การแปลงโมเมนต์ความเฉื่อยเมื่อหมุนแกน การพึ่งพาระหว่างโมเมนต์ความเฉื่อยเมื่อหมุนแกนพิกัด

แกนหลักและโมเมนต์ความเฉื่อยหลัก

เมื่อแกนพิกัดถูกหมุน โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงจะเปลี่ยนสัญญาณ ดังนั้นจึงมีตำแหน่งของแกนที่โมเมนต์แรงเหวี่ยงเท่ากับศูนย์

แกนที่เรียกว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงของส่วนหายไปแกนหลัก และแกนหลักที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัดได้แก่แกนกลางหลักของความเฉื่อยของส่วน.

โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนหลักของความเฉื่อยของส่วนเรียกว่าช่วงเวลาสำคัญของความเฉื่อยของส่วนและเขียนแทนด้วย I1 และ I2 โดยมี I1>I2 - โดยปกติ เมื่อพูดถึงโมเมนต์หลัก จะหมายถึงโมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนเกี่ยวกับแกนกลางหลักของความเฉื่อย

สมมุติว่าแกนคุณและวีเป็นหลัก แล้ว

จากที่นี่

.

(6.32)

สมการ (6.32) กำหนดตำแหน่งของแกนหลักของความเฉื่อยของส่วน ณ จุดที่กำหนดซึ่งสัมพันธ์กับแกนพิกัดดั้งเดิม เมื่อหมุนแกนพิกัด โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนก็จะเปลี่ยนไปด้วย ให้เราค้นหาตำแหน่งของแกนที่สัมพันธ์กับโมเมนต์ความเฉื่อยของแกนถึงค่าสูงสุด ในการทำสิ่งนี้ เราจะหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของไอยู โดย α และตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์:

จากที่นี่

.

เงื่อนไขยังนำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกันดิฟ/ดาα เมื่อเปรียบเทียบนิพจน์สุดท้ายกับสูตร (6.32) เราจะได้ข้อสรุปว่าแกนหลักของความเฉื่อยคือแกนที่โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของส่วนนั้นถึงค่าสุดขีด

เพื่อให้การคำนวณโมเมนต์หลักของความเฉื่อยง่ายขึ้น สูตร (6.29) - (6.31) จะถูกแปลง โดยกำจัดออกโดยใช้ความสัมพันธ์ (6.32) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

.

(6.33)

เครื่องหมายบวกหน้ารากสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้น I1 และเครื่องหมายลบจะเล็กลง I2 จากโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วน

ให้เราชี้ให้เห็นคุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของส่วนต่างๆ ซึ่งโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนสัมพันธ์กับแกนหลักจะเท่ากัน สมมุติว่าแกน y และ z เป็นหลัก (Iyz =0) และ Iy = Iz - จากนั้นตามความเท่าเทียมกัน (6.29) - (6.31) สำหรับมุมการหมุนของแกนใดๆα โมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยง Iuv =0 และแนวแกน Iu=Iv

ดังนั้น หากโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนรอบแกนหลักเท่ากัน แกนทั้งหมดที่ผ่านจุดเดียวกันของส่วนจะเป็นแกนหลัก และโมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนรอบแกนเหล่านี้ทั้งหมดจะเท่ากัน:ไอยู=ไอวี=ไอวาย=อิซ คุณสมบัตินี้ถูกครอบครอง เช่น ตามส่วนสี่เหลี่ยมจัตุรัส วงกลม และวงแหวน

สูตร (6.33) คล้ายกับสูตร (3.25) สำหรับความเค้นหลัก ดังนั้น โมเมนต์หลักของความเฉื่อยจึงสามารถกำหนดเป็นภาพกราฟิกได้โดยวิธีของ Mohr

การเปลี่ยนแปลงโมเมนต์ความเฉื่อยเมื่อหมุนแกนพิกัด

สมมติว่าระบบของแกนพิกัดถูกกำหนดไว้และทราบโมเมนต์ความเฉื่อยอิซ ไอย์ และไอซี่ ตัวเลขสัมพันธ์กับแกนเหล่านี้ ลองหมุนแกนพิกัดตามมุมที่กำหนดกันα ทวนเข็มนาฬิกาและหาโมเมนต์ความเฉื่อยของตัวเลขเดียวกันโดยสัมพันธ์กับแกนพิกัดใหม่คุณและวี

ข้าว. 6.8.

จากรูป 6.8 ตามมาด้วยว่าพิกัดของจุดใดๆ ในระบบพิกัดทั้งสองมีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์

โมเมนต์ความเฉื่อย

เพราะฉะนั้น,

	(6.29)
	(6.30)

โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยง

.

(6.31)

จากสมการที่ได้จะชัดเจนว่า

,

กล่าวคือ ผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนเมื่อหมุนแกนพิกัดยังคงเป็นค่าคงที่ ดังนั้นหากโมเมนต์ความเฉื่อยถึงค่าสูงสุดที่สัมพันธ์กับแกนใด ๆ ดังนั้นหากสัมพันธ์กับแกนที่ตั้งฉากกับแกนนั้นก็จะมีค่าต่ำสุด

16. สมมติฐานพื้นฐานของวิทยาศาสตร์เรื่องความแข็งแรงของวัสดุ คัน แรงภายใน วิธีการตัด

