บ้าน / มิตซูบิชิ/การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ วัสดุที่มีระเบียบวิธี ประวัติโดยย่อของการพัฒนาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ วัสดุที่มีระเบียบวิธี ประวัติโดยย่อของการพัฒนาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ภาษาอังกฤษ: Wikipedia กำลังทำให้ไซต์มีความปลอดภัยมากขึ้น คุณกำลังใช้เว็บเบราว์เซอร์รุ่นเก่าซึ่งจะไม่สามารถเชื่อมต่อกับวิกิพีเดียได้ในอนาคต โปรดอัปเดตอุปกรณ์ของคุณหรือติดต่อผู้ดูแลระบบไอทีของคุณ

中文: 以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

สเปน: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay unaactualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

ฝรั่งเศส: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un exploreur web ancien, qui ne pourra plus se เชื่อมต่อ à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. ข้อมูลเสริมเพิ่มเติมพร้อมเทคนิคและอื่นๆ อีกมากมาย

日本語: ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

เยอรมัน: Wikipedia erhöht die Sicherheit der เว็บไซต์ Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte Aktualisiere เป็นผู้รับผิดชอบด้าน IT-Administrator และ Ausführlichere (และ technisch detailliertere) Hinweise พบ Du unten ในภาษาอังกฤษ Sprache

อิตาเลียโน่:วิกิพีเดีย sta rendendo il sito più sicuro ใช้เบราว์เซอร์เว็บ che non sarà ใน grado di connettersi และ Wikipedia ในอนาคต ตามที่โปรดปราน aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico Più ในบาสโซ è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico ในภาษาอิงเกิล

แมกยาร์: Biztonságosabb lesz ในวิกิพีเดีย A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (อันโกลุล).

สเวนสกา:วิกิพีเดีย gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia และ framtiden. อัปเดตข้อมูลติดต่อโดยผู้ดูแลระบบไอที ฟินน์ en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

เรากำลังลบการสนับสนุนสำหรับเวอร์ชันโปรโตคอล TLS ที่ไม่ปลอดภัย โดยเฉพาะ TLSv1.0 และ TLSv1.1 ซึ่งซอฟต์แวร์เบราว์เซอร์ของคุณใช้เชื่อมต่อกับไซต์ของเรา ซึ่งมักเกิดจากเบราว์เซอร์ที่ล้าสมัยหรือสมาร์ทโฟน Android รุ่นเก่า หรืออาจเป็นสัญญาณรบกวนจากซอฟต์แวร์ "ความปลอดภัยทางเว็บ" ขององค์กรหรือส่วนบุคคล ซึ่งจะทำให้ความปลอดภัยในการเชื่อมต่อลดลง

คุณต้องอัปเกรดเว็บเบราว์เซอร์ของคุณหรือแก้ไขปัญหานี้เพื่อเข้าถึงเว็บไซต์ของเรา ข้อความนี้จะยังคงอยู่จนถึงวันที่ 1 มกราคม 2020 หลังจากวันดังกล่าว เบราว์เซอร์ของคุณจะไม่สามารถสร้างการเชื่อมต่อกับเซิร์ฟเวอร์ของเราได้

5.3 การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ผู้ก่อตั้ง วิทยาศาสตร์สมัยใหม่- โคเปอร์นิคัส, เคปเลอร์, กาลิเลโอ และนิวตัน - เข้าหาการศึกษาธรรมชาติในฐานะคณิตศาสตร์ จากการศึกษาการเคลื่อนไหว นักคณิตศาสตร์ได้พัฒนาแนวคิดพื้นฐานดังกล่าวเป็นฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร เช่น d = kt2 โดยที่ d คือระยะทางที่วัตถุที่ตกลงมาอย่างอิสระเดินทางได้ และ t คือจำนวนวินาทีที่วัตถุนั้นอยู่ในนั้น ฤดูใบไม้ร่วงฟรี แนวคิดเรื่องฟังก์ชันกลายเป็นศูนย์กลางของคำจำกัดความของความเร็วในทันที ช่วงเวลานี้เวลาและความเร่งของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ ความยากทางคณิตศาสตร์ของปัญหานี้ก็คือ ในช่วงเวลาใดก็ตามที่ร่างกายเดินทางเป็นระยะทางเป็นศูนย์ในเวลาเป็นศูนย์ ดังนั้น เมื่อกำหนดค่าของความเร็วในขณะนั้นโดยการหารเส้นทางตามเวลา เราจึงได้นิพจน์ที่ไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์คือ 0/0

ปัญหาในการกำหนดและคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงทันทีของปริมาณต่างๆ ดึงดูดความสนใจของนักคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดในศตวรรษที่ 17 รวมถึง Barrow, Fermat, Descartes และ Wallis แนวคิดและวิธีการที่แตกต่างกันที่พวกเขาเสนอถูกนำมารวมกันเป็นวิธีการอย่างเป็นทางการที่เป็นระบบและนำไปใช้ได้ในระดับสากลโดยนิวตันและจี. ไลบ์นิซ (1646 - 1716) ผู้สร้างแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ มีการถกเถียงกันอย่างเผ็ดร้อนระหว่างพวกเขาในประเด็นลำดับความสำคัญในการพัฒนาแคลคูลัสนี้ โดยนิวตันกล่าวหาว่าไลบนิซเป็นผู้ลอกเลียนแบบ อย่างไรก็ตาม จากการวิจัยของนักประวัติศาสตร์ด้านวิทยาศาสตร์ ไลบ์นิซได้สร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยไม่ขึ้นกับนิวตัน ผลจากความขัดแย้งทำให้เกิดการแลกเปลี่ยนความคิดเห็นระหว่างนักคณิตศาสตร์ในทวีปยุโรปและอังกฤษ ปีที่ยาวนานถูกขัดจังหวะด้วยความเสียหายต่อฝ่ายอังกฤษ นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษยังคงพัฒนาแนวความคิดในการวิเคราะห์ในทิศทางเรขาคณิต ในขณะที่นักคณิตศาสตร์ในทวีปยุโรป รวมทั้ง I. Bernoulli (1667 - 1748) ออยเลอร์และลากรองจ์ประสบความสำเร็จมากขึ้นอย่างไม่มีใครเทียบได้หลังจากใช้แนวทางพีชคณิตหรือเชิงวิเคราะห์

พื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดคือแนวคิดเรื่องขีดจำกัด ความเร็วในขณะนั้นถูกกำหนดให้เป็นขีดจำกัดที่ความเร็วเฉลี่ยมีแนวโน้มเมื่อค่า t เข้าใกล้ศูนย์ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เป็นวิธีการทั่วไปที่สะดวกในการคำนวณในการค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันสำหรับค่า x ใดๆ ความเร็วนี้เรียกว่าอนุพันธ์ จากลักษณะทั่วไปของสัญกรณ์ เห็นได้ชัดว่าแนวคิดของอนุพันธ์สามารถใช้ได้ไม่เพียงแต่ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับความจำเป็นในการค้นหาความเร็วหรือความเร่งเท่านั้น แต่ยังเกี่ยวข้องกับการพึ่งพาเชิงฟังก์ชันด้วย เช่น ความสัมพันธ์บางอย่างจากทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ การประยุกต์ใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์หลักประการหนึ่งคือสิ่งที่เรียกว่า งานสูงสุดและต่ำสุด ปัญหาที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือการหาเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่กำหนด

