakításával:
$$ \left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end(tömb) \jobbra) \begin(tömb) (l) \fantom(0)\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4 -3r_1\\r_5-2r_1\end(tömb)\jobbra nyíl \left(\begin(tömb) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end(tömb) \jobbra) \begin(tömb) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(array)\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(tömb) \ jobb) \begin(array) (l) \phantom(0)\\\phantom(0)\\\phantom(0)\\ r_4-r_3\\\phantom(0)\end(array)\rightarrow \left (\begin(tömb) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(tömb) \jobbra) $$
A rendszer kiterjesztett mátrixa lépcsőzetes formára redukálódik. Egy echelon mátrix rangja megegyezik a nem nulla sorok számával, tehát $\rang\widetilde(A)=3$. A $A$ mátrix (a vonalig) szintén echelon formájúra redukálódik, és rangja 2, $\rang(A)=2$.
Mivel $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, ezért a Kronecker-Capelli tétel szerint a rendszer inkonzisztens (azaz nincs megoldása).
Válasz: A rendszer inkonzisztens.
3. példa
SLAE felfedezése $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-6 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132 \end(igazított) \right.$ a kompatibilitás érdekében.
A rendszer kiterjesztett mátrixát lépésenkénti formába hozzuk:
$$ \left(\begin(array)(ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right) \overset (r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90\\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(tömb) \jobbra) \begin(tömb) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end( tömb) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & - 2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end(tömb) \jobbra) \begin( tömb) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end(array) \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin (tömb)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0 )\\ \phantom(0)\\\phantom(0) \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end(array) \rightarrow \left(\begin(array)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(tömb) \jobbra) $$
A rendszer kiterjesztett mátrixát és magának a rendszernek a mátrixát lépésenkénti formába hoztuk. A rendszer kiterjesztett mátrixának rangja egyenlő hárommal, a rendszer mátrixának rangja szintén hárommal. Mivel a rendszer $n=5$ ismeretlent tartalmaz, azaz. $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$, akkor a Kronecker-Capelli tétel következménye szerint ez a rendszer határozatlan, azaz. végtelen számú megoldása van.
Válasz: A rendszer bizonytalan.
A második részben olyan példákat elemezünk, amelyek gyakran szerepelnek a magasabb matematikai szabványos számításokban vagy tesztekben: konzisztencia-kutatás és az SLAE megoldása a benne szereplő paraméterek értékétől függően.