ความแข็งแรงของวัสดุ(ในชีวิตประจำวัน - ความแข็งแกร่งของวัสดุ) - ส่วนหนึ่งของกลไกการเปลี่ยนรูป แข็งโดยคำนึงถึงวิธีการคำนวณทางวิศวกรรมของโครงสร้างเพื่อความแข็งแรง ความแข็งแกร่ง และเสถียรภาพ ในขณะเดียวกันก็ตอบสนองความต้องการด้านความน่าเชื่อถือและความประหยัดไปพร้อมๆ กัน สมมติฐาน ความต่อเนื่องและความสม่ำเสมอ - วัสดุแสดงถึง เป็นเนื้อเดียวกัน สภาพแวดล้อมอย่างต่อเนื่อง; คุณสมบัติวัสดุทุกจุดของร่างกายจะเหมือนกันและไม่ขึ้นอยู่กับขนาดของร่างกาย สมมติฐานเกี่ยวกับไอโซโทรปีของวัสดุ - ทางกายภาพ-เครื่องกลคุณสมบัติของวัสดุจะเหมือนกันทุกทิศทาง สมมติฐานเกี่ยวกับความยืดหยุ่นในอุดมคติของวัสดุ - ร่างกายสามารถฟื้นฟูมันได้ รูปแบบดั้งเดิมและมิติหลังจากกำจัดสาเหตุที่ทำให้เกิดการเสียรูปแล้ว สมมติฐาน (ข้อสันนิษฐาน) เกี่ยวกับความเล็กของการเสียรูป - การเสียรูปที่จุดต่างๆ ของร่างกายถือว่าเล็กจนไม่มีนัยสำคัญ อิทธิพลบน การจัดการร่วมกันโหลดที่นำไปใช้กับร่างกาย สมมติฐานความถูกต้องของกฎของฮุค - การเคลื่อนไหวคะแนน การออกแบบวี เวทียืดหยุ่นงานของวัสดุจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงที่ทำให้เกิดการเคลื่อนไหวเหล่านี้ หลักการของการกระทำที่เป็นอิสระของกองกำลัง- หลักการ การซ้อนทับ- เป็นผลจากอิทธิพลภายนอกหลายประการ ปัจจัยเท่ากับ จำนวนผลลัพธ์ของผลกระทบของแต่ละรายการใช้แยกกันและไม่ขึ้นอยู่กับ ลำดับแอปพลิเคชันของพวกเขา สมมติฐานเบอร์นูลลี เกี่ยวกับส่วนเครื่องบิน- ขวาง ส่วนต่างๆแบนและเป็นปกติกับแกน คันก่อนที่จะรับน้ำหนัก ให้คงความเรียบและเป็นปกติกับแกนของมันหลังจากการเสียรูป หลักการนักบุญเวนันท์ - ในส่วนที่อยู่ห่างจากจุดที่มีการบรรทุกน้ำหนักเพียงพอ การเสียรูปของร่างกายไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการบรรทุกเฉพาะและถูกกำหนดโดยค่าคงที่เทียบเท่าของน้ำหนักบรรทุกเท่านั้น มิติหนึ่ง (ความยาว) มากกว่าอีกสองมิติ (แนวขวาง) อย่างมีนัยสำคัญ B ในทางวิศวกรรม มีแท่งที่มีแกนตรงและแกนโค้ง ตัวอย่างของเส้นตรง ได้แก่ คาน เพลา และเพลา ตัวอย่างของแท่งโค้ง ได้แก่ ตะขอยก ตัวต่อโซ่ ฯลฯ ปฏิสัมพันธ์ระหว่างส่วนต่างๆ ของร่างกายที่เป็นปัญหามีลักษณะเฉพาะคือ ภายใน กองกำลัง, ซึ่งเกิดขึ้นภายในร่างกายภายใต้อิทธิพลของแรงภายนอกและถูกกำหนดโดยพลังของอิทธิพลระหว่างโมเลกุล ค่าของแรงภายในถูกกำหนดโดยใช้ วิธีการส่วน, สาระสำคัญมีดังนี้ หากภายใต้การกระทำของแรงภายนอก ร่างกายอยู่ในสภาวะสมดุล ดังนั้นส่วนใดๆ ของร่างกายที่ถูกตัดออก พร้อมด้วยแรงภายนอกและภายในที่กระทำต่อร่างกายนั้นก็จะอยู่ในสภาวะสมดุลเช่นกัน ดังนั้น สมการสมดุลจึงสามารถใช้ได้ ถึงมัน

18. ความตึงและแรงอัด สมมติฐานของส่วนระนาบในเรื่องความตึงและแรงอัด ความเครียด ความเครียด กฎของฮุค หลักการของแซงต์-เวนองต์ โมดูลัสความยืดหยุ่น อัตราส่วนปัวซอง

แรงอัด- วี ความต้านทานของวัสดุ- มุมมองตามยาว การเสียรูป คันหรือ ไม้ซึ่งเกิดขึ้นหากมีการจ่ายโหลดไปตามแกนตามยาว (ผลของแรงที่กระทำต่อมันเป็นเรื่องปกติ ภาพตัดขวางเหยียบย่ำและผ่านมันไป ศูนย์กลางของมวล). สมมติฐานเบอร์นูลลี เกี่ยวกับส่วนเครื่องบิน- ขวาง ส่วนต่างๆแบนและเป็นปกติกับแกน คันก่อนที่จะรับน้ำหนัก ให้คงความเรียบและเป็นปกติกับแกนของมันหลังจากการเสียรูป แรงดันไฟฟ้าแรง N ที่กระทำที่จุดศูนย์ถ่วงของส่วนใดๆ ของท่อนไม้เป็นผลจากแรงภายในที่กระทำต่อพื้นที่ dA ที่น้อยที่สุดของหน้าตัดของพื้นที่ A และ จากนั้นภายในขอบเขตของกฎของฮุค () ส่วนตัดขวางแบบแบนของแท่งในระหว่างการเปลี่ยนรูปจะถูกแทนที่ด้วยตำแหน่งเริ่มต้นโดยยังคงแบนอยู่ (สมมติฐานของส่วนแบน) จากนั้นจึงเป็นบรรทัดฐาน ความเครียดทุกจุดของภาคเท่ากันคือ (สมมติฐานของแบร์นูลลี) แล้วเมื่อแท่งเหล็กถูกบีบอัด ความเค้นจะมีเพียงสัญญาณ (ลบ) ที่แตกต่างกัน (แรงตั้งฉากจะพุ่งเข้าสู่ตัวแท่ง) การเสียรูปแท่งที่มีหน้าตัดคงที่โดยมีพื้นที่ A ภายใต้การกระทำของแรงดึงตามแนวแกน จะยืดออกตามจำนวนที่คือความยาวของแท่งที่อยู่ในสภาพผิดรูปและไม่เปลี่ยนรูป ความยาวที่เพิ่มขึ้นนี้เรียกว่า การยืดตัวแบบเต็มหรือแบบสัมบูรณ์.- กฎของฮุค ส่วนต่อขยายของก้าน.มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงระหว่างความเครียดและความเครียดเล็กน้อย เรียกว่ากฎของฮุค สำหรับแรงดึง (แรงอัด) จะมีรูปแบบ σ=Eε โดยที่ E คือสัมประสิทธิ์สัดส่วน โมดูลัสยืดหยุ่น.E – ความเครียดที่ทำให้เกิดการเสียรูป กฎของฮุคสำหรับแรงตึง (แรงอัด) ของแท่งเหล็ก Δl = Fe/EA = แลมบ์ดา โดยที่ λ คือสัมประสิทธิ์ความสอดคล้องตามยาวของแท่งเหล็ก -หลักการเวแนนท์ในทฤษฎีความยืดหยุ่น ซึ่งเป็นหลักการที่ระบบแรงที่สมดุลนำไปใช้กับส่วนใดๆ ของร่างกายที่เป็นของแข็งทำให้เกิดความเครียด ซึ่งจะลดลงอย่างรวดเร็วตามระยะห่างจากส่วนนี้ ดังนั้นในระยะทางที่มากกว่าขนาดเชิงเส้นที่ใหญ่ที่สุดของพื้นที่การใช้งานของโหลดความเครียดและการเสียรูปจึงไม่มีนัยสำคัญ ด้วยเหตุนี้ S.-V. p. กำหนดตำแหน่งของผลกระทบของโหลดภายนอกที่สมดุลในตัวเอง โมดูลัสยืดหยุ่น- ชื่อทั่วไปสำหรับหลาย ๆ คน ปริมาณทางกายภาพ, บ่งบอกถึงความสามารถ แข็ง(วัตถุ, วัตถุ) เปลี่ยนรูปอย่างยืดหยุ่น(นั่นคือไม่ต่อเนื่อง) เมื่อนำมาใช้กับสิ่งเหล่านี้ ความแข็งแกร่ง- ในบริเวณที่เกิดการเสียรูปแบบยืดหยุ่น จะพิจารณาโมดูลัสความยืดหยุ่นของร่างกาย อนุพันธ์(ลาด) ของการพึ่งพาความเค้นต่อการเสียรูปนั่นคือแทนเจนต์ของมุมเอียง แผนภาพความเค้น-ความเครียด):ที่ไหน λ (แลมบ์ดา) - โมดูลัสยืดหยุ่น; พี - แรงดันไฟฟ้าที่เกิดขึ้นในตัวอย่างด้วยแรงกระทำ (เท่ากับแรงหารด้วยพื้นที่ที่ใช้แรง) -การเสียรูปยืดหยุ่น