ปรากฎว่าด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์ที่ประดิษฐ์ขึ้นเป็นพิเศษสำหรับการทำงานกับปัญหาการเคลื่อนไหว ทำให้สามารถค้นหาพื้นที่และปริมาตรที่ถูกจำกัดด้วยเส้นโค้งและพื้นผิวตามลำดับได้ วิธีเรขาคณิตแบบยุคลิดไม่มีความทั่วถึงที่จำเป็นและไม่อนุญาตให้ได้รับผลลัพธ์เชิงปริมาณที่ต้องการ ด้วยความพยายามของนักคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 17 มีการสร้างวิธีการส่วนตัวจำนวนมากที่ทำให้สามารถค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งประเภทใดประเภทหนึ่งได้ และในบางกรณีก็มีการสังเกตความเชื่อมโยงระหว่างปัญหาเหล่านี้กับปัญหาในการค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน แต่ในกรณีของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นิวตันและไลบนิซเองที่ตระหนักถึงลักษณะทั่วไปของวิธีการดังกล่าว และด้วยเหตุนี้จึงวางรากฐานของแคลคูลัสอินทิกรัล

วิธีนิวตัน-ไลบ์นิซเริ่มต้นด้วยการแทนที่เส้นโค้งที่ล้อมรอบพื้นที่ที่จะกำหนดโดยลำดับของเส้นขาดที่ใกล้เคียงกัน คล้ายกับวิธีหมดแรงที่คิดค้นโดยชาวกรีก พื้นที่ที่แน่นอนเท่ากับขีดจำกัดของผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยม n รูป เมื่อ n ไปถึงอนันต์ นิวตันแสดงให้เห็นว่าขีดจำกัดนี้สามารถหาได้โดยการกลับกระบวนการค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน การดำเนินการผกผันของการสร้างความแตกต่างเรียกว่าการบูรณาการ ข้อความที่ว่าการบวกสามารถทำได้โดยการกลับอนุพันธ์เรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส เช่นเดียวกับที่การแยกความแตกต่างใช้ได้กับปัญหาประเภทต่างๆ ที่กว้างกว่าการค้นหาความเร็วและความเร่ง การอินทิเกรตก็สามารถใช้ได้กับปัญหาใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับผลรวม เช่น ปัญหาฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องกับการบวกกองกำลัง

อัลกอริธึมของ Dijkstra

ทฤษฎีกราฟเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์แยกส่วน ซึ่งเป็นแนวทางทางเรขาคณิตในการศึกษาวัตถุ วัตถุหลักของทฤษฎีกราฟคือกราฟและลักษณะทั่วไปของมัน...

คนดีเด่นด้านสถิติ พี.แอล. เชบีเชฟ

ผลงานของ Chebyshev จำนวนมากที่สุดอุทิศให้กับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ในวิทยานิพนธ์เรื่องสิทธิในการบรรยายในปี พ.ศ. 2390 เชบีเชฟได้ตรวจสอบความสามารถในการบูรณาการของนิพจน์ที่ไม่ลงตัวบางประการในฟังก์ชันพีชคณิตและลอการิทึม...

มาวิเคราะห์ตำราเรียนเกี่ยวกับพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยผู้เขียนเช่น A.N. และมอร์ดโควิช เอ.จี. ในหนังสือเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10-11 พ.ศ. 2551 สถาบันการศึกษาเรียบเรียงโดย A.N. Kolmogorov ผู้แต่ง: A.N...

ศึกษาคุณสมบัติของตัวแปรสุ่ม การวางแผนการทดลอง และการวิเคราะห์ข้อมูล

ขอให้เราได้รับการพึ่งพาความแม่นยำของวิธีการวัดความแข็งแรงตามปัจจัยต่างๆ: A, C, E ลองคำนวณ z0j = (zmaxj + zminj)/2 (41) ?zj = (zmaxj - zminj)/2 (42) ) xj = (zj - z0j)/ ? zj (43) มาสร้างเมทริกซ์การวางแผนกันดีกว่า...

ศึกษาวิธีการแก้ปัญหาต่อด้วยพารามิเตอร์สำหรับระบบควบคุมอัตโนมัติแบบไม่เชิงเส้น

จากการวิเคราะห์กราฟิกและวัสดุทดสอบข้างต้นที่อธิบายการแก้ระบบสมการพีชคณิตไม่เชิงเส้นโดยวิธีการแก้ปัญหาต่อไปด้วยความเคารพต่อพารามิเตอร์ เราสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้: 1...

การถดถอยคือการขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยของค่า Y กับอีกค่า X แนวคิดของการถดถอยในแง่หนึ่งทำให้แนวคิดเรื่องการพึ่งพาฟังก์ชัน y = f(x)...

การศึกษาการพึ่งพาทางสถิติของความดันในก๊าซ Fermi-Dirac ในอุดมคติกับอุณหภูมิของมัน

การถดถอยเชิงเส้น ในการค้นหาสัมประสิทธิ์ a และ b โดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุด พารามิเตอร์ที่จำเป็นต่อไปนี้ได้รับการคำนวณ: = 3276.8479; = 495.4880; = 2580.2386; = 544.33; ในกรณีของเรา ค่าสัมประสิทธิ์ a และ b เท่ากันตามลำดับ: เพราะฉะนั้น...

วิธีพีชคณิตซ้ำสำหรับการสร้างภาพใหม่

จากการตรวจสอบข้อมูลการคำนวณสำหรับปัญหาเหล่านี้ เราสามารถพูดได้ว่าสำหรับวิธีนี้ จำนวนสมการและจำนวนไม่ทราบมีบทบาทสำคัญ...

คณิตศาสตร์และ โลกสมัยใหม่

คำอธิบายที่ชัดเจนของปรากฏการณ์นี้หรือปรากฏการณ์นั้นถือเป็นคณิตศาสตร์ และในทางกลับกัน ทุกอย่างที่แม่นยำก็คือคณิตศาสตร์ คำอธิบายที่แน่นอนใดๆ คือคำอธิบายในภาษาคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม...

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในปัญหาการคำนวณและการออกแบบระบบ ควบคุมอัตโนมัติ

ให้เราวิเคราะห์ระบบที่ไม่ถูกแก้ไขโดยใช้เกณฑ์ของ Mikhailov และ Hurwitz ลองหาฟังก์ชันถ่ายโอนของทั้งระบบ มาเขียนเมทริกซ์ Hurwitz a0=1 กัน a1=7.4; ก2=19; ก3=10; ตามเกณฑ์ของ Hurwitz สำหรับสิ่งนี้...

วิธีกำลังสองน้อยที่สุด

เริ่มจากแนวคิดของการวิเคราะห์การถดถอยของความแปรปรวนกันก่อน ลองดูแนวคิดนี้โดยใช้ตัวอย่าง การพึ่งพาเชิงเส้น- ตามวิธีกำลังสองน้อยที่สุด เราสามารถจินตนาการได้ว่า: , โดยที่ โดยความสัมพันธ์ที่สองคือสมการถดถอยที่พบ โดยมีตัวแปรสุ่มที่มีค่าเฉลี่ย...

การเพิ่มประสิทธิภาพขั้นต่ำและหลายเกณฑ์

ก่อนที่เราจะเริ่มพิจารณาปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุด เราจะตกลงกันว่าเราจะใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์อะไร ในการแก้ปัญหาด้วยเกณฑ์เดียว ก็เพียงพอแล้วที่จะสามารถทำงานกับฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียวได้...