ตัวอย่างที่เกิดจากความเครียด (เท่ากับอัตราส่วนของขนาดของตัวอย่างหลังการเปลี่ยนรูปเป็นขนาดดั้งเดิม) 19. กฎการกระจายความเค้นเหนือส่วนภายใต้แรงอัด-แรง เน้นบนแพลตฟอร์มที่มีความลาดเอียง กฎการจับคู่ความเค้นในวงสัมผัส กฎการจับคู่ของความเค้นในวงโคจรกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างขนาดและทิศทางของคู่ของความเค้นในวงโคจรที่กระทำตามพื้นที่ตั้งฉากร่วมกันของเส้นขนานเบื้องต้น ในส่วนที่มีความเอียง ความเค้นปกติและแรงเฉือนจะทำงานพร้อมกัน ซึ่งขึ้นอยู่กับมุมเอียง α บนไซต์ที่ α=45 และ 135 องศา ที่ α=90 ไม่มีทั้งความเค้นปกติและแรงเฉือน มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าส่วนตั้งฉากที่ข้อสรุป: 1) ใน 2 ระนาบที่ตั้งฉากกันซึ่งกันและกัน ผลรวมเชิงพีชคณิตของความเค้นปกติจะเท่ากับความเค้นปกติในส่วนตัดขวาง 2) ความเค้นวงสัมผัสมีค่าเท่ากันในค่าสัมบูรณ์และสัดส่วน ในทิศทาง (ลงชื่อ) กฎหมายการจับคู่ความเครียด

20. การเสียรูปตามยาวและตามขวาง, อัตราส่วนปัวซอง สภาพแรงดึงและแรงอัด ประเภทของการคำนวณความแข็งแกร่ง การยืดกล้ามเนื้อ- การโหลดประเภทนี้เมื่อมีแรงตามยาวภายในเท่านั้นที่เกิดขึ้นในส่วนตัดขวางของคาน การเสียรูปตามยาว ε =∆ลิตร/ลิตร; 2. ญาติ การเสียรูปตามขวาง: ε 1 =∆d/วันภายในขอบเขตของการเสียรูปแบบยืดหยุ่นระหว่างความเค้นปกติและการเสียรูปตามยาว การพึ่งพาอาศัยกันตามสัดส่วนโดยตรง (กฎของฮุค): σ= Ε ε, ที่ไหน อี- โมดูลัสความยืดหยุ่นประเภทแรก (โมดูลัสของ Young) แสดงถึงความแข็งแกร่งของวัสดุเช่น ความสามารถในการต้านทานการเสียรูป เพราะ σ=F/S จากนั้น F/S= E∆ลิตร/ลิตร, ที่ไหน ∆ล=เอฟ ลิตร/อีส.ทำงาน อีเอสโทรมา. ความแข็งแกร่งของส่วน- => สัมบูรณ์ การยืดตัวของแกนโดยตรง ~ ขนาดของแรงตามยาวในส่วน ความยาวของแกนและในทางกลับกัน ~ พื้นที่หน้าตัดและโมดูลัสยืดหยุ่น มีการทดลองพบว่า ภายในขอบเขตของการบังคับใช้กฎของฮุค การเปลี่ยนรูปตามขวาง ~ ตามยาว: |ε 1 |=μ|ε| โดยที่ μ=ε 1 /ε - สัมประสิทธิ์ การเสียรูปสัมพัทธ์ (ปัวซอง) - ระบุลักษณะความเป็นพลาสติกของวัสดุ μ st = 0.25...0.5 (สำหรับไม้ก๊อก - 0 สำหรับยาง - 0.5)

เงื่อนไขสำหรับความต้านทานแรงดึง (แรงอัด) ของแท่งปริซึมสำหรับแท่งที่ทำจากวัสดุพลาสติก (เช่น วัสดุที่ทำงานเท่ากันทั้งแรงดึงและแรงอัด) จะมีรูปแบบดังนี้: - สำหรับแท่งที่ทำจากวัสดุเปราะซึ่งต้านทานแรงดึงและแรงอัดได้ไม่เท่ากัน สัญญาณของความเค้นมีความสำคัญขั้นพื้นฐาน และต้องกำหนดสภาวะความแข็งแรงแยกต่างหากสำหรับแรงดึงและแรงอัด ในทางปฏิบัติการคำนวณทางวิศวกรรม ขึ้นอยู่กับสภาพความแข็งแรง ปัญหาหลักสามประการในกลศาสตร์ของวัสดุโครงสร้างได้รับการแก้ไข เมื่อนำไปใช้กับกรณีของแรงดึง (แรงอัด) ของแท่งปริซึม ปัญหาเหล่านี้มีดังต่อไปนี้: การทดสอบความแข็งแรง (การคำนวณการยืนยัน) การคำนวณนี้จะดำเนินการหากส่วนตัดขวางของโหลด เอฟและมีการระบุวัสดุไว้ จำเป็นต้องให้แน่ใจว่ามีสภาพความแข็งแรงเพียงพอ การคำนวณการตรวจสอบประกอบด้วยการพิจารณาปัจจัยด้านความปลอดภัยที่แท้จริง nและเปรียบเทียบกับปัจจัยด้านความปลอดภัยมาตรฐาน [n]: ค่าสัมประสิทธิ์ปัวซอง (แสดงเป็น ν หรือ μ) แสดงถึงคุณสมบัติความยืดหยุ่นของวัสดุ เมื่อแรงดึงถูกนำไปใช้กับร่างกาย มันจะเริ่มยืดออก (นั่นคือ ความยาวตามยาวจะเพิ่มขึ้น) และหน้าตัดจะลดลง อัตราส่วนของปัวซองแสดงจำนวนครั้งที่หน้าตัดของร่างกายที่เปลี่ยนรูปได้เปลี่ยนแปลงไปเมื่อมีการยืดหรือบีบอัด สำหรับวัสดุที่เปราะอย่างยิ่ง อัตราส่วนปัวซองคือ 0 สำหรับวัสดุที่ยืดหยุ่นอย่างยิ่งคือ 0.5 สำหรับเหล็กส่วนใหญ่ค่าสัมประสิทธิ์นี้จะอยู่ที่ประมาณ 0.3 สำหรับยางจะอยู่ที่ประมาณ 0.5 (วัดเป็นหน่วยสัมพัทธ์: มม./มม., ม./ม.)

21. การทดสอบแรงดึงของวัสดุ แผนภาพความตึงเครียด ลักษณะทางกลของวัสดุ ลักษณะความเป็นพลาสติก แนวคิดเรื่องวัสดุเปราะและเหนียว ความเครียดที่แท้จริงและมีเงื่อนไข หากโหลดคงที่แสดงว่าสิ่งสำคัญคือ การทดสอบแรงดึงซึ่งเผยให้เห็นคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของวัสดุ เพื่อจุดประสงค์นี้ จึงทำตัวอย่างพิเศษจากวัสดุที่กำลังทดสอบ ส่วนใหญ่มักจะทำเป็นรูปทรงกระบอก (รูปที่ 4.1, a) และตัวอย่างแบนมักทำจากโลหะแผ่น (รูปที่ 4.1, b)

รูปที่.4.1.