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

การวิเคราะห์การถดถอยเป็นวิธีการสร้างแบบจำลองข้อมูลที่วัดได้และศึกษาคุณสมบัติของข้อมูลเหล่านั้น ข้อมูลประกอบด้วยคู่ของค่าของตัวแปรตาม (ตัวแปรตอบสนอง) และตัวแปรอิสระ (ตัวแปรอธิบาย)...

คุณสมบัติของภาษาคณิตศาสตร์

เพื่ออธิบายเวลา ซึ่งเข้าใจว่าเป็นเวลาของโลกแห่งชีวิต ช่วงเวลาของการดำรงอยู่ของมนุษย์ ภาษาของปรากฏการณ์วิทยาสะดวกที่สุด แต่คำอธิบายเชิงปรากฏการณ์วิทยาเกี่ยวกับเวลาและนิรันดรอาจใช้ภาษาทางคณิตศาสตร์ได้ดี...

วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการและระบบอนุพันธ์สามัญ

จากการนำเสนอแบบกราฟิกของการแก้โจทย์ไปจนถึงระบบสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่อธิบายพลวัตของประชากรของสองสายพันธุ์ที่มีปฏิสัมพันธ์ซึ่งกันและกันตามประเภท "นักล่า-เหยื่อ" และคำนึงถึงปฏิสัมพันธ์ภายในความจำเพาะ เป็นที่ชัดเจนว่า...

สมัยโบราณ

ในสมัยโบราณ แนวคิดบางอย่างปรากฏขึ้นซึ่งต่อมาได้นำไปสู่แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ แต่ในยุคนั้น แนวคิดเหล่านี้ไม่ได้ได้รับการพัฒนาอย่างเข้มงวดและเป็นระบบ การคำนวณปริมาตรและพื้นที่ ซึ่งเป็นหนึ่งในจุดประสงค์ของแคลคูลัสอินทิกรัล มีอยู่ในกระดาษปาปิรุสทางคณิตศาสตร์ของมอสโกจากอียิปต์ (ประมาณ 1820 ปีก่อนคริสตกาล) แต่สูตรต่างๆ ก็เหมือนกับคำแนะนำมากกว่า โดยไม่มีข้อบ่งชี้ถึงวิธีการ และบางสูตรก็เป็นเพียง ผิดพลาด ในยุคของคณิตศาสตร์กรีก Eudoxus (ประมาณ 408-355 ปีก่อนคริสตกาล) ใช้วิธีการหมดแรงในการคำนวณพื้นที่และปริมาตร ซึ่งคาดการณ์แนวคิดเรื่องขีดจำกัด และต่อมาแนวคิดนี้ได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมโดยอาร์คิมิดีส (ประมาณ 287-212 ปีก่อนคริสตกาล) การประดิษฐ์ฮิวริสติกที่มีลักษณะคล้ายกับวิธีแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ วิธีหมดแรงถูกประดิษฐ์ขึ้นในประเทศจีนโดย Liu Hui ในศตวรรษที่ 3 ซึ่งเขาใช้ในการคำนวณพื้นที่ของวงกลม ในคริสตศักราชที่ 5 Zu Chongzhi ได้พัฒนาวิธีการคำนวณปริมาตรของทรงกลม ซึ่งต่อมาเรียกว่าหลักการของ Cavalieri

วัยกลางคน

ในศตวรรษที่ 14 นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย Madhava Sangamagrama และ Kerala School of Astronomy and Mathematics ได้แนะนำองค์ประกอบหลายอย่างของแคลคูลัส เช่น อนุกรมเทย์เลอร์ การประมาณอนุกรมอนันต์ การทดสอบอินทิกรัลของการลู่เข้า รูปแบบการสร้างความแตกต่างในช่วงแรกๆ การอินทิเกรตแบบเทอมต่อเทอม วิธีการวนซ้ำสำหรับการแก้สมการไม่เชิงเส้น และการกำหนดพื้นที่ใต้เส้นโค้งที่เป็นอินทิกรัล บางคนถือว่ายุคติภาชะเป็นงานชิ้นแรกเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ยุคสมัยใหม่

ในยุโรป งานชิ้นสำคัญคืองานเขียนของ Bonaventura Cavalieri ซึ่งเขาแย้งว่าปริมาตรและพื้นที่สามารถคำนวณเป็นผลรวมของปริมาตรและพื้นที่ของส่วนที่บางเป็นอนันต์ แนวคิดนี้คล้ายคลึงกับสิ่งที่อาร์คิมิดีสระบุไว้ในวิธีการของเขา แต่บทความของอาร์คิมิดีสนี้สูญหายไปจนกระทั่งช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 งานของ Cavalieri ไม่ได้รับการยอมรับเนื่องจากวิธีการของเขาอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ผิดพลาด และเขาทำให้ชื่อเสียงที่น่าสงสัยแก่ผู้ไม่มีขอบเขต

การวิจัยอย่างเป็นทางการเกี่ยวกับแคลคูลัสขนาดเล็กซึ่ง Cavalieri รวมกับแคลคูลัสผลต่างอันจำกัดกำลังเกิดขึ้นในยุโรปในช่วงเวลานี้ ปิแอร์ แฟร์มาต์ อ้างว่าเขายืมมันมาจากไดโอแฟนตัส ได้แนะนำแนวคิดเรื่อง "ความเสมอภาคเสมือน" (อังกฤษ: ความพอเพียง) ซึ่งหมายถึงความเสมอภาคจนถึงข้อผิดพลาดเล็กน้อย John Wallis, Isaac Barrow และ James Gregory ก็มีส่วนสำคัญเช่นกัน สองอันสุดท้ายประมาณปี 1675 ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานที่สองของแคลคูลัส

บริเวณ

ในทางคณิตศาสตร์ รากฐานหมายถึงคำจำกัดความที่เข้มงวดของวิชา โดยเริ่มจากสัจพจน์และคำจำกัดความที่แม่นยำ ในระยะเริ่มแรกของการพัฒนาแคลคูลัส การใช้ปริมาณเพียงเล็กน้อยถือเป็นเรื่องหละหลวม และถูกวิพากษ์วิจารณ์อย่างรุนแรงจากนักเขียนหลายคน โดยเฉพาะมิเชล โรลล์ และบิชอป เบิร์กลีย์ เบิร์กลีย์บรรยายสิ่งเล็กๆ น้อยๆ ไว้อย่างดีเยี่ยมว่าเป็น "ผีในปริมาณที่ตายตัว" ในหนังสือของเขาชื่อ The Analyst ในปี 1734 การพัฒนารากฐานที่เข้มงวดสำหรับแคลคูลัสครอบครองนักคณิตศาสตร์มานานกว่าศตวรรษหลังจากนิวตันและไลบ์นิซและยังคงเป็นขอบเขตการวิจัยที่แข็งขันในปัจจุบัน

นักคณิตศาสตร์หลายคน รวมทั้ง Maclaurin พยายามพิสูจน์ความถูกต้องของการใช้ infinitesimals แต่สิ่งนี้เกิดขึ้นเพียง 150 ปีต่อมาด้วยผลงานของ Cauchy และ Weierstrass ซึ่งในที่สุดก็พบวิธีที่จะหลีกเลี่ยง "สิ่งเล็กๆ น้อยๆ" ง่ายๆ ของ infinitesimals และ จุดเริ่มต้นถูกสร้างเป็นแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล ในงานเขียนของ Cauchy เราพบแนวทางพื้นฐานที่เป็นสากล ซึ่งรวมถึงคำจำกัดความของความต่อเนื่องในแง่ของสิ่งเล็กๆ น้อยๆ และต้นแบบ (ค่อนข้างไม่ชัดเจน) ของคำจำกัดความ (ε, δ) ของขีดจำกัดในคำจำกัดความของความแตกต่าง ในงานของเขา ไวเออร์ชตราสวางแนวความคิดเรื่องขีดจำกัดและขจัดปริมาณที่น้อยมากออกไป หลังจากงานของไวเออร์ชตราสส์ พื้นฐานทั่วไปของแคลคูลัสกลายเป็นขีดจำกัด ไม่ใช่ปริมาณที่น้อยมาก แบร์นฮาร์ด รีมันน์ใช้แนวคิดเหล่านี้ในการให้คำจำกัดความที่แม่นยำของอินทิกรัล นอกจากนี้ ในช่วงเวลานี้ แนวคิดเรื่องแคลคูลัสถูกทำให้ครอบคลุมถึงปริภูมิยุคลิดและระนาบเชิงซ้อน

ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ พื้นฐานของแคลคูลัสรวมอยู่ในสาขาการวิเคราะห์จริง ซึ่งประกอบด้วยคำจำกัดความที่สมบูรณ์และการพิสูจน์ทฤษฎีบทของแคลคูลัส ขอบเขตของการวิจัยแคลคูลัสกว้างขึ้นมาก อองรี เลอเบสได้พัฒนาทฤษฎีของหน่วยวัดที่กำหนด และใช้ทฤษฎีนี้เพื่อหาอินทิกรัลของฟังก์ชันที่แปลกใหม่ทั้งหมด ยกเว้นฟังก์ชันที่แปลกใหม่ที่สุด Laurent Schwartz ได้แนะนำฟังก์ชันทั่วไป ซึ่งสามารถใช้ในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ โดยทั่วไปได้

การแนะนำขีดจำกัดไม่ได้เป็นเพียงแนวทางที่เข้มงวดในการใช้พื้นฐานของแคลคูลัสเท่านั้น อีกทางเลือกหนึ่งคือ ตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์ที่ไม่ได้มาตรฐานของอับราฮัม โรบินสัน วิธีการของโรบินสันซึ่งพัฒนาขึ้นในคริสต์ทศวรรษ 1960 ใช้เครื่องมือทางเทคนิคจากตรรกะทางคณิตศาสตร์เพื่อขยายระบบจำนวนจริงให้เป็นจำนวนน้อยและมากอย่างไม่สิ้นสุด ดังเช่นในแนวคิดดั้งเดิมของนิวตัน-ไลบ์นิซ ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าไฮเปอร์เรียล สามารถใช้ในกฎทั่วไปของแคลคูลัสได้ เช่นเดียวกับที่ไลบ์นิซทำ

ความสำคัญ

แม้ว่าแนวคิดบางประการเกี่ยวกับแคลคูลัสจะได้รับการพัฒนามาก่อนในอียิปต์ กรีซ จีน อินเดีย อิรัก เปอร์เซีย และญี่ปุ่น แต่การใช้แคลคูลัสสมัยใหม่เริ่มขึ้นในยุโรปในศตวรรษที่ 17 เมื่อไอแซก นิวตัน และกอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ได้สร้างผลงานของ นักคณิตศาสตร์รุ่นก่อน ๆ จะสร้างหลักการพื้นฐานขึ้นมา การพัฒนาแคลคูลัสมีพื้นฐานมาจากแนวคิดก่อนหน้านี้เกี่ยวกับการเคลื่อนที่ชั่วขณะและพื้นที่ใต้เส้นโค้ง

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ใช้ในการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับความเร็วและความเร่ง ความชันของเส้นโค้ง และการเพิ่มประสิทธิภาพ การประยุกต์ใช้แคลคูลัสอินทิกรัลได้แก่ การคำนวณที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่ ปริมาตร ความยาวส่วนโค้ง จุดศูนย์กลางมวล งาน และความดัน การใช้งานที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น ได้แก่ การคำนวณอนุกรมกำลังและอนุกรมฟูเรียร์

แคลคูลัส [ ] ยังใช้เพื่อให้เข้าใจธรรมชาติของอวกาศ เวลา และการเคลื่อนที่ได้แม่นยำยิ่งขึ้น เป็นเวลาหลายศตวรรษมาแล้วที่นักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาต้องต่อสู้กับความขัดแย้งที่เกี่ยวข้องกับการหารด้วยศูนย์หรือการค้นหาผลรวมของชุดตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุด คำถามเหล่านี้เกิดขึ้นเมื่อศึกษาการเคลื่อนไหวและการคำนวณพื้นที่ นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Zeno of Elea ได้ยกตัวอย่างที่มีชื่อเสียงหลายประการของความขัดแย้งดังกล่าว แคลคูลัสมีเครื่องมือสำหรับแก้ไขความขัดแย้งเหล่านี้ โดยเฉพาะขีดจำกัดและอนุกรมอนันต์

ข้อจำกัดและความไม่สิ้นสุด

หมายเหตุ

มอร์ริส ไคลน์, ความคิดทางคณิตศาสตร์ตั้งแต่สมัยโบราณถึงสมัยใหม่,ฉบับที่ ฉัน
อาร์คิมีดีส วิธี, ใน ผลงานของอาร์คิมีดีสไอ 978-0-521-66160-7
ตุน, หลิว; ฟาน, ต้าเหนียน; โคเฮน, ซัน โรเบิร์ตน์.การเปรียบเทียบการศึกษาวงกลมของ Archimdes และ Liu Hui (ภาษาอังกฤษ): วารสาร - สปริงเกอร์, 2509. - เล่ม. 130. - หน้า 279. - ไอ 0-792-33463-9., บท, น. 279
ซิล, เดนนิส จี.; ไรท์, สก็อตต์; ไรท์, วอร์เรน เอส.แคลคูลัส: เหนือธรรมชาติยุคแรก (ไม่ได้กำหนด) - 3. - การเรียนรู้ของโจนส์และบาร์ตเลตต์ (ภาษาอังกฤษ)ภาษารัสเซีย, 2552. - หน้า xxvii. - ไอ 0-763-75995-3.,สารสกัดจากหน้า 27
คณิตศาสตร์อินเดีย
ฟอน นอยมันน์ เจ., "The Mathematician", ใน Heywood, R.B., ed., ผลงานของจิตใจ, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก, 1947, หน้า. 180-196. พิมพ์ซ้ำใน Bródy, F., Vámos, T., eds., นอยมันน์ คอมพีเดียม, บริษัท เวิลด์ไซแอนทิฟิค พับลิชชิ่ง จำกัด พีทีอี Ltd., 1995, ไอ 9810222017, หน้า. 618-626.
อังเดร ไวล์: ทฤษฎีจำนวน แนวทางผ่านประวัติศาสตร์ จากฮัมมูราปีถึงเลเจนเดร Birkhauser Boston, Inc., บอสตัน, แมสซาชูเซตส์, 1984, ISBN 0-8176-4565-9, p. 28.
ไลบ์นิซ, กอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม. ต้นฉบับคณิตศาสตร์ยุคแรกของไลบ์นิซ Cosimo, Inc., 2008. หน้า 228. สำเนา
อุนลู, เอลฟ์ มาเรีย เกตานา แอกเนซี่ (ไม่ได้กำหนด) - วิทยาลัยแอกเนส สก็อตต์ (เมษายน 1995) เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 5 กันยายน 2012

ลิงค์

รอน ลาร์สัน, บรูซ เอช. เอ็ดเวิร์ดส์ (2010) "แคลคูลัส" ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 9 บรูคส์ โคล เซงเกจ การเรียนรู้ ไอ 978-0-547-16702-2
แมคควอรี, โดนัลด์ เอ. (2003) วิธีทางคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร,หนังสือวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัย. ไอ 978-1-891389-24-5
เจมส์ สจ๊วต (2008) แคลคูลัส: เหนือธรรมชาติยุคแรก, ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 6, การเรียนรู้ของ Brooks Cole Cengage.