ตัวอย่างสำหรับการทดสอบแรงดึง ในชิ้นงานทรงกระบอก ต้องรักษาอัตราส่วนระหว่างความยาวที่คำนวณได้ของชิ้นงานทดสอบและเส้นผ่านศูนย์กลาง: สำหรับชิ้นงานขนาดยาว สำหรับชิ้นงานขนาดสั้น - อัตราส่วนเหล่านี้สามารถแสดงในรูปแบบอื่นได้ เมื่อพิจารณาแล้วว่า

โดยที่พื้นที่หน้าตัดของตัวอย่างเราได้รับจากตัวอย่างยาว

.
สำหรับตัวอย่างสั้นๆ ตัวอย่างที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 0 ง= 10 มม - ในขณะที่ระยะเวลาในการทำงาน= 100 มม - อนุญาตให้ใช้ตัวอย่างที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางอื่น ๆ โดยมีเงื่อนไขว่ามีความยาวในการทำงานหรือ ..ตัวอย่างดังกล่าวเรียกว่าสัดส่วน แผนภาพความตึงเครียดสำหรับการทดสอบแรงดึง จะใช้เครื่องทดสอบแรงดึง ซึ่งทำให้สามารถระบุแรงและการเสียรูปที่สอดคล้องกันของตัวอย่างในระหว่างกระบวนการทดสอบ จากจุดเริ่มต้นของการโหลดจนถึงค่าหนึ่งของแรงดึง มีความสัมพันธ์เป็นสัดส่วนโดยตรงระหว่างการยืดตัวของตัวอย่างและแรง การพึ่งพาอาศัยกันในแผนภาพนี้แสดงเป็นเส้นตรง

คุณลักษณะความเป็นพลาสติก ซึ่งมีอิทธิพลอย่างมีนัยสำคัญต่อแอมพลิจูดการทำลายล้างของการเสียรูปและจำนวนรอบก่อนที่จะเกิดความล้มเหลว จะไม่ถูกคำนวณเมื่อประเมินความแข็งแรงคงที่โดยใช้ค่าความปลอดภัยด้านบนสำหรับผลผลิตและความแข็งแรง ดังนั้นในทางปฏิบัติของการออกแบบโครงสร้างที่รับภาระแบบวงกลมการเลือกใช้วัสดุตามลักษณะของความแข็งแรงคงที่ (ความแข็งแรงของผลผลิตและความแข็งแรง) จึงดำเนินการในขั้นตอนการกำหนดขนาดหลัก ลักษณะของความเป็นพลาสติกของโลหะคือความลึกของรูก่อนที่รอยแตกแรกจะปรากฏขึ้น ลักษณะของความเป็นพลาสติกของโลหะคือความลึกของรูก่อนที่โลหะจะถูกทำลาย ลักษณะของความเป็นพลาสติกนั้นสัมพันธ์กัน การยืดตัวและการเคลื่อนที่แบบสัมพัทธ์ของโลหะคือการยืดตัวและการหดตัวแบบสัมพัทธ์ อุปกรณ์สำหรับทดสอบโลหะแผ่นถึงความลึกของการอัดขึ้นรูป ลักษณะของความเป็นพลาสติกของโลหะคือความลึกของรูก่อนที่จะเกิดรอยแตกร้าวครั้งแรก ลักษณะของความเป็นพลาสติกของโลหะคือความลึกของรูก่อนที่โลหะจะถูกทำลายและ ความสามารถในการดึงออกคือความลึกของรูที่อัดขึ้นรูปในขณะที่เกิดรอยแตกร้าวและแรงอัดรีดที่ลดลง

ตามประเภทของการเปลี่ยนรูปทั้งหมด วัสดุก่อสร้างหารด้วย พลาสติกและเปราะ- ครั้งแรกในระหว่างการทดสอบทางสถิตก่อนที่จะเกิดความล้มเหลว ได้รับการเสียรูปที่เหลืออยู่อย่างมีนัยสำคัญ ส่วนอย่างหลังจะถูกทำลายโดยไม่มีการเสียรูปที่เหลืออยู่ที่มองเห็นได้ ตัวอย่างของวัสดุพลาสติกได้แก่ โลหะส่วนใหญ่ โลหะผสม และพลาสติก วัสดุที่เปราะได้แก่ วัสดุหินธรรมชาติและเทียม (ขึ้นอยู่กับสารยึดเกาะแร่) เหล็กหล่อ แก้ว เซรามิก และพลาสติกเทอร์โมเซตติงบางชนิด

พลาสติก- คุณสมบัติของวัสดุแข็งในการเปลี่ยนแปลงรูปร่างและขนาดโดยไม่ถูกทำลายภายใต้อิทธิพลของภาระหรือความเค้นภายในรักษารูปร่างที่เกิดขึ้นได้อย่างเสถียรหลังจากการยุติอิทธิพลนี้

ไม่เหมือนพลาสติก ความเปราะบาง- คุณสมบัติของวัสดุแข็งที่จะยุบตัวภายใต้อิทธิพลของความเค้นเชิงกลที่เกิดขึ้นในตัวพวกมันโดยไม่มีการเสียรูปพลาสติกที่เห็นได้ชัดเจน - แสดงถึงการที่วัสดุไม่สามารถผ่อนคลายความเครียด (อ่อนลง) ซึ่งเป็นผลมาจากการที่เมื่อถึงจุดแข็งสูงสุดรอยแตกจะปรากฏขึ้น ในวัสดุแล้วพังทลายลงอย่างรวดเร็ว

แรงดันไฟฟ้าอาจเป็น: จริง- เมื่อแรงเกี่ยวข้องกับส่วนที่มีอยู่แล้ว ช่วงเวลานี้การเสียรูป; มีเงื่อนไข- เมื่อแรงสัมพันธ์กับพื้นที่หน้าตัดเดิม ความเค้นเฉือนที่แท้จริงแสดงด้วย t และ S ปกติ และความเค้นแบบมีเงื่อนไขแสดงด้วย t และ s ตามลำดับ ความเค้นปกติแบ่งออกเป็นแรงดึง (บวก) และแรงอัด (ลบ)

22. พลังงานความเครียดแรงดึง ทฤษฎีบทของกัสติเลียโน การประยุกต์ทฤษฎีบทของกัสติเลียโน

พลังงานความเครียด- พลังงานที่นำเข้าสู่ร่างกายระหว่างการเปลี่ยนรูป เมื่อการเสียรูปเป็นแบบยืดหยุ่น ก็จะมีศักยภาพในธรรมชาติและสร้างสนามความเค้น ในกรณีของการเสียรูปพลาสติก บางส่วนจะกระจายไปเป็นพลังงานของข้อบกพร่องของผลึกขัดแตะ และสุดท้ายจะกระจายไปในรูปของพลังงานความร้อน

23. สถานะความเครียดของเครื่องบิน การบีบอัดความเครียดแบบสองแกน กฎการจับคู่ความเค้นในวงสัมผัส การเปลี่ยนแปลงที่บริสุทธิ์ พลังงานศักย์ในแรงเฉือนบริสุทธิ์

สถานะความเครียดของเครื่องบิน สภาวะความเครียดซึ่งหนึ่งในสามของความเค้นหลักมีค่าเท่ากับศูนย์เรียกว่าสภาวะระนาบหรือสภาวะแกนสองแกน สำหรับสภาวะความเครียดของระนาบนั้น ปัญหาสองประการจะแตกต่างกัน - ตรงและผกผัน ในปัญหาโดยตรง ใบหน้าขององค์ประกอบที่กำลังพิจารณาคือพื้นที่หลักที่ทราบ s 1 ¹0, s 2 ¹0, s 3 = 0 และจำเป็นต้องกำหนดความเค้น s a และ t a และ s b และ t b ในพื้นที่ที่กำหนดเอง . ในปัญหาผกผัน ความเครียดบนพื้นที่ตั้งฉากสองแห่งที่ตั้งฉากกันโดยพลการ s x , s y , t yx และ t xy เป็นที่รู้จักและจำเป็นต้องกำหนดตำแหน่งของพื้นที่หลักและขนาดของความเค้นหลัก