ผู้ก่อตั้งวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ - โคเปอร์นิคัส, เคปเลอร์, กาลิเลโอ และนิวตัน - เข้าหาการศึกษาธรรมชาติในฐานะคณิตศาสตร์ จากการศึกษาการเคลื่อนไหว นักคณิตศาสตร์ได้พัฒนาแนวคิดพื้นฐาน เช่น ฟังก์ชัน หรือความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร เป็นต้น ง = เคที 2 ที่ไหน งคือระยะทางที่วัตถุที่ตกลงมาอย่างอิสระเดินทางได้ และ ที- จำนวนวินาทีที่ร่างกายตกอย่างอิสระ แนวคิดเรื่องฟังก์ชันกลายเป็นศูนย์กลางในทันทีในการกำหนดความเร็ว ณ เวลาหนึ่งๆ และความเร่งของวัตถุที่กำลังเคลื่อนไหว ความยากทางคณิตศาสตร์ของปัญหานี้ก็คือ ในช่วงเวลาใดก็ตามที่ร่างกายเดินทางเป็นระยะทางเป็นศูนย์ในเวลาเป็นศูนย์ ดังนั้น เมื่อกำหนดค่าของความเร็วในขณะนั้นโดยการหารเส้นทางตามเวลา เราจึงได้นิพจน์ที่ไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์คือ 0/0

ปัญหาในการกำหนดและคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงทันทีของปริมาณต่างๆ ดึงดูดความสนใจของนักคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดในศตวรรษที่ 17 รวมถึง Barrow, Fermat, Descartes และ Wallis แนวคิดและวิธีการที่แตกต่างกันที่พวกเขาเสนอถูกรวมเข้าด้วยกันเป็นวิธีการอย่างเป็นทางการที่เป็นระบบและนำไปใช้ได้ในระดับสากลโดยนิวตันและจี. ไลบ์นิซ (1646-1716) ผู้สร้างแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ มีการถกเถียงกันอย่างดุเดือดระหว่างพวกเขาในประเด็นลำดับความสำคัญในการพัฒนาแคลคูลัสนี้ โดยนิวตันกล่าวหาว่าไลบนิซเป็นผู้ลอกเลียนแบบ อย่างไรก็ตาม จากการวิจัยของนักประวัติศาสตร์ด้านวิทยาศาสตร์ ไลบ์นิซได้สร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยไม่ขึ้นกับนิวตัน ผลจากความขัดแย้ง การแลกเปลี่ยนความคิดเห็นระหว่างนักคณิตศาสตร์ในทวีปยุโรปและอังกฤษต้องหยุดชะงักลงเป็นเวลาหลายปี ซึ่งส่งผลเสียต่อฝ่ายอังกฤษ นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษยังคงพัฒนาแนวความคิดในการวิเคราะห์ในทิศทางเรขาคณิต ในขณะที่นักคณิตศาสตร์ในทวีปยุโรป รวมทั้ง I. Bernoulli (1667-1748) ออยเลอร์และลากรองจ์ประสบความสำเร็จมากขึ้นอย่างไม่มีใครเทียบได้หลังจากใช้แนวทางพีชคณิตหรือเชิงวิเคราะห์

พื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดคือแนวคิดเรื่องขีดจำกัด ความเร็วในทันทีถูกกำหนดให้เป็นขีด จำกัด ที่ความเร็วเฉลี่ยมีแนวโน้ม ง/ทีเมื่อมีค่า ทีเข้าใกล้ศูนย์มากขึ้น แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เป็นวิธีการทั่วไปที่สะดวกในการคำนวณในการค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ฉ (x) สำหรับค่าใดๆ เอ็กซ์- ความเร็วนี้เรียกว่าอนุพันธ์ จากบันทึกทั่วไปแล้ว ฉ (x) เป็นที่แน่ชัดว่าแนวคิดเรื่องอนุพันธ์สามารถใช้ได้ไม่เพียงแต่ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับความจำเป็นในการค้นหาความเร็วหรือความเร่งเท่านั้น แต่ยังเกี่ยวข้องกับการพึ่งพาเชิงฟังก์ชันด้วย เช่น ความสัมพันธ์บางอย่างจากทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ การประยุกต์ใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์หลักประการหนึ่งคือสิ่งที่เรียกว่า งานสูงสุดและต่ำสุด ปัญหาที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือการหาเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่กำหนด

วิธีนิวตัน-ไลบ์นิซเริ่มต้นด้วยการแทนที่เส้นโค้งที่จำกัดพื้นที่ที่จะกำหนดด้วยลำดับของเส้นขาดที่ใกล้เคียงกัน คล้ายกับวิธีวิธีหมดแรงที่ชาวกรีกประดิษฐ์ขึ้น พื้นที่ที่แน่นอนเท่ากับขีดจำกัดของผลรวมของพื้นที่ nสี่เหลี่ยมเมื่อ nกลายเป็นอนันต์ นิวตันแสดงให้เห็นว่าขีดจำกัดนี้สามารถหาได้โดยการกลับกระบวนการค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน การดำเนินการผกผันของการสร้างความแตกต่างเรียกว่าการบูรณาการ ข้อความที่ว่าการบวกสามารถทำได้โดยการกลับอนุพันธ์เรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส เช่นเดียวกับที่การแยกความแตกต่างใช้ได้กับปัญหาประเภทต่างๆ ที่กว้างกว่าการค้นหาความเร็วและความเร่ง การอินทิเกรตก็สามารถใช้ได้กับปัญหาใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับผลรวม เช่น ปัญหาฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องกับการบวกกองกำลัง

ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ เราสามารถแยกแยะช่วงเวลาหลักๆ ได้เป็น 2 ช่วง คือ คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาและสมัยใหม่ เหตุการณ์สำคัญซึ่งเป็นธรรมเนียมในการนับยุคของคณิตศาสตร์ใหม่ (บางครั้งเรียกว่าสูงกว่า) คือศตวรรษที่ 17 - ศตวรรษแห่งการปรากฏตัวของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ในช่วงปลายศตวรรษที่ 17 I. Newton, G. Leibniz และบรรพบุรุษของพวกเขาได้สร้างเครื่องมือแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และแคลคูลัสอินทิกรัลแบบใหม่ซึ่งเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และแม้กระทั่งอาจเป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติสมัยใหม่ทั้งหมด

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ในวงกว้างที่มีลักษณะเฉพาะของการศึกษา (ปริมาณตัวแปร) วิธีการวิจัยที่เป็นเอกลักษณ์ (การวิเคราะห์โดยใช้วิธีเล็กๆ น้อยๆ หรือโดยวิธีทางเพื่อจำกัด) ระบบบางอย่างของแนวคิดพื้นฐาน (ฟังก์ชัน ขีดจำกัด อนุพันธ์ , ดิฟเฟอเรนเชียล, อินทิกรัล, อนุกรม) และปรับปรุงอย่างต่อเนื่องและพัฒนาเครื่องมือซึ่งพื้นฐานคือแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล

ลองนึกภาพว่าการปฏิวัติทางคณิตศาสตร์ประเภทใดที่เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 ลักษณะการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้องกับการเกิดการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จากคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาไปจนถึงสิ่งที่ปัจจุบันเป็นหัวข้อของการวิจัยในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และสิ่งที่อธิบาย บทบาทพื้นฐานในระบบสมัยใหม่ทั้งความรู้ทางทฤษฎีและประยุกต์

ลองนึกภาพว่าตรงหน้าคุณเป็นภาพถ่ายสีที่จัดทำอย่างสวยงามของคลื่นทะเลที่มีพายุซัดเข้าหาชายฝั่ง ด้านหลังที่มีพลังโน้มตัว อกที่สูงชันแต่จมเล็กน้อย ศีรษะเอียงไปข้างหน้าแล้วพร้อมที่จะร่วงหล่นพร้อมกับแผงคอสีเทาที่ถูกทรมานโดย ลม. คุณหยุดชั่วขณะ คุณสามารถจับคลื่นได้ และตอนนี้คุณสามารถศึกษามันอย่างละเอียดในทุกรายละเอียดโดยไม่ต้องเร่งรีบ คลื่นสามารถวัดได้ และการใช้เครื่องมือของคณิตศาสตร์เบื้องต้น ช่วยให้คุณสามารถสรุปข้อสรุปที่สำคัญหลายประการเกี่ยวกับคลื่นนี้ รวมถึงพี่น้องในมหาสมุทรทั้งหมดด้วย แต่การหยุดคลื่นทำให้คุณสูญเสียการเคลื่อนไหวและชีวิต ต้นกำเนิดการพัฒนาการวิ่งแรงที่กระทบฝั่ง - ทั้งหมดนี้อยู่นอกขอบเขตการมองเห็นของคุณเพราะคุณยังไม่มีภาษาหรือเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสำหรับการอธิบายและการศึกษาไม่คงที่ แต่ การพัฒนา กระบวนการแบบไดนามิก ตัวแปร และความสัมพันธ์ของตัวแปรเหล่านั้น

“การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์มีความครอบคลุมไม่น้อยไปกว่าธรรมชาติ โดยวิเคราะห์ความสัมพันธ์ที่จับต้องได้ทั้งหมด วัดเวลา อวกาศ แรง อุณหภูมิ” เจ. ฟูริเยร์

การเคลื่อนไหว ตัวแปร และความสัมพันธ์ของมันล้อมรอบเราทุกที่ การเคลื่อนไหวประเภทต่าง ๆ และรูปแบบเป็นเป้าหมายหลักของการศึกษาวิทยาศาสตร์เฉพาะ: ฟิสิกส์ ธรณีวิทยา ชีววิทยา สังคมวิทยา ฯลฯ ดังนั้นภาษาที่แม่นยำและวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องในการอธิบายและศึกษาปริมาณตัวแปรจึงมีความจำเป็นในทุกด้านของ ความรู้ในระดับเดียวกับตัวเลขและเลขคณิตเป็นสิ่งจำเป็นเมื่ออธิบายความสัมพันธ์เชิงปริมาณ ดังนั้นการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จึงเป็นพื้นฐานของภาษาและวิธีการทางคณิตศาสตร์ในการอธิบายตัวแปรและความสัมพันธ์ของตัวแปรเหล่านั้น ทุกวันนี้ หากไม่มีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ มันเป็นไปไม่ได้ไม่เพียงแต่ในการคำนวณวิถีอวกาศ การทำงานของเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์ การเคลื่อนที่ของคลื่นมหาสมุทรและรูปแบบของการพัฒนาพายุไซโคลน แต่ยังรวมถึงการจัดการการผลิตในเชิงเศรษฐกิจ การกระจายทรัพยากร การจัดระเบียบกระบวนการทางเทคโนโลยี ทำนาย ปฏิกิริยาเคมีหรือการเปลี่ยนแปลงของจำนวนชนิดพันธุ์ต่างๆ ที่เชื่อมโยงกันในธรรมชาติของสัตว์และพืช เพราะสิ่งเหล่านี้เป็นกระบวนการแบบไดนามิก

คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาส่วนใหญ่เป็นคณิตศาสตร์ที่มีปริมาณคงที่ โดยศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบเป็นหลัก รูปทรงเรขาคณิตคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของตัวเลขและ สมการพีชคณิต- ทัศนคติต่อความเป็นจริงของมันสามารถเทียบเคียงได้ในระดับหนึ่งกับการศึกษาอย่างเอาใจใส่ แม้กระทั่งการศึกษาอย่างละเอียดถี่ถ้วนเกี่ยวกับเฟรมตายตัวแต่ละเฟรมของภาพยนตร์ที่จับภาพโลกสิ่งมีชีวิตที่กำลังเปลี่ยนแปลงและกำลังพัฒนาในการเคลื่อนไหวของภาพยนตร์ ซึ่งไม่สามารถมองเห็นได้ในเฟรมที่แยกจากกันและ ซึ่งสังเกตได้จากการดูเทปโดยรวมเท่านั้น แต่เช่นเดียวกับที่ภาพยนตร์คิดไม่ถึงหากไม่มีการถ่ายภาพ คณิตศาสตร์สมัยใหม่ก็เป็นไปไม่ได้เลยหากไม่มีส่วนหนึ่งของสิ่งที่เราเรียกว่าระดับประถมศึกษาตามอัตภาพ ปราศจากความคิดและความสำเร็จของนักวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่นหลายคน ซึ่งบางครั้งก็แยกจากกันหลายสิบศตวรรษ

คณิตศาสตร์เป็นหนึ่งเดียวและส่วนที่ "สูงกว่า" เชื่อมโยงกับส่วน "ประถมศึกษา" ในลักษณะเดียวกับชั้นถัดไปของบ้านที่กำลังก่อสร้างเชื่อมต่อกับส่วนก่อนหน้าและความกว้างของขอบเขตอันไกลโพ้นที่คณิตศาสตร์เปิดขึ้น สำหรับเราในโลกรอบตัวเรานั้นขึ้นอยู่กับชั้นของอาคารนี้ที่เราขึ้นไปถึงได้ เกิดในศตวรรษที่ 17 การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้เปิดโอกาสให้มีการอธิบายทางวิทยาศาสตร์ การศึกษาตัวแปรและการเคลื่อนที่ในเชิงปริมาณและเชิงคุณภาพในความหมายกว้างๆ

ข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับการเกิดขึ้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์มีอะไรบ้าง?