งานตรง- เพื่อแก้ปัญหานี้เราจะใช้หลักการความเป็นอิสระของกองกำลัง ลองจินตนาการถึงสถานะความเครียดของเครื่องบินเป็นผลรวมของสถานะความเครียดเชิงเส้นอิสระสองสถานะ: สถานะแรก - ภายใต้การกระทำของความเครียดเท่านั้น สถานะที่สอง - ภายใต้การกระทำของความเครียดเท่านั้น จากแต่ละแรงดันไฟฟ้า และแรงดันไฟฟ้า และ ในเขตใดเขตหนึ่งก็เท่าเทียมกัน ปัญหาผกผัน- ก่อนอื่นให้เราพิจารณาความเค้นบนแท่นที่มีความโน้มเอียงไปทางแท่นเดิม สำหรับแรงดันไฟฟ้าที่กำหนดบนพื้นที่ตั้งฉากกันสองแห่งโดยพลการ s x , s y , t yx และ t xy ฟังก์ชัน Kc และ bP - ความแข็งแรงของคอนกรีตภายใต้แรงอัดแบบสองแกนและความตึงแบบแกนสองแกนค่านิยม เคซีและบรา เราจะเชื่อมโยงกับค่าสัมประสิทธิ์ Lode - NadaiMb = (2b 2 -ข 1 -ข 3 ): (ข 1 -ข 3 ), ฟังก์ชั่น เคซีและ br ได้รับการจัดตั้งขึ้นตามการประมวลผลข้อมูลการทดลอง เกี่ยวกับความแข็งแรงของคอนกรีตตามลำดับภายใต้แรงอัดแบบสองแกน บี1 และ บี2และความตึงเครียดแบบสองแกน - ความเครียด บี บี2ในการก่อสร้างตามที่ระบุไว้แล้วจะใช้ค่าความเครียดสัมพัทธ์ บี1,บี2,ข 3 กำหนดโดยนิพจน์ (2.14) ให้เราชี้ให้เห็นก่อน แผนการทั่วไปการประมวลผลการทดลองและการแสดงออกที่ได้รับ เคซีและ 6รแล้วเราจะนำเสนอผลการศึกษาเชิงทดลอง เคซีมันถูกเลือกเพื่อให้ภายใต้เงื่อนไขของการบีบอัดแบบสองแกนค่าของมันจะตรงกับค่าที่จำกัด บูในเรื่องนี้เมื่อพิจารณาแล้วคุณสามารถดำเนินการได้ตามปกติ: ในพิกัดไร้มิติ ซู32พล็อตจุดการทดลองที่สอดคล้องกับความอ่อนล้าของความแข็งแกร่งของต้นแบบภายใต้เงื่อนไขของการบีบอัดแบบสองแกน จากนั้นจึงสร้างการประมาณประเภท b สำหรับพวกมัน คอมเมอร์สันต์= Kc = F(b2/b3)(ดู 5 ในรูปที่ 2.5 ก)มีลักษณะเป็นกลาง ประเภทของการประมาณระดับกลางระบุไว้เป็นพิเศษที่นี่ เนื่องจากฟังก์ชันประเภทนี้สามารถแปลงเป็นฟังก์ชันสุดท้ายของแบบฟอร์มได้อย่างง่ายดาย แคนซัส= f1(เมกะไบต์ ), โดยคำนึงถึงสูตรบัญชี (2.28) ขั้นตอนกลางของการสร้างฟังก์ชัน เคซีสามารถละเว้นได้หากดำเนินการก่อสร้างในพิกัดตั้งแต่เริ่มต้น B3, Mbกฎการจับคู่ของความเค้นในวงโคจรกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างขนาดและทิศทางของคู่ของความเค้นในวงโคจรที่กระทำตามพื้นที่ที่ตั้งฉากร่วมกันของเส้นขนานระดับประถมศึกษา ให้เราเขียนสมการสมดุลของจุดขนานในรูปแบบของผลรวมของโมเมนต์รอบแกนที่เราได้รับ: จากที่เราได้รับ ในทำนองเดียวกันเราสามารถรับได้ นี่คือกฎของการจับคู่ของความเค้นแทนเจนต์ตามพื้นที่ตั้งฉากกันสองแห่ง มีขนาดเท่ากันและมีเครื่องหมายตรงกันข้าม PURE SHEAR คือกรณีของข้อต่อแบบ Plane STRESSED

สถานีซึ่งในการมองเห็นจุดที่กำหนดนั้นเป็นไปได้ที่จะระบุองค์ประกอบคู่ขนานที่มีใบหน้าด้านข้างซึ่งอยู่ภายใต้การกระทำ

มีเพียงความเครียดที่สัมผัสได้

25. แรงบิด แรงบิดและโมเมนต์การบิด กฎของสัญญาณ ความสัมพันธ์เชิงอนุพันธ์คงที่และอินทิกรัลภายใต้แรงบิด

แรงบิด- ความผิดปกติของร่างกายประเภทหนึ่ง เกิดขึ้นเมื่อมีภาระถูกนำไปใช้กับวัตถุในรูปของแรงคู่หนึ่ง (โมเมนต์) ในระนาบแนวขวาง ขณะเดียวกันใน ภาพตัดขวางร่างกาย มีปัจจัยแรงภายในเพียงตัวเดียวเท่านั้น - แรงบิด สปริงและเพลารับแรงอัดทำหน้าที่รับแรงบิด

ช่วงเวลาแห่งพลัง(คำพ้องความหมาย: แรงบิด; แรงบิด; แรงบิด; แรงบิด) - ปริมาณทางกายภาพของเวกเตอร์เท่ากับผลคูณของเวกเตอร์รัศมีที่ดึงจากแกนของการหมุนไปยังจุดที่ใช้แรงและเวกเตอร์ของแรงนี้ แสดงลักษณะของการหมุนของแรงที่กระทำต่อวัตถุที่เป็นของแข็ง

แนวคิดของโมเมนต์ "การหมุน" และ "แรงบิด" โดยทั่วไปไม่เหมือนกัน เนื่องจากในเทคโนโลยี แนวคิดของโมเมนต์ "การหมุน" ถือเป็นแรงภายนอกที่กระทำกับวัตถุ และ "แรงบิด" คือแรงภายในที่เกิดขึ้นในวัตถุภายใต้ อิทธิพลของแรงที่ใช้ ( แนวคิดนี้ใช้ในด้านความแข็งแกร่งของวัสดุ).