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 17 เกิดสถานการณ์ดังต่อไปนี้ ประการแรกภายในกรอบของคณิตศาสตร์เองในช่วงหลายปีที่ผ่านมามีปัญหาประเภทเดียวกันที่สำคัญบางประเภทได้สะสม (ตัวอย่างเช่นปัญหาของพื้นที่การวัดและปริมาตรของตัวเลขที่ไม่ได้มาตรฐานปัญหาในการวาดแทนเจนต์เป็นเส้นโค้ง) และวิธีการสำหรับ ได้มีการแก้ไขในกรณีพิเศษต่างๆ ประการที่สอง ปรากฎว่าปัญหาเหล่านี้เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับปัญหาในการอธิบายการเคลื่อนที่ทางกลตามอำเภอใจ (ไม่จำเป็นต้องสม่ำเสมอ) และโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับการคำนวณคุณลักษณะที่เกิดขึ้นทันที (ความเร็ว ความเร่ง ณ เวลาใดก็ได้) เช่นเดียวกับการค้นหา ระยะทางที่เดินทางเพื่อการเคลื่อนที่ที่เกิดขึ้นด้วยความเร็วแปรผันที่กำหนด การแก้ปัญหาเหล่านี้จำเป็นต่อการพัฒนาฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ และเทคโนโลยี

ในที่สุด ประการที่สาม ภายในกลางศตวรรษที่ 17 ผลงานของ R. Descartes และ P. Fermat วางรากฐานของวิธีการวิเคราะห์ของพิกัด (ที่เรียกว่าเรขาคณิตวิเคราะห์) ซึ่งทำให้สามารถกำหนดปัญหาทางเรขาคณิตและกายภาพที่มีต้นกำเนิดต่างกันในภาษาตัวเลขทั่วไป (วิเคราะห์) และการขึ้นต่อกันเชิงตัวเลข หรืออย่างที่เราพูดกันตอนนี้ ฟังก์ชันตัวเลข

นิโคเลย์ นิโคลาวิช ลูซิน
(1883-1950)

N. N. Luzin - นักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียตผู้ก่อตั้งโรงเรียนทฤษฎีฟังก์ชันของสหภาพโซเวียตนักวิชาการ (2472)

Luzin เกิดที่เมือง Tomsk และเรียนที่โรงยิม Tomsk ความเป็นทางการของหลักสูตรคณิตศาสตร์ในโรงยิมทำให้ชายหนุ่มผู้มีความสามารถแปลกแยกและมีเพียงครูสอนพิเศษที่มีความสามารถเท่านั้นที่สามารถเปิดเผยความงามและความยิ่งใหญ่ของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ให้เขาเห็นได้

ในปี 1901 Luzin เข้าสู่ภาควิชาคณิตศาสตร์ของคณะฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยมอสโก จากปีแรกของการศึกษา ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับอนันต์ตกอยู่ในแวดวงความสนใจของเขา ใน ปลาย XIXวี. นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน G. Cantor ได้สร้างทฤษฎีทั่วไปของเซตอนันต์ ซึ่งได้รับการประยุกต์ใช้มากมายในการศึกษาฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง ลูซินเริ่มศึกษาทฤษฎีนี้ แต่การศึกษาของเขาถูกขัดจังหวะในปี พ.ศ. 2448 นักเรียนที่เข้าร่วมกิจกรรมการปฏิวัติต้องเดินทางไปฝรั่งเศสสักพักหนึ่ง ที่นั่นเขาได้ฟังการบรรยายของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่มีชื่อเสียงที่สุดในยุคนั้น เมื่อกลับมาที่รัสเซีย ลูซินสำเร็จการศึกษาจากมหาวิทยาลัยและถูกทิ้งให้เตรียมตัวรับตำแหน่งศาสตราจารย์ ในไม่ช้าเขาก็ออกเดินทางไปปารีสอีกครั้งจากนั้นก็ไปที่Göttingenซึ่งเขาได้ใกล้ชิดกับนักวิทยาศาสตร์หลายคนและเขียนผลงานทางวิทยาศาสตร์ชิ้นแรกของเขา ปัญหาหลักที่นักวิทยาศาสตร์สนใจคือคำถามว่าจะมีเซตที่มีองค์ประกอบมากกว่าเซตของจำนวนธรรมชาติได้หรือไม่ แต่น้อยกว่าเซตของจุดบนเซกเมนต์ (ปัญหาความต่อเนื่อง)

สำหรับเซตอนันต์ใดๆ ที่สามารถได้รับจากเซ็กเมนต์โดยใช้การดำเนินการของสหภาพและจุดตัดของการรวมกลุ่มของเซตที่นับได้ สมมติฐานนี้เป็นที่ยอมรับ และเพื่อที่จะแก้ปัญหา จำเป็นต้องค้นหาว่ามีวิธีอื่นใดในการสร้างเซต . ในเวลาเดียวกัน ลูซินได้ศึกษาคำถามที่ว่า เป็นไปได้ไหมที่จะแสดงฟังก์ชันคาบใดๆ แม้แต่ฟังก์ชันที่มีจุดไม่ต่อเนื่องจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด โดยเป็นผลรวมของอนุกรมตรีโกณมิติ กล่าวคือ ผลรวมของการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกจำนวนอนันต์ ในประเด็นเหล่านี้ Luzin ได้รับผลลัพธ์ที่สำคัญหลายประการ และในปี 1915 เขาได้ปกป้องวิทยานิพนธ์ของเขาเรื่อง "อนุกรมอินทิกรัลและตรีโกณมิติ" ซึ่งเขาได้รับปริญญาทางวิชาการสาขาคณิตศาสตร์ดุษฎีบัณฑิตทันที โดยข้ามปริญญาโทระดับกลางที่มีอยู่ในเวลานั้น .

ในปี 1917 Luzin กลายเป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยมอสโก ในฐานะครูที่มีพรสวรรค์ เขาดึงดูดนักเรียนและนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ที่มีความสามารถมากที่สุด โรงเรียนของ Luzin มาถึงจุดสูงสุดในช่วงปีหลังการปฏิวัติครั้งแรก นักเรียนของ Luzin ได้ก่อตั้งทีมสร้างสรรค์ขึ้น ซึ่งพวกเขาเรียกติดตลกว่า "Lusitania" หลายคนได้รับผลทางวิทยาศาสตร์ชั้นหนึ่งในขณะที่ยังเป็นนักเรียนอยู่ ตัวอย่างเช่น P. S. Aleksandrov และ M. Ya. Suslin (1894-1919) ค้นพบวิธีการใหม่ในการสร้างฉากซึ่งทำหน้าที่เป็นจุดเริ่มต้นของการพัฒนาทิศทางใหม่ - ทฤษฎีเซตเชิงพรรณนา การวิจัยในพื้นที่นี้ดำเนินการโดยลูซินและนักเรียนของเขาแสดงให้เห็นว่าวิธีการทั่วไปของทฤษฎีเซตไม่เพียงพอที่จะแก้ปัญหาต่างๆ ที่เกิดขึ้นในนั้น คำทำนายทางวิทยาศาสตร์ของ Luzin ได้รับการยืนยันอย่างสมบูรณ์ในช่วงทศวรรษที่ 60 ศตวรรษที่ XX ต่อมานักเรียนของ N. N. Luzin หลายคนกลายเป็นนักวิชาการและเป็นสมาชิกที่เกี่ยวข้องของ USSR Academy of Sciences หนึ่งในนั้นคือ P. S. Alexandrov อ. เอ็น. โคลโมโกรอฟ M. A. Lavrentiev, L. A. Lyusternik, D. E. Menshov, P. S. Novikov L. G. Shnirelman และคนอื่นๆ