28. โมเมนต์ความเฉื่อย แกนหลักของความเฉื่อย การเปลี่ยนแปลงโมเมนต์ความเฉื่อยระหว่างการแปลแกนพิกัดแบบขนาน ตัวอย่าง โมเมนต์ความเฉื่อยคือปริมาณทางกายภาพสเกลาร์ ซึ่งเป็นหน่วยวัดความเฉื่อยของวัตถุในการเคลื่อนที่แบบหมุนรอบแกน เช่นเดียวกับที่มวลของวัตถุเป็นหน่วยวัดความเฉื่อยในการเคลื่อนที่เชิงแปล มีลักษณะเฉพาะคือการกระจายตัวของมวลในร่างกาย: โมเมนต์ความเฉื่อยเท่ากับผลรวมของผลคูณของมวลพื้นฐานด้วยกำลังสองของระยะทางไปยังเซตฐาน (จุด เส้น หรือระนาบ) หน่วย SI: กก. ตร.ม. การกำหนด: ฉันหรือเจ

โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบกลไกที่สัมพันธ์กับแกนคงที่ (“โมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกน”) คือปริมาณทางกายภาพ Ja เท่ากับผลรวมของผลคูณของมวลของจุดวัสดุทั้งหมด n จุดของระบบด้วยกำลังสองของจุดเหล่านั้น ระยะห่างจากแกน: ที่อยู่: ไมล์ - มวล จุดที่ i, ri - ระยะทางจากจุดที่ i ถึงแกน

โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุซึ่งสัมพันธ์กับแกนของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือปริมาณดังต่อไปนี้: โดยที่ x, y และ z เป็นพิกัดขององค์ประกอบเล็กๆ ของร่างกายที่มีปริมาตร dV, ความหนาแน่น ρ และมวล dm แกน OX เรียกว่าแกนหลักของความเฉื่อยของร่างกาย ถ้าโมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยง Jxy และ Jxz อยู่พร้อมกัน เท่ากับศูนย์ แกนความเฉื่อยหลักสามแกนสามารถดึงผ่านแต่ละจุดของร่างกายได้ แกนเหล่านี้ตั้งฉากกัน โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับ สามหลักแกนความเฉื่อยที่วาดที่จุด O ของร่างกายโดยพลการเรียกว่าช่วงเวลาหลักของความเฉื่อยของร่างกาย แกนหลักของความเฉื่อยที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายเรียกว่าแกนกลางหลักของความเฉื่อยของร่างกายและ โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนเหล่านี้เป็นโมเมนต์ความเฉื่อยหลักที่ศูนย์กลาง แกนสมมาตรของวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกันเป็นหนึ่งในแกนกลางหลักของความเฉื่อยเสมอ สูตรสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยระหว่างการแปลแกนแบบขนาน: Jx1= (y+a)2dA=Jx+2aSx+a2A;

เจย์1= (x+b)2dA=เจ+2bSy+b2A;

Jx1y1= (y+a)(x+b)dA=Jxy+aSy+bSx+abAลองหาความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกน x, y และโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน x1, y1 ที่หมุนด้วยมุม a ให้ Jx > Jy และมุมบวก a วัดจากแกน x ทวนเข็มนาฬิกา ให้พิกัดของจุด M ก่อนการหมุนเป็น x, y หลังการหมุน - x1, y1 (รูปที่ 4.12)

และ จากรูปดังต่อไปนี้: ตอนนี้เรามาพิจารณาโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกน x1 และ y1:

หรือคล้ายกัน:

เมื่อบวกสมการ (4.21), (4.22) ทีละเทอม เราจะได้: เช่น ผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันจะคงที่และไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อระบบพิกัดถูกหมุน

แกนที่โมเมนต์แรงเฉื่อยของแรงเหวี่ยงเป็นศูนย์และโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนใช้ค่าที่รุนแรงเรียกว่า แกนหลัก- ถ้าแกนเหล่านี้เป็นศูนย์กลางด้วย ก็จะเรียกว่าแกนกลางหลัก โมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนรอบแกนหลักเรียกว่าโมเมนต์ความเฉื่อยหลัก

30. แนวคิดของการดัดตรง บริสุทธิ์ และเฉียง ลงนามกฎเกณฑ์สำหรับปัจจัยแรงภายในระหว่างการดัดงอ ความสัมพันธ์เชิงอนุพันธ์แบบคงที่และอินทิกรัลสำหรับการดัดงอ

เรียกว่าโค้งงอประเภทของการโหลดลำแสงซึ่งมีช่วงเวลาหนึ่งวางอยู่บนระนาบที่ผ่านแกนตามยาว โมเมนต์การดัดงอเกิดขึ้นที่หน้าตัดของลำแสง โค้งงอ เรียกว่าแบนถ้าระนาบการกระทำของช่วงเวลานั้นผ่านแกนกลางหลักของความเฉื่อยของส่วนนั้น หากโมเมนต์การดัดงอเป็นเพียงปัจจัยแรงภายในเท่านั้น การดัดดังกล่าวจะเรียกว่า ทำความสะอาด.เมื่อมีแรงเฉือน การดัดจะเรียกว่าแนวขวาง ภายใต้โค้งเฉียงนี่เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นกรณีของการดัดงอซึ่งระนาบของโมเมนต์การดัดไม่ตรงกับแกนหลักใด ๆ ของหน้าตัด (รูปที่ 5.27, a) วิธีที่สะดวกที่สุดในการพิจารณาการดัดแบบเฉียงคือการดัดลำแสงพร้อมกันโดยสัมพันธ์กับแกนหลัก x และ y ของหน้าตัดของลำแสง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เวกเตอร์ทั่วไปของโมเมนต์การดัด M ซึ่งทำหน้าที่ในหน้าตัดของลำแสงจะถูกแยกออกเป็นส่วนประกอบของโมเมนต์ที่สัมพันธ์กับแกนเหล่านี้ (รูปที่ 5.27, b): Mx = M×sina; My = M×cosa ลำแสงที่โค้งงอเรียกว่าลำแสง ปกฎของสัญญาณสำหรับ: เรามาตกลงนับกันแรงเฉือน

ในส่วนนี้ จะเป็นค่าบวกหากโหลดภายนอกที่จ่ายให้กับชิ้นส่วนที่ตัดออกที่กำลังพิจารณามีแนวโน้มที่จะหมุนส่วนนี้ตามเข็มนาฬิกาและเป็นลบ - มิฉะนั้น โมเมนต์การดัดงอในส่วนนั้นจะมีค่าเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของโมเมนต์แรงภายนอกที่กระทำต่อด้านหนึ่งของส่วนที่กำลังพิจารณา โดยสัมพันธ์กับแกน x ที่ผ่านส่วนที่กำหนด กฎของสัญญาณสำหรับ: ให้เราตกลงที่จะพิจารณาโมเมนต์การดัดงอในส่วนที่เป็นค่าบวก หากภาระภายนอกที่ใช้กับส่วนที่ตัดออกที่กำลังพิจารณาทำให้เกิดความตึงเครียดในส่วนที่กำหนดของเส้นใยส่วนล่างของลำแสงและค่าลบ - อย่างอื่น

ตามแผนผัง กฎการลงชื่อนี้สามารถแสดงเป็น:

ควรสังเกตว่าเมื่อใช้กฎการลงชื่อในรูปแบบที่ระบุแผนภาพมักจะถูกสร้างขึ้นจากด้านข้างของเส้นใยที่ถูกบีบอัดของลำแสง การพึ่งพาการดัดงอที่แตกต่างกัน:

ลองคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยกัน J u, J v และ J uv:

เราได้รับการเพิ่มสองสูตรแรก (3.14) คุณ + เจวี= เจซี+ เจ, เช่น. สำหรับการหมุนแกนตั้งฉากซึ่งกันและกัน ผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนยังคงเป็นค่าคงที่ (ไม่แปรเปลี่ยน)

แกนหลักและโมเมนต์ความเฉื่อยหลัก

มาสำรวจฟังก์ชันกันดีกว่า คุณ(ก) จนถึงสุดขั้ว เพื่อทำสิ่งนี้ เราให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์ คุณ(ก) โดยก.