นักคณิตศาสตร์โซเวียตและชาวต่างประเทศสมัยใหม่ในงานของพวกเขาพัฒนาแนวคิดของ N. N. Luzin

การบรรจบกันของสถานการณ์เหล่านี้นำไปสู่ความจริงที่ว่าเมื่อปลายศตวรรษที่ 17 นักวิทยาศาสตร์สองคน - I. Newton และ G. Leibniz - เป็นอิสระจากกันสามารถสร้างเครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการแก้ปัญหาเหล่านี้โดยสรุปและสรุปผลลัพธ์แต่ละรายการของรุ่นก่อนรวมถึงนักวิทยาศาสตร์โบราณ Archimedes และผู้ร่วมสมัยของ Newton และ Leibniz - B. คาวาเลียรี, บี. ปาสคาล, ดี. เกรกอรี, ไอ. แบร์โรว์. เครื่องมือนี้เป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์ที่ศึกษากระบวนการพัฒนาต่างๆ เช่น ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร ซึ่งในทางคณิตศาสตร์เรียกว่าการพึ่งพาเชิงฟังก์ชันหรืออีกนัยหนึ่งคือฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม คำว่า "ฟังก์ชัน" เป็นสิ่งจำเป็นและเกิดขึ้นตามธรรมชาติอย่างแม่นยำในศตวรรษที่ 17 และถึงตอนนี้ ไม่เพียงแต่ได้รับความสำคัญทางคณิตศาสตร์ทั่วไปเท่านั้น แต่ยังได้รับความสำคัญทางวิทยาศาสตร์ทั่วไปด้วย

ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานและเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์มีอยู่ในบทความ "แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์" และ "แคลคูลัสอินทิกรัล"

โดยสรุป ฉันอยากจะอาศัยหลักการเพียงข้อเดียวของนามธรรมทางคณิตศาสตร์ซึ่งพบได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์และลักษณะของการวิเคราะห์ทั้งหมดและในเรื่องนี้อธิบายว่าตัวแปรการศึกษาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์รูปแบบใดและอะไรคือความลับของความเป็นสากลของวิธีการศึกษา กระบวนการพัฒนาเฉพาะทุกประเภทและความสัมพันธ์ระหว่างกัน

ลองดูตัวอย่างและการเปรียบเทียบที่เป็นตัวอย่างบางส่วน

บางครั้งเราไม่ได้ตระหนักอีกต่อไปว่า ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่เขียนขึ้นซึ่งไม่ได้เขียนสำหรับแอปเปิล เก้าอี้ หรือช้าง แต่อยู่ในรูปแบบนามธรรมที่แยกออกมาจากวัตถุใดวัตถุหนึ่ง ถือเป็นความสำเร็จทางวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่น นี่เป็นกฎทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ได้กับวัตถุเฉพาะต่างๆ ตามที่ประสบการณ์แสดงให้เห็น ซึ่งหมายความว่าโดยการศึกษาคุณสมบัติทั่วไปของจำนวนนามธรรมและนามธรรมทางคณิตศาสตร์ เราจะศึกษาความสัมพันธ์เชิงปริมาณของโลกแห่งความเป็นจริง

ตัวอย่างเช่นจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนเป็นที่ทราบกันดีว่าในสถานการณ์เฉพาะคุณสามารถพูดว่า:“ ถ้าพวกเขาไม่ได้ให้รถบรรทุกขนาดหกตันสองคันให้ฉันเพื่อขนส่งดิน 12 ตันฉันก็ถามได้ สำหรับรถดั๊มพ์ขนาดสี่ตันสามคัน งานก็จะเสร็จ และถ้าพวกเขาให้รถดั๊มขนาดสี่ตันมาให้ฉันเพียงคันเดียว เธอจะต้องบินสามเที่ยว” ดังนั้นตัวเลขนามธรรมและรูปแบบตัวเลขที่เราคุ้นเคยจึงสัมพันธ์กับการสำแดงและการประยุกต์เฉพาะของพวกเขา

กฎแห่งการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรเฉพาะและกระบวนการพัฒนาของธรรมชาติมีความสัมพันธ์กันในลักษณะเดียวกับฟังก์ชันรูปแบบนามธรรมและนามธรรมที่ปรากฏและได้รับการศึกษาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่างเช่น อัตราส่วนนามธรรมอาจสะท้อนถึงการพึ่งพาบ็อกซ์ออฟฟิศของโรงภาพยนตร์กับจำนวนตั๋วที่ขายได้ หาก 20 คือ 20 โกเปค - ราคาของตั๋วหนึ่งใบ แต่ถ้าเราขี่จักรยานบนทางหลวงเดินทาง 20 กม. ต่อชั่วโมง อัตราส่วนเดียวกันนี้ก็สามารถตีความได้ว่าเป็นความสัมพันธ์ระหว่างเวลา (ชั่วโมง) ของการปั่นจักรยานของเรากับระยะทางที่ครอบคลุมในช่วงเวลานี้ (กิโลเมตร) พูดเสมอว่าเช่นการเปลี่ยนแปลงหลายครั้งนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วน (เช่นจำนวนครั้งเท่ากัน) ของค่าของ และถ้า ดังนั้นข้อสรุปที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน ซึ่งหมายความว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเพิ่มบ็อกซ์ออฟฟิศของโรงภาพยนตร์เป็นสองเท่า คุณจะต้องดึงดูดผู้ชมได้มากเป็นสองเท่า และเพื่อที่จะเดินทางด้วยจักรยานได้ไกลเป็นสองเท่าด้วยความเร็วเท่ากัน คุณจะต้องขี่ให้นานขึ้นสองเท่า .

คณิตศาสตร์ศึกษาทั้งการพึ่งพาที่ง่ายที่สุดและการพึ่งพาอื่นๆ ที่ซับซ้อนกว่ามากในรูปแบบทั่วไปที่เป็นนามธรรม ซึ่งสรุปมาจากการตีความเฉพาะ คุณสมบัติของฟังก์ชันหรือวิธีในการศึกษาคุณสมบัติเหล่านี้ที่ระบุในการศึกษาดังกล่าวจะเป็นลักษณะของเทคนิคทางคณิตศาสตร์ทั่วไป ข้อสรุป กฎเกณฑ์ และข้อสรุปที่ใช้กับปรากฏการณ์เฉพาะแต่ละปรากฏการณ์ซึ่งฟังก์ชันที่ศึกษาในรูปแบบนามธรรมเกิดขึ้นไม่ว่าจะด้านใด ความรู้ปรากฏการณ์นี้เป็นของ

ดังนั้น การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในฐานะสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์จึงถือกำเนิดขึ้นในปลายศตวรรษที่ 17 หัวข้อการศึกษาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (ตามที่ปรากฏจากตำแหน่งสมัยใหม่) คือฟังก์ชัน หรืออีกนัยหนึ่งคือการขึ้นต่อกันระหว่างปริมาณที่แปรผัน

ด้วยการถือกำเนิดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์จึงสามารถเข้าถึงการศึกษาและการสะท้อนกระบวนการพัฒนาในโลกแห่งความเป็นจริง คณิตศาสตร์ประกอบด้วยตัวแปรและการเคลื่อนที่