เราได้สูตรเดียวกันโดยทำให้โมเมนต์ความเฉื่อยของแรงเหวี่ยงเท่ากับศูนย์

.

แกนหลักเรียกว่าแกนซึ่งโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนใช้ค่าที่สูงมาก และโมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงเท่ากับศูนย์

แกนหลักของความเฉื่อยสามารถวาดได้ไม่จำกัดจำนวน โดยจุดใดๆ บนระนาบเป็นจุดกำเนิดของพิกัด เพื่อแก้ปัญหาเรื่องความแข็งแรงของวัสดุเราสนใจเท่านั้น แกนกลางหลักของความเฉื่อย แกนกลางหลักของความเฉื่อยผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วนนั้น

สูตร (3.17) ให้คำตอบสองข้อที่แตกต่างกัน 90° นั่นคือ ช่วยให้คุณกำหนดค่าสองค่าของมุมเอียงของแกนหลักของความเฉื่อยที่สัมพันธ์กับแกนดั้งเดิม สัมพันธ์กับแกนใดที่ได้รับโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนสูงสุด เจ 1 = เจสูงสุด และสัมพันธ์กับซึ่ง – ขั้นต่ำ เจ 2 = เจ min จะต้องแก้ไขตามความหมายของปัญหา

สะดวกกว่าคือสูตรอื่นที่กำหนดตำแหน่งของแกนหลัก 1 และ 2 อย่างไม่คลุมเครือ (ระบุโดยไม่มีการสืบทอด) ในกรณีนี้ มุมบวกจะวัดจากแกน ออนซ์ทวนเข็มนาฬิกา

ในสูตร (3.19) เครื่องหมาย “+” สอดคล้องกับโมเมนต์ความเฉื่อยสูงสุด และเครื่องหมาย “–” หมายถึงค่าต่ำสุด

ความคิดเห็น . หากส่วนใดส่วนหนึ่งมีแกนสมมาตรอย่างน้อยหนึ่งแกน เมื่อสัมพันธ์กับแกนนี้และแกนอื่นๆ ที่ตั้งฉากกับแกนนั้น โมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยงจะเป็นศูนย์ตามคำจำกัดความของแกนหลักของความเฉื่อยเราสามารถสรุปได้ว่า แกนเหล่านี้เป็นแกนหลักของความเฉื่อยเช่น แกนสมมาตรจะเป็นแกนกลางหลักเสมอ

สำหรับโปรไฟล์แบบสมมาตรที่นำเสนอในรูปแบบต่างๆ ช่องทาง หรือ I-beam แกนความเฉื่อยส่วนกลางหลักจะเป็นแกนแนวตั้งและแนวนอน ซึ่งตัดกันที่ความสูงเพียงครึ่งหนึ่งของโปรไฟล์

พิจารณารูปแบนที่มีลักษณะทางเรขาคณิตที่ทราบ 1 X , 1 ปีและ 1 เอ็กซ์วายสัมพันธ์กับแกน เอ็กซ์และ ที่(รูปที่ 3.3) ให้เราใช้มันเพื่อกำหนดค่าของลักษณะทางเรขาคณิตที่คล้ายกันโดยสัมพันธ์กับแกน และและ วีซึ่งทำให้มุม a เป็นระบบเริ่มต้น

ให้เราคำนวณพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงขององค์ประกอบที่มีขนาดเล็กที่สุดของพื้นที่ ดีเอในระบบพิกัดใหม่ และและ วี:

ข้าว. 3.3.

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนที่หมุน อ้อยจะเท่ากัน

เราได้รับโดยใช้การกำหนดลักษณะทางเรขาคณิตที่สัมพันธ์กับแกนดั้งเดิม

สำหรับลักษณะทางเรขาคณิตอีกสองประการของสูตรที่เราได้รับในทำนองเดียวกัน:

เราแปลงสูตรผลลัพธ์โดยใช้สูตรตรีโกณมิติ

หลังจากเปลี่ยนสูตรคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนและแรงเหวี่ยงเมื่อหมุนแกนแล้วจะได้รูปแบบ

แกนหลักและโมเมนต์ความเฉื่อยหลัก

มีข้อสังเกตว่าผลรวมของโมเมนต์ตามแนวแกนเป็นค่าคงที่ ง่ายต่อการตรวจสอบว่าตำแหน่งนี้ตามมาจากสูตร (3.22):

แกนที่โมเมนต์ความเฉื่อยใช้ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดเรียกว่า แกนหลัก ช่วงเวลาสำคัญของความเฉื่อย

เมื่อหมุนแกน ขนาดของโมเมนต์ในแนวแกนจะเปลี่ยนไป ดังนั้นจึงต้องมีแกนหลักตั้งฉากซึ่งกันและกันคู่หนึ่ง โดยสัมพันธ์กับโมเมนต์ความเฉื่อยถึงค่าต่ำสุดและสูงสุด ให้เราพิสูจน์ตำแหน่งนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะตรวจสอบโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนจนถึงสุดขั้ว 1 และ:

เนื่องจากนิพจน์ในวงเล็บต้องเท่ากับศูนย์ เราจึงได้สูตรที่ช่วยให้ระบุตำแหน่งของแกนหลักอันใดอันหนึ่งได้:

มุม 0 วัดจากแกน โอ้ทวนเข็มนาฬิกา กำหนดตำแหน่งของแกนหลักที่สัมพันธ์กับแกน โอ้.ให้เราพิสูจน์ว่าแกนที่ตั้งฉากกับแกนนี้เป็นแกนหลักด้วย ลองแทนเข้าไปในนิพจน์ for

มุมอนุพันธ์ a 0 + -:

ดังนั้นแกนหลักจึงตั้งฉากกันกับแกน

ให้เราใส่ใจกับความจริงที่ว่าการแสดงออกในวงเล็บตามสูตรที่สาม (3.22) สอดคล้องกับโมเมนต์แรงเหวี่ยง ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของการหนีศูนย์กลางรอบแกนหลักเป็นศูนย์

ลองใช้ผลลัพธ์นี้และรับสูตรในการคำนวณโมเมนต์หลักของความเฉื่อย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เขียนสูตรที่สองและสาม (3.22) ใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:

โดยการยกกำลังสองและเพิ่มด้านขวาและด้านซ้ายของสมการทั้งสอง เราจะได้

สิ่งนี้ทำให้เรามีสูตรในการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยหลักสองโมเมนต์:

ในสูตร (3.25) เครื่องหมายบวกสอดคล้องกับโมเมนต์ความเฉื่อยหลักสูงสุด และเครื่องหมายลบสอดคล้องกับค่าต่ำสุด

ในบางกรณีพิเศษ สามารถกำหนดตำแหน่งของแกนหลักได้โดยไม่ต้องคำนวณ ดังนั้น หากส่วนนั้นสมมาตร แกนสมมาตรก็จะเป็นหนึ่งในแกนหลัก และแกนที่สองก็คือแกนใดๆ ที่ตั้งฉากกับแกนนั้น ตำแหน่งนี้ตามโดยตรงจากความเท่าเทียมกันถึงศูนย์ของโมเมนต์ความเฉื่อยแรงเหวี่ยงที่สัมพันธ์กับแกน ซึ่งหนึ่งในนั้นคือแกนสมมาตร

ในบรรดาแกนหลักทุกคู่ สามารถแยกแยะคู่พิเศษได้ โดยทั้งสองแกนจะผ่านจุดศูนย์ถ่วงของหน้าตัด

แกนหลักที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของส่วนเรียกว่า แกนกลางหลักและโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนดังกล่าวคือ จุดศูนย์กลางหลักของความเฉื่อย

ตามที่ระบุไว้แล้ว การหมุนของระบบพิกัดทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในลักษณะทางเรขาคณิตของตัวเลขเครื่องบิน สามารถแสดงให้เห็นว่าชุดของลักษณะทางเรขาคณิตที่เป็นของส่วนที่กำหนดนั้นถูกอธิบายโดยเทนเซอร์สมมาตรที่เรียกว่า เทนเซอร์ความเฉื่อยภาพตัดขวางซึ่งสามารถเขียนเป็นเมทริกซ์ได้:

เราได้ค่าคงที่แรกของเทนเซอร์ความเฉื่อย ซึ่งเป็นผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนก่อนหน้านี้ (ดูสูตร (3.23)) ค่าคงที่ที่สองของเทนเซอร์ความเฉื่อยมีรูปแบบ

ค่านี้จะถูกนำมาใช้เพื่อให้ได้สารละลายทั่วไปสำหรับการดัดงอของแท่ง

คุณสามารถวาดแกนกลางได้มากเท่าที่คุณต้องการ คำถามคือเป็นไปได้หรือไม่ที่จะแสดงโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนกลางใดๆ โดยขึ้นอยู่กับโมเมนต์ความเฉื่อยประมาณหนึ่งหรือสองแกนเฉพาะ ในการทำเช่นนี้ เรามาดูกันว่าโมเมนต์ความเฉื่อยเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรประมาณแกนสองแกนตั้งฉากกันเมื่อพวกมันถูกหมุนผ่านมุมหนึ่ง

ลองหารูปใดก็ได้แล้ววาดแกน Oy และ Oz สองแกนตั้งฉากกันผ่านจุดศูนย์ถ่วง O (รูปที่ 2)

ข้าว. 2.

ขอให้เราทราบโมเมนต์ความเฉื่อยในแนวแกนสัมพันธ์กับแกนเหล่านี้ เช่นเดียวกับโมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยง ให้เราวาดระบบแกนพิกัดที่สองและแกนเอียงไปที่แกนแรกเป็นมุม ทิศทางบวกของมุมนี้จะได้รับการพิจารณาเมื่อแกนหมุนรอบจุด O ทวนเข็มนาฬิกา เราบันทึกที่มาของพิกัด O ให้เราแสดงช่วงเวลาที่สัมพันธ์กับระบบที่สองของแกนพิกัดและผ่านโมเมนต์ความเฉื่อยและที่ทราบ

ให้เราเขียนนิพจน์สำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนเหล่านี้:

จากรูปวาดจะเห็นได้ว่าพิกัดของไซต์ dF ในระบบแกนที่หมุนจะเป็น:

แทนที่ค่าเหล่านี้เป็นสูตร (14.9) เราได้รับ:

หรือโมเมนต์ความเฉื่อยแกนแบน

เช่นเดียวกัน:

อินทิกรัลสองตัวแรกของนิพจน์ (4) และ (5) แสดงถึงโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกน และอันสุดท้ายแทนโมเมนต์แรงเหวี่ยงของความเฉื่อยของพื้นที่ที่สัมพันธ์กับแกนเหล่านี้ แล้ว:

ในการแก้ปัญหา คุณอาจต้องใช้สูตรสำหรับการเปลี่ยนจากแกนหนึ่งไปยังแกนอื่นสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยจากแรงเหวี่ยง เมื่อหมุนแกน (รูปที่ 2) เรามี:

ที่ไหน และ คำนวณโดยใช้สูตร (14.10) แล้ว

หลังจากการเปลี่ยนแปลงเราได้รับ:

ดังนั้น ในการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยสัมพันธ์กับแกนกลางใดๆ จำเป็นต้องรู้โมเมนต์ความเฉื่อยสัมพันธ์กับระบบของแกนกลางสองแกนที่ตั้งฉากซึ่งกันและกัน Oy และ Oz ซึ่งเป็นโมเมนต์แรงเฉื่อยสัมพันธ์กับแกนเดียวกัน และมุมเอียงของแกนกับแกน y

ในการคำนวณค่า > คุณต้องเลือกแกน y และ z ในลักษณะดังกล่าวและแบ่งพื้นที่ของรูปออกเป็นส่วนต่างๆ ดังกล่าว เพื่อให้สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรเฉพาะสำหรับการเปลี่ยนจาก แกนกลางของส่วนประกอบแต่ละชิ้นกับแกนที่ขนานกัน วิธีการทำเช่นนี้ในทางปฏิบัติจะแสดงไว้ด้านล่างโดยใช้ตัวอย่าง โปรดทราบว่าในการคำนวณนี้จะต้องแบ่งตัวเลขที่ซับซ้อนออกเป็นส่วนพื้นฐานซึ่งถ้าเป็นไปได้จะทราบค่าของโมเมนต์ความเฉื่อยกลางที่สัมพันธ์กับระบบของแกนตั้งฉากซึ่งกันและกัน

โปรดทราบว่าความคืบหน้าของการได้มาและผลลัพธ์ที่ได้จะไม่เปลี่ยนแปลงหากที่มาของพิกัดไม่ได้อยู่ที่จุดศูนย์ถ่วงของส่วน แต่อยู่ที่จุดอื่น O ดังนั้น สูตร (6) และ (7) เป็นสูตรสำหรับการเปลี่ยนจากระบบหนึ่งไปยังแกนอื่นที่ตั้งฉากกับอีกแกนหนึ่งซึ่งหมุนผ่านมุมหนึ่งไม่ว่าจะเป็นแกนกลางหรือไม่ก็ตาม

จากสูตร (6) เราสามารถรับความสัมพันธ์อื่นระหว่างโมเมนต์ความเฉื่อยเมื่อหมุนแกน เพิ่มนิพจน์ for และเราได้รับ

เหล่านั้น. ผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกน y และ z ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อพวกมันหมุน แทนที่นิพจน์สุดท้ายแทนและค่า เราจะได้:

โดยที่ระยะทางของแผ่นอิเล็กโทรด dF จากจุด O ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าโมเมนต์เชิงขั้วของความเฉื่อยของส่วนที่สัมพันธ์กับจุด O

ดังนั้น โมเมนต์เชิงขั้วของความเฉื่อยของส่วนที่สัมพันธ์กับจุดใดๆ จะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนที่สัมพันธ์กับแกนตั้งฉากซึ่งกันและกันที่ผ่านจุดนี้ ดังนั้นผลรวมนี้จึงคงที่เมื่อหมุนแกน การพึ่งพานี้ (14.16) สามารถใช้เพื่อทำให้การคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยง่ายขึ้น ดังนั้นสำหรับวงกลม:

เนื่องจากโดยความสมมาตรของวงกลมแล้ว

ซึ่งได้มาจากการรวมเข้าด้วยกันข้างต้น

สามารถรับสิ่งเดียวกันนี้ได้สำหรับส่วนวงแหวนที่มีผนังบาง